推導(dǎo)平行板電容器電容表達(dá)式的兩種方法

趙曰峰

(大連市第八中學(xué) 遼寧 大連 116021)

1 微元法

利用均勻帶電平板的電場強度推導(dǎo)真空中平行板電容器電容表達(dá)式.

1.1 構(gòu)建模型

構(gòu)建帶電半球殼模型計算無限大均勻帶電平板產(chǎn)生的電場強度.

如圖1所示,電荷面密度為σ的無限大帶電平板產(chǎn)生的電場是勻強電場.

圖1 均勻帶正電平行板產(chǎn)生的電場

對于距平板距離為r的O點,其距離板最近的點為O′,對于O點電場強度可利用微元法求解.選擇關(guān)于O′對稱的兩個微小平面面元dSi,如圖2所示.

圖2 兩對稱帶電面元dSi在O點產(chǎn)生的電場強度

(1)

當(dāng)球心角dαi→0時,球面面元dSi1等于平面面元dSicosθ,所以式(1)中dSicos3θ變?yōu)?/p>

dSicos3θ=dSicosθcos2θ=dSi1cos2θ

(2)

利用上式將式(2)化為

dSicos3θ=dSi1cos2θ=

(3)

將式(3)帶入式(1)可得

(4)

因此由式(4)可知,O點的電場強度為

(5)

即無限大均勻帶電平行板產(chǎn)生的電場強度為

EO=2kπσ

1.2 真空中平行板電容器電容表達(dá)式的推導(dǎo)

如圖3所示,平行板電容器內(nèi)部的電場可等效為兩個相互平行的無限大平板內(nèi)部產(chǎn)生的電場(這兩個無限大平板帶有相同電荷面密度為σ的等量異種電荷).

圖3 平行板電容器內(nèi)部產(chǎn)生的電場

由式(5)可得:

正極板產(chǎn)生的電場強度E+= 2πkσ.

負(fù)極板產(chǎn)生的電場強度E-= 2πkσ.

平行板電容器內(nèi)部任一點的電場強度等效為兩個相互平行的無限大平板在該點產(chǎn)生的電場強度的疊加,即

E=E++E-=2EO=4kπσ

因此電容器電壓為

U=Ed=4kπσd

(6)

面積為S的平行板電容器的電荷量為

Q=σS

(7)

將式(6)、(7)帶入電容的定義式,得出真空中平行板電容器的電容表達(dá)式為

2 極限法

極限法構(gòu)造等效平行板電容器推導(dǎo)真空中平行板電容器電容……