類比法剖析毛細現象的能量分配*

芮云軍 類淑國

(南京工業大學數理科學學院 江蘇 南京 211816)

邰傳智

(南京市溧水區教師發展中心 江蘇 南京 211200)

毛細現象是浸潤和表面張力共同引起的[1-3].就能量觀點而言,液體浸潤管壁現象的發生,是由于勢能較高的液體內部分子不斷地進入勢能較低的附著層中所致,根據穩定平衡時勢能最小原理[2],得到液柱的平衡位置高度為

(1)

其中ρ為液體的密度,r為毛細管的內半徑,θ為接觸角,g為重力加速度,σ則為液體的表面張力系數.這與教材中從流體靜力學出發,利用各點壓強關系推出的高度完全一致[1].

既然平衡位置的高度為h0,那液柱所能達到的最大高度是多少呢?文獻[2]指出,“若系統無摩擦阻力,則液柱將在h0附近做簡諧振動,最大高度可達2h0”.為了理解該命題,我們將液柱上升運動與盤曲鏈條升降運動進行類比,計算系統中各力做功與動能變化,分析毛細現象中的能量分配問題[4].該類比有助于學生對毛細力的理解,以及變質量系統運動和能量損失的理解.

1 毛細力與鏈條恒力的類比

當毛細管插入液體,在毛細力的作用下,管中液面升高.在三相界面處,由著名的Young方程表示[3,5]

σSV-σSL=σLVcosθ

(2)

其中σSV、σSL、σLV分別表示固氣、固液、液氣兩相間的表面張力系數,如圖1所示.

圖1 毛細力分析

該理論指出,接觸角θ完全取決于3個兩相間的表面張力系數,與液柱重力無關[5].將液柱作為研究對象(如圖1中虛線框所示),其所受外力可以表示為

FCapi=2πr(σSV-σSL)=2πrσLVcosθ

(3)

可見,液柱所受毛細力FCapi取決于毛細管半徑r,液氣兩相間的表面張力系數σLV和接觸角θ.

公式(3)表明,液柱上升過程中,FCapi為恒力,方向沿著管壁向上.水柱的相鄰質量元之間有分子吸引力,類似于細繩,鏈條內的張應力．所以,液柱在毛細力下的上升運動與盤曲鏈條受恒力FChain的運動很相似,都可以作為一維變質量系統進行研究．液柱的線密度可以表示為

λL=ρπr2

(4)

2 毛細運動與鏈條運動的能量分配類比

毛細現象發生時,毛細力大于液柱重力,即

FCapi>λLgh(h

此時液柱具有加速度,具有速度v和動能Ek.隨著液柱高度的增加,當

FCapi=λLgh0

液柱到達其平衡位置h0.若系統無能量損失,液柱將繼續升高,并在毛細管中圍繞平衡位置h0作簡諧振動.然而事實并非如此,因為變質量系統(液柱)的質量元之間有動能損失ΔEk>0和粘滯阻力損耗(滯阻損失)f>0.

圖2為不同的液面高度來源的3種能量分配假設．

圖2 毛細力作用下的液柱高度與能量分配關系

液面上升過程中,沒有任何能量損失(ΔEk=0,f=0)時,液面高度可達2h0;有動能損失,但無滯阻損失(ΔEk>0,f=0)時,液面高度為1.5h0;而同時有動能和滯阻損失(ΔEk>0,f>0)時,液面高度則為h0.作為類比,盤曲鏈條受豎直向上恒力FChain作用,提拉端也會有3種不同的高度,即2a0、1.5a0、a0,如圖3所示.

圖3 恒力提拉下的鏈條高度與能量分配關系

動能損失和滯阻損失可表示為

(5)

(6)

恒力做功和重力勢能增加分別表示為

WC=FCy

(7)

(8)

其中FC表示恒力,根據公式(5)～(8),表1中給出了毛細恒力FCapi或鏈條恒力FChain做功、重力勢能變化、動能損失以及滯阻損失的值,它們之間的相互關系如圖4所示.

表1 毛細上升與鏈條提拉中的能量分配值

圖4 毛細上升(鏈條提拉)中的高度與能量關系

2.1 無能量損失(ΔEk=0,f=0)

假設液面上升過程中,沒有任何能量損失.則毛細力做功將完全轉化為液柱重力勢能ΔEp的增加

(9)

得到

(10)

此時

k定義為能量系數,表示液柱上升到平衡位置h0處,毛細力所做的功,即

將毛細力替換為鏈條恒力FChain,液柱線密度替換為鏈條線密度λ．由公式(9)、(10)可得,盤曲鏈條上升到平衡位置a0時,恒力做功為

升高2a0時做功為

如表1和圖4中的A點所示.

2.2 僅有動能損失(ΔEk>0,f=0)

假設變質量系統質量元之間僅僅發生非彈性碰撞,動能損失不可避免.又假設液柱與毛細管壁沒有摩擦阻力,以液柱為研究對象,其動力學方程可以表示為[6-8]

(11)

其中f1=λLv2為已動部分與未動部分的沖力,正是動能損失的內力,可通過動量定理得到[8].

求解方程(11),得到液柱上升過程中的速度可以表示為

(12)

所以,當液柱為最高點時,v=0,此時液柱的最大高度為

繼續求解該變質量系統到達最高點(1.5h0)之后的動力學方程,發現液柱將在平衡位置h0附近,作準周期的阻尼振動.

此時

將公式(12)中的v2帶入公式(5)計算動能損失

而重力勢能增加

2.3 同時存在動能損失和滯阻損失 (ΔEk>0,

f>0)

根據公式(5)～(8)定義,毛細現象的動力來源于毛細力FCapi做功,一部分提高液柱重力勢能ΔEp,一部分增加系統內能ΔEi.很顯然,系統內能為液面上升過程中的動能損失ΔEk和滯阻損失Wf之和.

ΔEi=ΔEk+ΔEf=WCapi-ΔEp

(13)

根據理論分析可知,同時存在動能損失和滯阻損失時,液面上升高度介于1.5h0與h0之間.當滯阻損失特別大時,液柱的運動可認為是過阻尼振動,毛細上升最大高度為其平衡位置.公式(13)對于盤曲鏈條也適用．有趣的是,此時液柱上升或鏈條升降過程的內能變化是恒力做功的一半,另一半為重力勢能增量,如表1和圖4中的C點所示,即

(14)

3 實驗驗證

公式(5)、(6)中,動能損失和滯阻損失的具體計算是十分不易的.公式(14)同樣告訴我們,ΔEk、Wf為互補關系.為了展示這種相反的變化趨勢,我們采用鏈條與魚漂組成變質量運動系統,魚漂可以提供向上的恒力FChain(大小不變的浮力).鏈條上下運動具有動能損失,在水中運動也會有很大的滯阻損失.實驗中,魚漂的平衡位置為a0=59.5 cm,將魚漂從1.5a0處靜止釋放(在水中)[8].手機拍攝其運動軌跡視頻,Tracker軟件提取高度．

根據之前的分析,鏈條將做振幅逐漸減小的準周期振動.圖5中的曲線1表示“僅僅考慮動能損失”情況下的數值模擬圖像.作為比較,曲線2為實際測量的運動圖像.

圖5 魚漂受恒定浮力的理論(1)與實際(2)振動圖像

很顯然,實際情況下,鏈條運動同時存在動能損失和滯阻損失,所以振幅減小,周期增加.由理論值的T1=1.54 s增加到實驗值的T2=2.24 s.并且這種振幅與周期的變化,隨著有機玻璃透明圓柱筒(裝水容器)內徑D的改變而變化,原因是鏈條運動中的粘滯阻力大小會變化[9].其表達式為

(15)

圖6 不同粘滯阻力下的魚漂振動圖像比較

ΔEk和Wf之間的互補關系,也可以通過毛細管液面的不同上升速度來進行驗證,如圖7所示.

圖7 不同粘滯阻力下的液柱上升速度比較

4 總結

將毛細力看做恒定外力,毛細管中的液柱看做一維變質量系統,構建了一維變質量系統受恒力作用的物理模型,與盤曲鏈條受力和運動相類似.通過3種能量假設,對毛細現象的能量來源和分配進行了分析.通過具體實驗,驗證了理論分析的正確性,加深了學生對毛細力做功、重力勢能變化、動能損失、滯阻損失的概念及相互之間關系的理解.