試觸法判別式的可靠性研究及其優化

唐 龍

(廣安市現代實驗中學 四川 廣安 638600)

徐云東

(華鎣市教育科學研究室 四川 廣安 638600)

1 問題緣由

【例1】用電流表和電壓表測量電阻Rx的阻值．如圖1所示,分別將圖1(a)和圖1(b)兩種測量電路連接到電路中,按照圖1(a)時,電流表示數為4.60 mA,電壓表示數為2.50 V;按照圖1(b)時,電流表示數為5.00 mA,電壓表示數為2.30 V,比較這兩次結果,正確的是( )

圖1 例1題圖

A．電阻的真實值更接近543 Ω,且大于543 Ω

B．電阻的真實值更接近543 Ω,且小于543 Ω

C．電阻的真實值更接近460 Ω,且大于460 Ω

D．電阻的真實值更接近460 Ω,且小于460 Ω

解析：選第一組數據作為分母有

選第二組數據作為分母有

筆者查閱了資料,發現前人對這個問題研究非常少,而且說法不一.到底分母選用哪一個數據呢?判別式是否總是可靠?

2 能否找到更合適的判別式

試觸法是在其他電路不變的情況下進行的,假設整個電路的電動勢為E,等效內阻為r,外接測量數據為I1、U1,內接測量數據為I2、U2,如圖2所示.

圖2 試觸法電路圖

由外接相關數據可以推出

(1)

(2)

(3)

(4)

由內接相關數據可以推出

(5)

(6)

ΔR2=RA

(7)

將內接算出的RV代入ΔR1,外接算出的RA代入ΔR2:

若ΔR1>ΔR2,選內接 ,即

(8)

化簡得

(9)

那么我們得到新的非常具有對稱美的判別式.

3 利用新判別式分析原判別式的可靠性

通過此判別式可以驗證原本的判別式是否總是有效.當E、r、RV、RA,已知時,由閉合電路歐姆定律可知

(10)

U1=E-I1(r+RA)

(11)

(12)

U2=I2(R+RA)

(13)

再分別計算出

(14)

(15)

(16)

a、b、c的正負分別代表“選外接”和“選內接”.a對應以外接法數據為分母的判別式,b對應以內接法數據為分母的判別式,c對應新判別式.為了使圖像更直觀,將c放大100倍,對c的正負無影響.

當RV=10 000 Ω、RA=20 Ω、E=12 V、r=200 Ω時,部分數據和圖像如表1和圖3所示.

表1 新判別式與原判別式數據對比

圖3 數據擬合圖像

圖像顯示大多數情況以外接數據為分母的判別式、以內接數據為分母的判別式和這里的新判別式是一致的,但在一個比較窄的區間出現了分歧.新判別式是按照公式嚴格推導,是絕對準確的,所以,有時以外接為分母的是正確的,有時以內接為分母的判別式是正確的,有時甚至會出現兩種都錯的情況,比如下面這種情況.

當RV=3 000 Ω、RA=4 Ω、E=12 V、r=200 Ω時,按照同樣的方法可得到圖4.

圖4 特殊情況下的數據擬合圖像

當待測電阻真實值位于圖4中兩條豎直虛線之間時,以外接數據為分母的判別式、以內接數據為分母的判別式結果都是內接,而誤差更小的卻是按照新判別式計算的結果——外接.

筆者也試過分母I用外接數據,分母U用內接數據,或者反過來,將4種排列組合都試過,結果沒有一個是完全與新判別式一致.可見試觸法判別式無論選什么為分母并非總是合理.

4 回到原題

拋開所有的新舊判別式,為了解決這道題到底選哪一種接法更準確的問題,筆者試圖構造電路的E、r、RV、RA、R使得數據為I1=5 mA、U1=2.3 V、I2=4.6 mA、U2=2.50 V,我們可以通過逆向運算,假設電阻準確值已知為R,再計算出E、r、RV、RA.

由外接電路推出電壓表電阻

(17)

(18)

由內接電路推出電流表內阻

(19)

等效內阻為路端電壓的改變量與干路電流的改變量的比值,即

(20)

將式(18)和式(19)代入式(20)得電源等效內阻與R的關系為

(21)

圖5 r-R圖像

結果顯示,有時等效內阻r竟然是負值,這是不符合實際的.r為正值對應的待測電阻的區間是要窄得多.可見,對任何已知的電流、電壓表數據,一定能找到待測電阻更小的范圍.待其他值都算出來之后,電動勢

(22)

那么電動勢會不會出現負值呢?根據公式,只要r是正值,電動勢就不可能為負.故只能通過r大于零來縮小待測電阻范圍.

5 縮小范圍

前面已經算出內阻r的表達式,可知

(23)

由分子大于零得

IARA>U2-U1

(24)

將式(19)代入上式得

(25)

由分母大于零得

(26)

將式(18)代入上式得

(27)

所以,現在R的取值被縮小到了如下范圍

(28)

如果將最初的問題數據代入上式,會發現

496.5 Ω

當電阻在此范圍時,E、r、RV、RA都在一個正常范圍內,通過實驗可以將電表數據做出來.此范圍比之前的460 Ω

(29)

(30)

化簡得

(31)

由外接到內接,根據串反并同,電壓表的示數明顯是變大的,所以U2>U1,要上式成立,則I1>I2.那么在出題的時候數據必須要滿足此要求.

6 出題建議

對于普通學生,出題數據需要考慮判別式的統一性;對于競賽生,若將式(28)納入知識范疇,可以將例1改成如下例題.

【例2】用電流表和電壓表測量電阻Rx的阻值．如圖6所示,分別將圖6(a)和圖6(b)兩種測量電路連接到電路中,按照圖6(a)時,電流表示數為4.60 mA,電壓表示數為2.50 V;按照圖6(b)時,電流表示數為5.00 mA,電壓表示數為2.30 V,則電阻可能的值為( )

圖6 例2題圖

A.470 Ω B.500 Ω C.530 Ω D.560 Ω

答案為選項B.

7 結論

綜上所述,有以下結論.

(1)試觸法判別式選外接和內接為分母一般是一致且合理的,但也會出現兩種結果不一樣甚至都與事實不符的情況.

(2)若知道電動勢和等效內阻近似值,則可以用新判別式選擇電流表接法.新判別式如下:

(3)若外接測量數據為I1、U1,內接測量數據為I2、U2,一定有

a.I1>I2b.U1

最后這個結論是最實用的,可以很大程度地縮小待測電阻范圍,甚至筆者認為可以用來代替教材上用試觸法判斷電流表接法,改用推斷待測電阻區間.然而更加重要的不是結論,而是發現結論的過程和解決問題的方法.