電場力做功與路徑無關的條件

王良翼

(成都市樹德中學 四川 成都 610031)

柯丁榮

(四川省雅安中學 四川 雅安 625000)

顧 鑫

(西華師范大學物理與天文學院 四川 南充 637000)

王 娣

(煙臺開發區高級中學 山東 煙臺 264000)

向國興 廖友兵

(成都市錦江區嘉祥外國語高級中學 四川 成都 610023)

在靜電場中,電場力做功與路徑無關,只決定于初末位置[1]．此處電場力做功與路徑無關的條件需要注意以下兩點:第一,如果靜電場是有界靜電場,帶電粒子從邊界某點運動出靜電場,然后從邊界另一點再進入靜電場,電場力做功可能與路徑有關;第二,靜止電荷周圍產生的電場稱為靜電場[1]．靜電場中,任何一個點的電場不隨時間變化,如果帶電粒子在交變電場中運動,雖然某一時段為靜電場,但是整個過程電場力做功可能與路徑有關．在教學過程中發現學生知道電場力做功與路徑無關,但是忽略做功與路徑無關的條件,從而對帶電粒子在電場中運動的復雜情境理解出現偏差．

1 題目及解析

【例題】如圖1所示,在豎直面內的光滑半圓弧絕緣軌道與光滑水平絕緣軌道相切于B點,圓弧軌道左邊有場強大小E=2×104N/C、方向與水平軌道成θ=37°斜向上的勻強電場．一個帶電荷量q=+1×10-4C的小物塊以初速度v0=16 m/s從A點開始運動,AB間距L=10 m．物塊在運動過程中電荷量不變,圓弧半徑R=4 m,物塊質量m=0.2 kg,重力加速度g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=

圖1 有界電場分布示意圖

0.8,求:

(1)帶電物塊通過C點時的速度大小;

(2)帶電物塊從C點拋出后在豎直方向和水平方向的加速度大小和方向;

(3)帶電物塊從C點拋出后落在水平地面時距A點的距離．

解析：(1)由題意從A到C對小物塊由動能定理得

(1)

解得帶電物塊通過C點時速度大小為

v=16 m/s

(2)對小物塊從C點拋出后受力分析可得

豎直方向有

mg-qEsin 37°=ma1

(2)

水平方向有

qEcos 37°=ma2

(3)

解得a1=4 m/s2,方向豎直向下,a2=8 m/s2,方向水平向右．

(3)帶電物塊從C點拋出后,設經過t時間落地,則豎直方向滿足

(4)

水平方向滿足

(5)

解得t=2 s,x=16 m．

如圖2所示,落在水平地面的D點距A點的距離為

圖2 帶電物塊運動示意圖

Δx=x-L=6 m

(6)

2 帶電粒子出進有界電場 電場力做功與路徑有關

教學過程中,學生認為,電場力做功與路徑無關,只取決于初末位置．如圖3所示,由例題的第(3)小問可知,小物塊落地點為D點,D點的速度為8 m/s,設AD的距離為Δx,從A點到D點的過程中,只有電場力做功,所以對小物塊應用動能定理得

圖3 電場力做功與路徑的關系

(7)

解得Δx=12 m,與原文正解矛盾．

學生的錯誤理解在于對電場力做功與路徑無關的條件把握不清．電場力做功與路徑無關的條件是帶電體一直需要在靜電場中運動,如果帶電體運動出靜電場的區域再返回靜電場區域,電場力做功與路徑無關的條件則可能不成立．本題就是帶電物塊從B點運動出電場,然后再從C點進入電場,在電場中從點A到點B任選一條路徑電場力做功與路徑無關,在電場中從點C到點D任選一條路徑電場力做功與路徑也無關,但是不能認為帶電粒子從A點運動到D點全過程中電場力做功與路徑無關．帶電物塊從點A到點D運動過程中,電場力做功應該計算各段電場力做功之和．由圖3可知,小物塊從A點運動到B點電場力做功

WAB=EqLcosθ

(8)

小物體從B點運動到C點電場力不做功

WBC=0

(9)

小物體從C點運動到D點電場力做功

WCD=-Eq·2Rsinθ-

EqLcosθ-EqΔxcosθ

(10)

所以小物塊從A點運動到D點整個過程中電場力做功為

WAD=WAB+WBC+WCD=

-Eq·2Rsinθ-EqΔxcosθ

(11)

從A點到D點的過程中,對小物體應用動能定理得

-Eq·2Rsinθ-EqΔxcosθ=

(12)

解得Δx=6 m,與原文正解相符合．

3 分時段靜電場 電場力做功與路徑有關

如圖4所示,勻強電場的大小為E,方向水平向右,在A1點靜止釋放一帶正電粒子,僅在電場力作用下,粒子運動到A2時,勻強電場大小不變,方向改變為水平向左,A1A2的距離為x,求粒子再次回到A1時的速度大小?

圖4 分時段靜電場示意圖

教學過程中發現,很多學生認為粒子在電場中的位置沒有變化,所以電場力沒有做功,從而粒子回到A1點時,由動能定理,粒子的速度為零．靜電場中,電場力做功與路徑無關,這里的靜電場只能是電場不隨時間變化,而本題中的靜電場方向突變之后,電場力做功與路徑有關．由運動分析,對帶電粒子應用動能定理得

(13)

解得

(14)

4 帶電粒子出進有界分時段靜電場 電場力做功與路徑有關

如圖5所示,是回旋加速器的示意圖.

圖5 回旋加速器加速示意圖

在回旋加速器中,粒子在A1處,電場的方向豎直向下,粒子運動到A2處,電場的方向也是豎直向下,如果認為電場力做功與路徑無關,選擇如5圖所示水平向左的路徑,從A1到A2電場力沒有做功,所以A1點的速度和A2點的速度一樣,從而回旋加速器不能達到加速的目的．這種理解是錯誤的,第一,回旋加速度器中的靜電場為交變電場;第二,帶電粒子運動出電場,然后在磁場中運動,再進入電場,所以回旋加速度器中粒子運動全程做功與路徑有關．設半圓形金屬盒的距離為d,則由動能定理得

(15)

從而在回旋加速器中,粒子的速度越來越大．

5 總結與反思

電場力做功與路徑無關的條件是帶電粒子在靜電場中運動,如果帶電粒子運動出靜電場的邊界,然后從非等勢點進入靜電場,電場力做功與路徑有關．同時靜電場特指全過程中電場不是時間的函數,不然帶電粒子在變化的電場中,電場力做功也與路徑有關．