圓電流在非均勻磁場(chǎng)中所受的安培力*

詹 瓊 張興剛

(貴州大學(xué)物理學(xué)院 貴州 貴陽(yáng) 550025)

載流導(dǎo)線在磁場(chǎng)中受到的磁場(chǎng)力又稱為安培力,用安培定律進(jìn)行分析和計(jì)算,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為dF=Idl×B.當(dāng)外磁場(chǎng)是均勻磁場(chǎng)時(shí),求解過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)單一些;當(dāng)外磁場(chǎng)不是均勻磁場(chǎng)時(shí),求解這一類問(wèn)題時(shí)有一定的難度.

下面就一個(gè)例題的求解進(jìn)行分析研究.此題可見(jiàn)馬文蔚等教師編寫(xiě)的《物理學(xué)》第七版第295頁(yè)的例題2.一般來(lái)說(shuō),大學(xué)物理教師在講安培力的計(jì)算時(shí)要么不用該例題,要么主要講解其涉及的物理模型,對(duì)計(jì)算結(jié)果不會(huì)作仔細(xì)推導(dǎo).然而,仍有部分學(xué)生關(guān)心題目的具體求解方法和步驟.

1 例題分析

【例題】載流導(dǎo)線間的磁場(chǎng)力.如圖1所示,一無(wú)限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線與一半徑為R的圓電流處于同一水平面內(nèi),它們的電流分別為I1和I2,直導(dǎo)線與圓心相距為d,且d>R,求作用在圓電流上的磁場(chǎng)力.

圖1 例題題圖

解析：如圖1,建立坐標(biāo)系Oxy.由題知電流元I2dl所在處的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直紙面向外,大小為

(1)

此電流元受到的安培力方向如圖1所示,大小為

(2)

式中

dl=Rdθ

對(duì)于圓電流上處于不同位置的電流元,其受到的安培力有不同的方向.因此需要考慮dF沿x軸與y軸的分量,它們分別為

(3)

(4)

于是整個(gè)圓電流在y方向所受的安培力為

(5)

Fy=0也可以通過(guò)對(duì)稱性分析得到.

同理有

(6)

這里直接給出了

這個(gè)積分比較困難.我們給出了兩種計(jì)算這個(gè)積分的方法.

1.1 方法一——換元積分法

令

則有

由于θ的積分范圍為[0,2π][1],故t對(duì)應(yīng)的積分范圍為[0,∞]與[-∞,0],于是

(7)

利用積分公式

對(duì)上式進(jìn)行積分得

(8)

1.2 方法二——復(fù)變函數(shù)法

留數(shù)定理[2]:設(shè)C為一條簡(jiǎn)單正向閉曲線,若f(z)在C上連續(xù),在C所包圍的區(qū)域D內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)z1,z2,…,zk外解析,則

(9)

而對(duì)極點(diǎn)處的留數(shù)計(jì)算有:若z0為f(z)的m級(jí)極點(diǎn),則

(10)

現(xiàn)在令z=eiθ,則

由于θ的積分范圍為[0,2π],恰好對(duì)應(yīng)z沿圓周|z|=1正向繞行一周,于是有

(11)

分母有兩個(gè)根

為被積函數(shù)的奇點(diǎn),其中z1在|z|=1內(nèi),于是有

(12)

2 討論

通過(guò)前面的兩種數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程可以看到,對(duì)形如以下的積分

當(dāng)被積函數(shù)的原函數(shù)很難看出或不能用初等函數(shù)的有限形式表示時(shí),這時(shí)采用復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)定理計(jì)算較為簡(jiǎn)單方便.而復(fù)變函數(shù)又是理工類專業(yè)常開(kāi)設(shè)的一門(mén)課程,故在進(jìn)行教學(xué)時(shí)適當(dāng)進(jìn)行一些引導(dǎo),有利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的能力和興趣.但當(dāng)電流不是整個(gè)圓形,而是其中一部分圓弧時(shí),換元積分法只需積分范圍相應(yīng)改變即可,而復(fù)變函數(shù)法就不能采用了.