在整體建構中促進模型意識的形成

彭先慧

《植樹問題》是人教版數學五年級上冊數學廣角的內容。從內容編排來看，三個例題層次分明，以“解決問題”的模式引導學生通過畫線段圖發現規律，提取出三種不同類型的植樹模型，再利用發現的規律解決生活中的簡單實際問題。教學中，筆者對三個例題進行整體建構，引導學生從一個情境出發，借助數學活動發現規律，構建模型，進而舉一反三，應用模型，將植樹問題數學化，促進模型意識的形成，發展數學核心素養。

一、情境問題化，聚焦關鍵要素

教學伊始，筆者用課件展示學生熟悉的校園環境圖片，并呈現情境：“作為學校的一員，我們要為校園的美化做貢獻——在通往圖書館的這條小路的一側植樹。學校將這個任務交給五年級的三個班來完成，這三個班各需要種多少棵樹？”隨后，筆者提問：“要解決這個數學問題，需要知道哪些數學信息？”學生很快發現了問題情境中欠缺的數學信息——總長。筆者順勢追問：怎樣植樹，才能讓校園更美觀呢？是隨意地種植，還是有規律地種植？根據生活經驗，學生不難發現日常生活中植樹的方式一般是每兩棵樹之間保持相同的距離。筆者由此引出“間隔”的概念。

筆者通過創設情境，引導學生挖掘解決植樹問題所需要的條件，使學生在建立問題表象的過程中將情境問題化，為進一步探究植樹模型埋下伏筆。

二、問題模型化，經歷建模過程

1.化繁為簡，整體感知

本單元三道例題的核心是棵數與間隔數之間的關系，教師要抓住“點”與“段”一一對應的關系，借助“平均分”的橋梁，引導學生自主依據經驗用數學語言表達現實情境，整體感知三種不同的植樹類型，形成對單元知識的結構化認知。例題解析環節，筆者首先通過圖文結合的方式給出植樹要求。

如下圖，把需要植樹的小路長度平均分配給三個班，每個班植樹的路長是20米。一班把本班負責的路長從頭植到尾；二班接著一班植樹，植完本班負責的路長；三班接著二班植樹，一直到圖書館。

筆者讓學生理清題中的數學信息，先用學具擺一擺，再在線段圖上畫一畫，并將自己得出的數據記錄在表格中，最后用算式表示探究過程。

2.多元表征，聚焦問題

（1）擺一擺

根據植樹要求，筆者引導學生用學具操作，直接得到三個班分別種了5棵、4棵和3棵的結論。為更好地引發學生的認知沖突，引導學生深度探究，筆者引導：同樣都是20米，為什么棵數不一樣？學生再次借助實物，通過一段一段地分開擺，整體感知三個班植樹過程的區別。學生一邊操作一邊梳理，發現：一班從頭到尾每隔5米種一棵，剛好種了5棵，完成了20米路的植樹任務；二班雖然也是在20米的路上植樹，但是起點位置不用種，所以只需要種4棵；三班既不用在起點位置植樹，也不用在終點位置植樹，所以只種了3棵。

以上教學，筆者引導學生通過擺一擺，發現每個班植樹的棵數不一樣，進而產生三種植樹問題之間可能存在某種關聯的疑惑，激發了進一步探究問題的欲望。

（2）算一算

本課的主要目標是讓學生理解并掌握植樹問題的數學模型。在探究路徑上，筆者已經讓學生通過擺實物、畫線段圖的方式初步得出了結果，但還需要讓學生將思維的結果進一步抽象出來。筆者先通過問題“誰能用算式表示出一班學生植樹的過程”，引導學生從第一種情況入手，從用圖形表征過渡到用算式表征。經過探究，學生得出了兩種計算方法。第一種是“20-5-5-5-5=0（米），4+1=5（棵）”。學生這樣理解：起始位置先種1棵，種第2棵時減少5米，種第3棵時又減少5米，一直種到第5棵，剛好種植完20米，減了4個5，再加上起始位置的1棵，所以一共種了5棵。第二種是“20÷5=4（棵），4+1=5（棵）”。學生出現單位為“棵”的做法時，正是突破教學難點的契機。筆者沒有立刻糾正學生的錯誤，而是引導學生分析20和5分別表示什么現實含義？為什么用除法？商4表示的又是什么呢？學生很快得出：20表示總長，5表示間隔長，按5米一段平均分，所以用除法。學生還根據除法的意義，提出商4的含義為“20米的小路，每5米分一段，被分成了4段”。學生的思路逐漸清晰，筆者進一步引導：算式“20÷5=4（棵）”中的單位應該是什么呢？學生立即將單位更正為“段”，筆者順勢引出“間隔數”的定義。

這個環節，筆者引導學生利用除法的意義建立平均分與間隔數之間的關聯，打通了棵數與間隔數之間的“隔斷墻”。

3.對比歸納，初構模型

隨著模型的建構過程逐漸明晰，筆者拋出核心問題：要求的是種幾棵樹，我們卻先計算分幾段，那么間隔數、棵數與間隔數有什么關系呢？筆者利用線段圖引導：把小路平均分成一段一段后，樹種在哪兒？在圖上用什么表示？筆者以此巧妙地將學生的注意力從平均分的“段”引到“點”上。隨后，筆者提問：“點”和“段”有什么不一樣？樹種在了“點”上，平均分的卻是“段”，它們之間有什么關系呢？在筆者的引導下，學生先畫一個點，再畫一個線段，在重復畫的過程中發現點的數量總比段的數量多“1”。筆者引導學生將點與樹對應，將段與間隔對應，得出了結論：小路被分成了一小段一小段的間隔，在這些小段之間的點上種樹，點比段多1，所以樹比間隔多1，多的即為最后一棵樹。學生明確：在計算棵數時，將所求得的段數轉化為與之對應的棵數，再加上多出來的樹，即為所求的棵數；數量關系表示為“路長÷間隔長=間隔數，棵數=間隔數+1”。學生還將滿足這個數量關系的植樹情況概括為“兩端都栽”。

三、模型數學化，理解模型本質

建模的本質是將數學問題“類化”，并在找到規律的基礎上，類推到其他問題中。這是模型的深化過程。“植樹問題”的根本在于“點”與“段”的關系，所以教師要將三個問題“類化”，讓學生在三種“模型”的對比與辨析中，發現它們其實都是利用除法的意義先求20米中包含幾段5米，再用“點”與“段”一一對應的數學模型表征，最后明確棵數與間隔數之間的關系，建構問題模型，使“模型”數學化。基于此，筆者引導學生自主探究剩下兩個班的植樹情境是否滿足這種一一對應的關系，并用線段圖或算式表示結論。

如下圖所示，學生呈現線段圖表征和符號表征兩種方法，反映出學生已經具備了一定的模型意識。

接著，筆者引導學生對比分析兩種植樹方式在計算時的異同點。學生不難得出相同點是先求出路被分成多少段，不同點是二班的起點位置不用種植，所以樹與段剛好一一對應，而三班的起點與終點位置都不用種植，所以多出來一段，沒有樹與之對應。筆者引導學生總結：這兩種情況下，棵數與間隔數之間的數量關系可以這樣表示：只栽一端時，棵數=間隔數；兩端都不栽時，棵數=間隔數-1。最后，學生通過對比三種情況，總結出如下規律：無論是哪種植樹情況，都是先用除法計算段數，再通過分析點與段之間的關系，找到棵數與間隔數之間的數量關系，最后得出結論。

責任編輯? 張敏