基于實際效果分解法分析斜拋運動問題

林溢源 沈 衛

(湖州市菱湖中學 浙江 湖州 313018)

人教版高中物理必修第二冊教科書提出:仿照平拋運動的處理方法能夠得到描述斜拋運動的幾個關系式[1].因此在多數情況下,分析斜拋運動的方法還是遵循平拋運動的處理方式,即采用正交分解法將斜拋運動分解為水平、豎直方向的勻變速直線運動.此外運用正交分解法分解運動或者力的時候可以沿著任意的兩個相互垂直的方向[2].

不過筆者在學習實踐中發現,正交分解法雖然原理直觀簡潔,但在解決部分斜拋運動問題時會構建過多的方程,計算略顯繁瑣,譬如從斜面底端斜上拋一個物體,計算其落在斜面上時與拋出點的距離,如圖1所示.如果遵循按實際效果分解的原理,將物體的運動分解為沿初速度方向的勻速直線運動、豎直方向的自由落體運動,則在一定程度上可以簡化問題的過程分析.

圖1 斜面上斜上拋物體示意圖

1 按實際效果分解法分析斜面上斜上拋運動

根據圖1,可將物體斜上拋運動分解為沿初速度v0方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動.根據分運動獨立性原理可知,兩個方向上的運動不會相互影響且具備等時性的特點.因此可構建如圖2所示的兩個分運動位移的示意圖.

圖2 斜面斜上拋物體的分位移圖

由圖2可知,當物體從O點斜向上拋出落到A點的過程中,根據△OAB及正弦定律可得

整理之后可得物體由O至A的時間為

再根據△OBC與△OAC即可得到物體拋出點O與落點A之間的距離d滿足

基于上述分析,可以看到按實際效果分解法在分析斜拋運動的問題時,其優勢在于不改變物體所參與的分運動實際效果的屬性,并且將這種屬性以幾何運算的形式加以呈現出來,從而充分展示物體分運動的特征,避開了因運動分解帶來的過多的方程聯立.通過筆者的學習實踐,發現按實際效果分解在分析斜拋運動問題時具有較為廣泛的普適性,下面通過兩個具體的問題實例加以說明.

2 按實際效果分解法在斜拋問題實例中的運用

從運動的實際效果出發分解斜拋運動,其運動所構成的位移三角形在多數情況下為斜三角形,因此在數學工具的運用上需要依托于解斜三角形的法則.故在方法運用上需要同學們具備一定的數學能力,并且能夠從分位移的三角形出發,建立邊角的關系,列方程求解.

2.1 對單一物體做斜拋運動的分析

【例1】最大與水平面成什么角度拋出石子,才能使石子在運動過程中始終遠離拋出點?不計石子所受阻力.

分析：取拋出點所在的水平面,構建石子沿初速度方向的勻速直線運動、豎直方向的自由落體運動的運動位移示意圖如圖3所示.

圖3 拋出的石子任意時刻的位移圖

圖中α為斜拋運動的拋射角.由余弦定理可知,在△OMN中存在

其中d為石子運動的任意時刻位置與拋出點的距離.顯然如果拋出的石子一直遠離拋出點,則意味著隨著時間t的增大,d一直增大,即d2一直增大.不妨取f(t)=d2,并對其求時間t的一階導數,可得

顯然當f′(t)>0時,d始終增大.

構建方程

當f′(t)>0時,運用根的判別式可得

可得石子的拋射角需滿足

2.2 兩物體斜拋運動問題的分析探討

【例2】一槍從同一地點發出兩顆子彈,發射的時間間隔為Δt,若兩子彈在同一平面內運動,證明兩子彈相遇的條件是

其中,α、β是兩次發射子彈的仰角且α>β,v是發射的初速度,如圖4所示,不計空氣阻力．

圖4 兩顆子彈做斜拋運動的示意圖

分析：將兩顆子彈沿初速度方向與豎直方向構建分運動的位移圖如圖5所示.

圖5 兩顆子彈分運動位移的示意圖

由圖5中兩顆子彈位移所構成的△OAB,依據正弦定理可得

(1)

(2)

根據式(1)可得子彈2從發射到與子彈1相遇所需的時間t滿足

(3)

聯立式(2)、(3)并整理之后可得到兩顆子彈相遇需滿足

利用和差化積公式與二倍角公式處理該式就能得到問題所要求證的結論,即

3 總結

通過上述兩個問題實例可知,不論對于單一物體做斜拋運動還是兩個物體做斜拋運動,按實際效果分解物體的運動,把握做斜拋運動的物體分運動的實際效果屬性,從解決問題的角度來說其方法是簡潔而直觀的．這種分解運動的方式在運算上也不是十分復雜,對于大多數處在高中的同學而言,只要具備高中數學的知識即可.因此處理復雜的斜拋運動問題,不妨轉換思路,調整思考的角度,說不定能夠從物理現象的本質與基本的概念入手,找尋到解決問題的最佳途徑.