在解決問題的過程中建構數學模型

郭成

“植樹問題”的教學有利于學生發現數學規律，經歷數學模型建構的過程，發展模型意識和應用意識。教學中，教師如何引導學生通過實踐活動發現“棵數”與“間隔數”之間的關系，建構“植樹問題”模型，并遷移、運用模型解決同類型的問題？本期，我們從“建模”角度出發精選三篇文章，討論植樹問題的教學。

《植樹問題》是人教版數學五年級上冊《數學廣角》的內容。筆者遵循學生的認知規律，將結構化的數學知識和學生的生活經驗整合起來，設計了《植樹問題》主題學習活動，引領學生在尋求解決問題的途徑與方法的過程中多渠道、多角度構建“植樹問題”模型，培植學生的模型意識。下面，筆者以例1的教學為例，做具體闡述。

一、激趣導入，感知模型

有趣的手指操能讓學生的注意力迅速集中到課堂學習中。教學《植樹問題》例1時，教師可以用手指操引入，讓學生在活動中體會手指根數和手指間空個數之間的關系，認識“間隔”的概念，為探究植樹問題做鋪墊。

課堂上，筆者讓學生伸出左手，并提問：“5根手指之間有幾個間空？”學生回答：“4個。”筆者繼續提問：“你們發現了什么規律？”學生回答：“4根手指之間有3個間空，3根手指之間有2個間空，2根手指之間有1個間空。”筆者適時總結：在數學中，我們把這樣的間空叫作“間隔”。接著，筆者讓學生嘗試解釋“間隔”的含義，學生比較容易理解“間隔”是兩個事物之間的距離。然后，筆者讓學生找一找生活中的“間隔”。學生列舉了很多例子：衣服上，每兩顆扣子之間有間隔；教室中，前后相鄰的兩張桌子之間有間隔；斑馬線之間有間隔；馬路邊樹的排列也有間隔。學生提到馬路邊的樹時，筆者順勢引出本節課的學習主題“植樹問題”。

二、猜測驗證，構建模型

數學模型是為了某種目的對現實原型進行抽象、簡化后形成的數學結構，是使用數學符號、數學公式及數量關系對現實原型所做的一種本質刻畫。模型意識的培養有一定的難度，需融入具體知識的學習過程中。對于不易解決的問題，我們往往通過轉化，把它歸結為比較容易解決的問題，最終使原問題得到解決。這種思想方法稱為化歸思想方法。教師可以運用化歸思想方法，幫助學生建構“植樹問題”模型。

課堂上，筆者出示題目“在一條長100米的小路的一邊植樹，每隔5米栽一棵，兩端都栽，一共要栽多少棵樹？”學生齊讀題目后發現如下關鍵信息：間隔5米，小路的一邊，兩端都栽。筆者讓學生獨立思考，嘗試列式解答。隨后，筆者收集了三種有代表性的解法：①100÷5=20（棵）；②100÷5=20（棵），20+1=21（棵）；③100÷5=20（棵），20+2=22（棵）。筆者讓學生觀察比較，找出3種解法相同的地方。學生發現其中都有相同的除法算式“100÷5=20”。筆者引導學生思考這道算式表示什么。學生回答：“100米里面有20個5米，就是有20個間隔，單位應是‘個。”同時，學生提出疑惑：“有的解法加1，有的解法加2，有的解法不加，哪種解法對呢？”筆者留下懸念，引導學生進一步探討解決問題的正確方法。學生根據以往的學習經驗想到用畫線段圖的方法來驗證，但發現100米太長，不好操作。一名學生提出，可以先用較小的數來探究。筆者肯定了學生的想法：“當我們遇到繁瑣的問題時，可以化繁為簡。”實際操作時，有的學生選擇的數據過小，不符合題目要求。筆者組織學生交流討論：在100米中選取一段來研究這個問題，選擇多少米合適？學生討論后明確：要大于5米，并且是5的倍數，如10米、20米、25米等。畫圖探究后，學生展示并說明自己的想法：“20米長的小路一邊有4個間隔，可栽5棵樹；25米長的小路一邊有5個間隔，可栽6棵樹。”然后，筆者引導：不畫圖，如果這條路長30米、35米、40米等，你有辦法填寫如下表格中的信息嗎？

學生填表后交流匯報。筆者讓學生觀察表格，說一說發現了什么規律。學生總結：“路長÷間隔長=間隔數；間隔數+1=棵數。”筆者引導：“想一想，什么情況下‘間隔數+1=棵數？”學生補充：“兩端都栽的情況下‘間隔數+1=棵數。”筆者提醒學生不要忽視“兩端都栽”的前提條件。這樣教學，學生從大量數據中發現了規律，培養了數據意識。

學生在經歷了嘗試計算、圖示表達、抽象概括的學習過程后，筆者引導學生逐層深入地研究，從20米、30米、35米、40米、50米、100米的情況聯想到“點數比段數多1”，建立起“點”“段”之間關系的模型。

三、解決重難點，夯實模型

兩種物體間隔排列意味著這兩種物體的排列一一對應。通過“間隔5米栽1棵樹”，學生了解到可以將一個“段”和一個“點”看成一組，用圈一圈或連一連的方式表示，以直觀感知間隔排列的特點。學生還發現最后多了一個“點”（一棵樹），進而明白加的“1”指的是哪棵樹。此時，有學生提出質疑：“5個間隔加1不是6個間隔嗎？怎么變成了6棵樹？”一名學生上講臺指著下圖解釋：“一個間隔對應一棵樹，就是一一對應，最后多了一棵樹。”

筆者追問：“他把誰和誰對應？”學生明確：把一個間隔和后面的一棵樹對應。筆者追問：“加的1指什么？”學生回答：“起點的一棵樹。”筆者繼續追問：可不可以一個間隔對應前面一棵樹？學生回答“可以”，并說明這樣對應加的“1”就是最后一棵樹。學生在抽象分析中明晰了一一對應思想方法在“植樹問題”模型探究中的應用，深切體會到幾何直觀有助于把握數學問題的本質。

（本文系2022年“學習新課標? 踐行新理念”主題征文獲獎作品）