基于3D打印與軌跡追蹤探究最速降線問題*

邱智宇 肖桂娜

(上海師范大學數理學院 上海 200234)

1 引言

伽利略于1630年提出疑問:給定兩點A、B,且B與A的連線與水平面不垂直．若不計摩擦力,物體在重力作用下沿著怎樣的曲線從點A滑到到點B,下滑的時間最短?[1]從直線到圓弧,再到最終旋輪線(最速降線)的確立[2-3],離不開偉大的物理學家建立在頭腦中的實驗室與計算系統．

隨著現代信息技術的快速發展,依據最速降線的參數方程,本文利用SolidWorks軟件建立3D模型,3D打印技術完成實體零件制作,拼裝后探究物體在斜面上與最速降線上下落的運動情況,利用Tracker進行數據處理．應用現代信息技術研究物理運動觀念,不僅能夠高效、可視化地獲得速度、位移隨時間變化的關系,及時更新教學模式與理念,還可有效吸引學生興趣,提高課堂教學效果．

2 實驗原理

最速降線的確立一波三折,問題提出后吸引了很多著名數學家、物理學家的關注:牛頓、萊布尼茨、約翰伯努利和雅克比伯努利都研究過此問題,最終給出了正確的結果[2]．不同于伯努利應用費馬原理類比獲得結果,本文通過歐拉-拉格朗日方程推導最速降線的參數方程[4]．

如圖1所示,A和B是平面上不在同一鉛直線上的兩點,在所有連接A和B的平面曲線中,存在一條曲線僅受重力作用,且質點從A點靜止釋放運動到B點沿這條曲線運動時所需時間最短．以A為坐標原點,建立平面直角坐標系,同時A也是半徑為R的圓沿著x軸旋轉的一個關注點,θ表示在轉動過程中A點轉過的角度．

圖1 最速降線原理圖

不計摩擦阻力,質量為m的小球僅受到重力作用,所以機械能守恒

(1)

可以獲得小球在曲線上運動的瞬時速度為

(2)

取Q上的極小一段距離ds,小球通過該段距離需要時間dt為

(3)

其中根據幾何關系,可得

(4)

所以小球運動的總時間可以由積分得到

(5)

令

需要找到一個函數f(x)使得式(5)中的結果最小．通過歐拉-拉格朗日第二方程

(6)

由于F(y,y′)與x無關,所以

原方程可簡化為

(7)

括號內的函數關系式為常數C,得

(8)

代入F(y,y′)后獲得微分方程,利用分離變量法可以獲得小球運動的參數方程

(9)

該結果被多人論證過充分性和必要性[5]．

此外,還可以獲得小球沿最速降線下落的運動時間

(10)

上式中π、R、g都是常量,不隨著釋放高度的變化而變化,物體下落的時間與初始位置無關,最速降線也被稱為等時降線．

3 實驗方法

自制實驗器材利用SolidWorks建立模型,應用輕薄光滑的樹脂材料,光源為355 nm的高精度SLA光固化3D打印快速成型系統進行3D打印,建構的固件都具有高精度和尺寸的穩定性．

首先,如圖2所示,在SolidWorks軟件上建立3D模型,基于前視基準面建構草圖,選擇方程式驅動的曲線,并將最速降線的參數方程輸入,選擇合適的參數范圍既可獲得最速降線．使用直線將構建封閉,拉伸后獲得構建的3D模型．

圖2 利用SolidWorks建立3D模型圖

3D打印選用的材料是樹脂材料,在塑形前為乳白色粘稠液體,其黏度為497 cps,密度為1.14×103kg/m3,通過ASTM標準測試制件性能,具有光滑、不易彎曲變形等特性．

不同的曲線方程即可獲得不同的3D構建,如圖3所示,本次實驗打印了最速降線與傾斜直線兩種構件,拼裝后完成最速降線的實驗平臺．小球選用能被磁性物質吸引的小鐵球,利用磁鐵實現同時釋放小球的發射裝置．

圖3 最速降線3D打印實驗裝置實物圖

將小球放置在發射臺,抽離磁鐵后,兩個小球同時由靜止沿斜面與曲面釋放,在下滑過程中,可以清晰直觀地從視頻每一幀看到,相同時刻,沿著最速降線下落的小球先落到終點．

利用手機慢鏡頭錄制實驗視頻,參數為1 080 p/240 fps,將實驗視頻導入Tracker軟件中進行軌跡追蹤,圖4不僅可以直觀看到小球在不同軌道上的運動情況,還可以獲取位置、速度隨著時間的變化關系．收集相關實驗數據導入Origin軟件進行圖像繪制與數據分析．

圖4 利用Tracker追蹤小球沿斜面下滑軌跡

最速降線的探究過程從“提出問題—設計實驗—收集數據—分析結論—評估反思”符合物理學科核心素養中科學探究的要求,鼓勵學生能積極應用現代技術設計創造實驗用具,通過計算機軟件處理解決問題,體現物理學科與時俱進的時代性[6],對學生今后的發展大有好處．

4 數據分析

本實驗選用的小球質量為0.16 kg,自制實驗儀器的設計基于直徑為0.249 m的圓上的一點,沿著直線前進產生的螺旋線參數方程．斷開磁力裝置,兩個小球由靜止開始,同時從傾斜軌道與最速降線軌道下滑,得到如圖5所示的水平位移與時間的關系．

圖5 兩球分別從傾斜軌道與最速降線軌道下滑的水平位移與時間的關系

根據圖5可知,當兩球在水平方向到達終點時,t曲

表1 不同時刻,小球在兩個軌道上的加速度比較

兩球分別從傾斜軌道與最速降線軌道下滑的軌跡如圖6所示.

圖6 兩球分別從傾斜軌道與最速降線軌道下滑的軌跡

表1對兩段運動圖像的斜率(運動的瞬時速度)進行計算,獲得某一時刻的加速度．結合兩者在圖6中的運動軌跡可知:傾斜軌道上的小球做勻加速直線運動,運動過程中速度隨著時間均勻增加,平均速度比最速降線小．而小球沿最速降線做加速曲線運動,加速度隨著時間的增加而逐漸減小,在初始位置小球近乎垂直加速下落,讓小球迅速加速獲得快速通過后半程水平位移的能量,平均速度快,所以到達底部時間最短．

小球沿著最速降線的不同位置下落時的位移與時間數據如表2所示,圖像如圖7所示.

表2 小球沿著最速降線的不同位置下落時的位移與時間

圖7 小球沿著最速降線的不同位置下落時的位移-時間圖像

根據表2與圖7可知:當小球分別從最速降線0.041 m、0.088 m、0.092 m、0.095 m和0.249 m處下落時,小球到達底端的時間均接近0.35 s．將上海地區的重力加速度g=9.764 m/s2與器材軌道的半徑0.124 5 m代入公式(10)得小球下落時間的理論值,將實驗值與理論值進行比對,相對誤差均低于2%,考慮到Tracker軟件讀取信息時的頻率,不能保證結束幀小球恰好落到軌道最低點,需要篩選數據多次測量取平均值．從實驗上證明,沿著最速降線的不同位置下落的物體,下落時間具有等時性．

5 結論

最速降線的應用已滲透在建筑、運動場地等領域,它的確立從提出問題,推理解釋,科學論證到現代可以通過3D打印技術與計算機軟件進行實驗驗證,人類對物體在重力作用下的最快速下落研究逐步深入,不僅能夠得到螺旋線的參數方程,更能高精度地還原最速下落的運動過程,并能發現物體從不同位置沿最速降線下落具有等時性．

希望教師在教學過程中,能夠時刻聯系物理學科的時代意義,將更多的研究方式呈現給學生,給學生夯實基礎,開拓視野,為科學思維與探究的培養建構平臺．