推導平行板電容器電容表達式的兩種方法

趙曰峰

(大連市第八中學 遼寧 大連 116021)

1 微元法

利用均勻帶電平板的電場強度推導真空中平行板電容器電容表達式.

1.1 構建模型

構建帶電半球殼模型計算無限大均勻帶電平板產生的電場強度.

如圖1所示,電荷面密度為σ的無限大帶電平板產生的電場是勻強電場.

圖1 均勻帶正電平行板產生的電場

對于距平板距離為r的O點,其距離板最近的點為O′,對于O點電場強度可利用微元法求解.選擇關于O′對稱的兩個微小平面面元dSi,如圖2所示.

圖2 兩對稱帶電面元dSi在O點產生的電場強度

(1)

當球心角dαi→0時,球面面元dSi1等于平面面元dSicosθ,所以式(1)中dSicos3θ變為

dSicos3θ=dSicosθcos2θ=dSi1cos2θ

(2)

利用上式將式(2)化為

dSicos3θ=dSi1cos2θ=

(3)

將式(3)帶入式(1)可得

(4)

因此由式(4)可知,O點的電場強度為

(5)

即無限大均勻帶電平行板產生的電場強度為

EO=2kπσ

1.2 真空中平行板電容器電容表達式的推導

如圖3所示,平行板電容器內部的電場可等效為兩個相互平行的無限大平板內部產生的電場(這兩個無限大平板帶有相同電荷面密度為σ的等量異種電荷).

圖3 平行板電容器內部產生的電場

由式(5)可得:

正極板產生的電場強度E+= 2πkσ.

負極板產生的電場強度E-= 2πkσ.

平行板電容器內部任一點的電場強度等效為兩個相互平行的無限大平板在該點產生的電場強度的疊加,即

E=E++E-=2EO=4kπσ

因此電容器電壓為

U=Ed=4kπσd

(6)

面積為S的平行板電容器的電荷量為

Q=σS

(7)

將式(6)、(7)帶入電容的定義式,得出真空中平行板電容器的電容表達式為

2 極限法

極限法構造等效平行板電容器推導真空中平行板電容器電容表達式.

在真空中構造兩個電荷面密度相同帶異種電荷的同心球殼(球殼厚度不計),如圖4所示,半徑分別為RA、RB(半徑滿足關系RB-RA=d,d為定值),電荷量分別為+QA、-QB.在A球殼選取面元S,同一球心角下B球殼對應的面元為S′.

圖4 兩個電荷面密度相同帶異種電荷的同心球殼

所以A、B球殼間電勢差為

(8)

當RA→∞時,RA?d,圖4中球殼面元S和S′視為平行的平面面元,此時S≈S′.由于兩球殼電荷面密度相同,則兩面元電荷量相同,因此兩球殼面元等效為平行板電容器.

兩球殼間的電勢差UAB即為構建的平行板電容器的電壓,由式(8)可知電壓為

(9)

所構建的平行板電容器的電荷量為

Q=σS

(10)

將式(9)、(10)帶入電容的定義式,得出真空中平行板電容器的電容表達式為

3 充滿介質時平行板電容器電容表達式的推導

因此,充滿介質的平行板電容器的電壓為

(11)

面積為S的平行板電容器的電荷量為

Q=σS

(12)

由式(11)、(12)可得平行板電容器的電容表達式為

推導完畢.

4 結束語

本文通過利用高中生易于理解的兩種方式推導了平行板電容器的電容表達式,使學生明確了電容表達式的由來,深刻體會了構建模型是解決物理問題的一種高效手段,感受到物理模型的魅力,同時解決了教師教學中的困難.推導過程利用微元法和極限法,合理外推,避免復雜的計算,通俗易懂,展示物理科學推理、科學論證的魅力,同時培養和拓寬了學生的科學思維能力,提升物理學科核心素養．