設計體驗點，開展深度教學

方軍

深度教學強調教師借助問題情境引導學生深度探究所學內容，進而提升學生數學應用能力。在《數與形》的教學中，筆者引導學生從數與形的緊密聯系、相互解釋和相互轉化的角度認識和思考問題，通過設計數學學習的體驗點，促進學生深度學習。

一、見形想數，看數想形

學生深刻認識數與形相互轉化的關鍵，是通過“形”加深對“數”的理解，也可以是通過“數”加深對“形”的理解。

為了達成這個目標，筆者按順序出示一組學生熟悉的問題。①出示一幅線段圖，讓學生用一個數表示。②根據圖形表示的意義列式。③在教室座位平面圖上用數對確定自己的位置。④比較兩個角的大小（一個是89°的角，但沒有標明度數，另一個是直角）。前3個問題學生都能輕松給出答案，但第④個問題出現了爭議。有的學生認為兩個都是直角，有的學生認為第一個不一定是直角，要是有度數就能比較了。此時，筆者在第一個角上標出89°，學生意識到不知道度數之前，不能確定兩個角的大小。然后，筆者出示[42]=16，讓學生用一個圖形加以表示，并收集了具有代表性的作品（一個4×4的正方形）。以上教學喚醒了學生對數與形相互轉化的認識，豐富了學生對數與形關系的認知。

二、以形助數，用數解形

以形助數一般是指借助圖像的直觀性來表達算式的數量關系。筆者首先帶領學生回顧剛才的內容：用一個正方形表示4×4，是[42]，也就是16。接著，筆者讓學生不用乘法算式，而是用一個加法算式表示16。通過觀察圖形，學生自主構造算式“4+4+4+4、8+8、15+1、14+2、13+3”等。筆者收集、展示了以下兩種不同方法。

方法一：1+3+5+7=4²=16

方法二：1+2+3+4+3+2+1=4²=16

筆者引導學生聚焦“1+3+5+7=[42]=16”這個算式，觀察算式的特點，探究算式與正方形之間的聯系。筆者指著正方形追問：要想畫一個比它稍小的正方形，應當是什么樣的呢？學生回答：3×3的正方形。筆者反問：用一個加法算式怎樣表示呢？另一名學生回答：1+3+5=[32]=9。那么，算式中有幾個奇數？從幾開始的？師生共同討論后得出：3個連續的奇數，從1開始。那如果要畫一個更小一點的正方形又是什么樣的？是幾的平方？可以寫成幾個連續奇數相加？

筆者結合圖形和學生的回答整理出如下規律。

由此，筆者引導學生得出結論：從1開始n個連續奇數相加的和是[n2]。通過類比推理，學生學會從已有知識經驗出發，主動關聯“1+2+3+…+n+（n-1）+…+3+2+1=[n2]”這個式子。至此，學生有了新的感悟：圖形可以幫助我們直觀地表示平方數的規律。

如何讓學生更深刻地理解圖形中隱藏的數的奧秘？筆者繼續出示如下圖形，并提問：給你一個圖形你能想到什么數？學生回答：一張桌子坐了6個人、兩張桌子坐了10個人、三張桌子坐了14個人……

筆者繼續引導學生思考：如果有100張桌子拼在一起，一共可以坐多少人？學生通過觀察思考，發現桌子左右各坐了1人，上下各坐了2人，增加1張桌子就增加4人；左右2人不變，變化的是有幾張桌子連起來就有幾個4人，所以坐的人數是“100×4+2=402”人。由此，學生歸納出n張桌子拼起來共可坐“4n+2”人，并說明：不管有幾張桌子，只要把桌子張數代入4n+2，就馬上能算出可以坐多少人。

以上教學，教師引導學生發現：數學問題中的運算、數量關系等可以與幾何圖形結合起來思考，使“數”與“形”各展其長，發揮強化數學理解的作用。

三、數形結合，強化運用

在“數”與“形”相互轉化、相互表達的基礎上，筆者通過幾組層層遞進的題目，引導學生運用數形結合解決數學問題，助推學生探索“數”與“形”之間是如何相互賦能、助力問題解決的。

筆者先呈現第一個練習“1+3+5+7+9+7+5+3+1=？”。在前兩次體驗的基礎上，有的學生認為可以把它看成兩個部分，即1+3+5+7+9=52和7+5+3+1=42，和就是52+42=41；還有的學生認為，可以把算式想象成邊長是5的正方形和邊長是4的正方形的面積相加，由25+16得到41。學生都是在深刻理解“以形助數”的基礎上得出了以上結論。

筆者繼續出示第二個練習：看圖（圖略。一個5×5的正方形面積減去一個2×2的小正方形的面積）寫一個算式。學生稍作思考，匯報如下解題方法：①5+7+9；②假設前面加上1+3，這樣可以組成“1+3+5+7+9”，和等于52，然后減去22；③想象成一個邊長是5的正方形的面積減去一個邊長是2的正方形面積，所以“5+7+9”就是52-22=21。學生在深刻理解“用數解形”后，便可輕松解決問題。

最后，筆者出示第三組練習：動態演示一個4×4的正方形面積減去一個3×3的小正方形面積；一個3×3的正方形面積減去一個2×2的小正方形面積；一個6×6的正方形面積減去一個5×5的小正方形面積……學生很快給出答案并說出自己發現的規律：圖形只是一個轉折，其實就是一個奇數，這些奇數都可以寫成連續兩個數的平方再相減。這個解題過程讓學生體驗到“數”與“形”之間可以相互照應，強化了數學理解。

責任編輯? 張敏