以思想為“壤” 植模型之“樹”

朱婧

模型意識是小學生應具備的數學核心素養之一，它要求學生初步感悟數學模型的普適性。數學模型反映的是數學本質，其建構要基于數學知識與技能的學習，以及數學思想方法的滲透。如何更好地在《植樹問題》的教學中培養學生的模型意識呢？

入模：開放情境，化繁為簡

教材將生活中的植樹問題整合成直線型和封閉型兩種情況，根據植樹方式不同，又將直線型植樹問題分成“兩端都栽”和“兩端都不栽”兩類，而封閉型植樹問題可以轉化為“一端栽一端不栽”的直線型植樹問題。基于此，我們只要探究出直線型植樹問題的三種模型，其他類似的問題都能迎刃而解。怎樣讓學生快速找到植樹問題的三種模型呢？教學中，筆者創設開放性問題情境，通過改變教材原問題中的數據、凸顯植樹方式的多樣化等方法，引導學生自主運用轉化的思想、結合實際操作“入模”。

筆者先用課件出示題目：“在1000米小路的一邊植樹，每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵樹？”學生讀題后，筆者設疑：“每隔5米栽一棵”是什么意思？學生即興舉例，以身體模擬呈現題目意思，進而理解了“間隔”的含義。接著，筆者引導學生猜測一共可以栽多少棵樹。在學生提出不同的猜想后，筆者追問：誰猜得對呢？怎樣驗證？上述過程中，筆者設置開放性問題情境，有意識地把教材中的“100米”改成“1000米”，引導學生理解題意，并經歷猜想的過程。隨后，筆者引導學生利用畫圖或結繩的方法驗證猜想。學生意識到1000米太長，用畫圖的方法，沒有這么大的紙，用結繩的方法，不太容易找到這么長的繩子，即使有1000米的繩子，每隔5米打一個結，實際操作起來很麻煩，要想降低解題難度，只能先把大數據轉化成小數據，探究出規律后再利用規律求解。這樣的設計讓學生自主產生了化繁為簡的學習需求。

接著，筆者引導學生利用畫圖或結繩的方法探究“在20米小路的一邊植樹，每隔5米栽一棵”的植樹情況。筆者巡視時發現，利用結繩方式探究的學生會出現困惑：繩子的兩頭打不打結呢？筆者乘機引導：繩子兩端打結與否，要看是否符合題目要求的“每隔5米栽一棵”這一條件，同時思考實際生活中有沒有類似的植樹情況。學生通過回憶生活中的實際場景，想到繩子兩端打不打結都有可能。

分不同情況操作探究后，學生交流做法。學生很容易就能根據路的前后兩端是否栽樹將植樹問題分成三類：一類是兩端都種樹，一類是兩端都不種樹，還有一類是只有一端種樹。學生總結后，筆者出示如下三種模型圖。

以上教學，筆者讓學生根據已有的生活經驗模擬植樹的場景，使學生從一開始就意識到生活中的植樹問題都能歸結成這三種模型，并初步感受到三種模型間既有聯系（路長、間距相同）又有區別（植樹方式不同）。

建模：數形結合，一一對應

學生通過結繩和畫圖的方法提煉出植樹問題的三種基本模型。然而，植樹問題的核心是找到“點段關系”，即棵數與間隔數的數量關系，這也是建模過程的難點。教師引導學生建模時，可以抓住一一對應的數學思想方法，幫助學生理清“點段關系”。

課堂上，筆者引導學生觀察張貼的上述模型圖，要求學生數一數可能栽幾棵樹。學生脫口而出：“可能栽4棵、3棵或2棵。”筆者順勢提問：“哪種情況栽的樹最多？哪種情況栽的樹最少？”一名學生回答：“兩端都栽時樹最多，兩端都不栽時樹最少。”筆者表示疑惑：“路長、間隔的米數都相同，為什么兩端栽樹時，樹的棵數最多？多出來的樹栽在哪里？”為了探究這一問題，筆者引導學生在圖上畫一畫、圈一圈，并說一說。大多數學生的畫法如下圖所示。

學生經過操作、交流和展示，明確了“第1個5米栽一棵，第2個5米又栽一棵，第3個5米再栽一棵，第4個5米栽最后一棵。多出來的是前端的那棵”。筆者質疑：“這條路有幾個5米？共栽了幾棵樹？你發現了什么？棵數為什么比間隔數多1？”筆者通過層層深入的提問讓學生不僅明確了棵數比間隔數多1，還知道了“多1”的原因是第一棵樹是從頭栽起的，不需要間隔。“20米是這樣，其他米數是否也是這樣呢？”筆者將路長改成10米、30米等，讓學生畫一畫、圈一圈，引導學生總結歸納出規律：兩端都栽棵數=間隔數+1。

有了研究“兩端都栽”植樹問題的經驗，學生對于應用“一一對應圈畫法”這一直觀的探究手段已經非常熟悉，很容易就遷移到另外兩種植樹模型的探究中，并自主圈畫出類似圖示（如下圖），從而找到棵數與間隔數之間的關系，最終得出規律：兩端都不栽棵數=間隔數-1；一端栽一端不栽棵數=間隔數。

此環節，學生結合線段圖探明不同植樹模型所蘊含的共同的數學思想，深刻理解了棵數與間隔數之間的數量關系受植樹方式即“點”與“段”對應關系變化的影響。如果植樹方式變化，那么在間隔數與棵數之間構建等量關系的關鍵數據就會發生變化，有時要加1，有時要減1，有時不加不減。

用模：分類比較，巧用模型

建模是目標，用模則是發展。應用已經構建出來的數學模型解決新的問題是培養學生模型意識的重要途徑。

筆者根據植樹問題在現實世界的表現，將練習題分為兩個類型——“真樹”型和“假樹”型。“真樹”型即問題情境中介紹的植樹場景；“假樹”型更復雜，問題中的“假樹”有像“安裝路燈”“排隊”等情境中形似的“樹”，也有像“鋸木頭”“爬樓梯”“敲鐘”等情境中形不似神似的“樹”。教學時，筆者利用動畫或圖片讓學生找一找將什么看作“樹”、什么看作“間隔”。學生通過想象、操作、畫圖等判斷問題情境符合哪種植樹模型。

以“敲鐘”問題為例。筆者出示習題：時鐘敲7下需要12秒，敲10下需要多少秒？學生模擬敲鐘的情境，進而感悟到“敲鐘”問題符合兩端都栽植樹模型，并在筆者的引導下發現“鐺”聲即是“樹”，每兩聲間的停頓就是“間隔”，求“敲10下需要多少秒”相當于求“路長”。聯系“兩端都栽棵數=間隔數+1”，學生快速想到敲7下只有6個間隔，進而計算出每個間隔是2秒，敲10下有9個間隔，那么時長等于“2×9=18”秒。