對高腳酒杯杯腳貼畫在杯底球面成像通式的探究與拓展

鄭通和

(寧夏育才中學 寧夏 銀川 750021)

【原題】(第21屆全國中學生物理競賽預賽第6題)有一種高腳酒杯,如圖1所示.杯內底面為一凸起的球面,球心在頂點O下方玻璃中的C點.球面的半徑R=1.5 cm.O到杯口平面的距離為8.0 cm,在杯腳底中心處P點緊貼一張畫片,P點距O點6.3 cm,這種酒杯未斟酒時,若在杯口處向杯底方向觀看,將看不出畫片上的景物.但如果斟酒,再在杯口處向杯底方向觀看,將看到畫片上的景物.已知玻璃的折射率n1=1.56,酒的折射率n2=1.34.試通過分析計算與論證解釋這一現象.

圖1 高腳酒杯

1 高腳酒杯杯底是凸、凹球面成像的通式推導

1.1 杯底是凸球面的通式推導[1]

如圖2所示,把高腳酒杯放平(杯腳靠左杯口靠右),分析成像問題.

圖2 杯底是凸球面近軸光線成像光路

在△PAC中,由正弦定理有

(1)

考慮近軸光線成像:α、i都是小角度,可近似認為

sinα≈αsini≈i

則有

(2)

和角度幾何關系

θ=i+α

(3)

得

(4)

在△CAP′中,由正弦定理有

(5)

同樣考慮近軸光線成像:β、r都是小角度,可近似認為

sinβ≈βsinr≈r

和角度幾何關系式

r=θ+β

(6)

得

(7)

在光路折射中,由折射定律

(8)

根據光路成像的距離幾何關系,聯立式(4)、(7)、(8)得

即得到一種高腳酒杯杯底是凸球面時杯腳底畫片成像通式為

1.2 杯底是凹球面的通式推導

圖3 杯底是凹球面近軸光線成像光路

在△PAC中,由正弦定理有

(9)

考慮近軸光線成像:α,i都是小角度,可近似的認為

sinα≈αsini≈i

得

(10)

由角度幾何關系得

(11)

在△CAP′中,由正弦定理有

(12)

和角度幾何關系

r=θ-β

(13)

同樣考慮近軸光線成像:β、r都是小角度,可近似的認為

sinβ≈βsinr≈r

所以

(14)

由光路折射定律

(15)

根據光路成像的距離幾何關系,聯立式(11)、(14)、(15)得

則得到高腳酒杯杯底是凹球面時杯腳底畫片成像通式為

2 杯腳貼畫在杯底是凸球面的成像位置

2.1 未斟酒時(圖2)

n=n0=1,由通式得

圖4 杯底是凸球面近軸光線物象同點成像光路

n′=n0=1n=n1=1.56

證明和通式結論相一致.

圖5 杯底是凸球面近軸光線不成像光路

R=-1.5 cmn′=n0=1n=n1=1.56

解得

證明和通式結論相一致.

圖6 實像P′通過眼睛在視網膜上二次成像光路

通過通式及作圖證明了“這種酒杯未斟酒時,若在杯口處向杯底方向觀看,能看到畫片P上的景物”.并不是原題中所說的“將看不到畫片上的景物”.

n′=n0=1n=n1=1.56

證明和通式結論相一致.

圖7 杯底是凸球面近軸光線成像變深光路

n′=n0=1n=n1=1.56

證明和通式結論相一致.

可確定虛像P′的位置,并可在杯口向杯底觀看,見到像位變淺的P′(圖8).

圖8 杯底是凸球面近軸光線成像變淺光路

n′=n0=1n=n1=1.56

證明和通式結論相一致.

2.2 斟滿酒后

當酒的折射率n=n2=1.34時,通式應為

n′=n2=1.34n=n1=1.56

證明和通式結論相一致.

圖9 杯底是凸球面近軸光線成像變深光路

n′=n2=1.34n=n1=1.56

證明和通式結論相一致.

根據光在球面或不同介質面逐個成像法[3]可知,該像相對高腳酒杯中酒面可再次成像.

酒平面的曲率半徑R∝∞,n′=n2=1.34,n=n1=1.56.

所成虛像在球面頂點O左側15.87 cm處.

3 杯腳貼畫在杯底是凹球面的成像位置

如圖3所示,當n=n0=1,由通式

可知,當畫片P距凹球面球心的距離

3.1 未斟酒時

如圖10所示,n=n0=1,R=1.5 cm.

圖10 杯底是凹球面近軸光線成像變淺光路

說明畫片P成一虛像P′在凹球面頂點O的左側1.61 cm處.

n′=n0=1n=n1=1.56

證明和通式結論相一致.

3.2 斟滿酒后

高斯公式驗證

R=1.5 cmn′=n2=1.34n=n1=1.56

證明和通式結論相一致.

4 總結