一般情況下一維三原子鏈的求解及其色散關系*

成泓宣 胡建民 王月媛 牛 麗

(哈爾濱師范大學物理與電子工程學院 黑龍江 哈爾濱 150025)

晶格振動理論是固體物理學研究固體宏觀物理性質和微觀運動規律的重要理論基礎,而一維原子鏈則是晶格振動理論的基本模型[1].關于一維單原子鏈和一維雙原子鏈的研究已有大量文獻報導[2-4].對于一維三原子鏈,文獻[5]通過求解等間距和等恢復力系數這種特定原子鏈的色散關系進而分析其特點,在此基礎上文獻[6]則重點分析了原子質量對色散關系的影響規律,文獻[7]則對這種特定情況下的一維多原子鏈色散關系進行了概括和總結.與特定的一維原子鏈相比,一般情況下的一維三原子鏈求解則更復雜,其物理性質也更豐富奇特、更具普遍意義,有必要深入探究.

本文擬求解一般情況下一維三原子鏈的色散關系,探究原子間恢復力系數對其色散關系的影響規律,相關研究結果既可以拓展固體物理教學內容,也可為科技工作者提供理論指導.

1 一般情況下一維三原子鏈模型及其色散關系

一般情況下的一維三原子鏈模型如圖1所示.

圖1 一般情況下的一維三原子鏈

近鄰原子間距分別為a、b和c(晶格常數為d=a+b+c),設m1、m2和m3分別表示原胞內小原子、中原子和大原子質量,近鄰原子間即小原子與中原子、中原子與大原子及大原子和小原子之間的恢復力系數分別為β1、β2和β3.適當選取坐標原點使第n個原胞內小、中、大原子平衡位置分別為nd、nd+a和nd+a+b,設離開平衡位置的位移分別為x3n、x3n+1和x3n+2.

簡諧近似下建立晶格原子的運動學方程為

(1)

方程的試探解為簡諧波

(2)

將上述試探解分別帶入式(1)中得到關于振幅A、B和C的齊次線性方程組為

(3)

根據方程組有非零解的條件即系數矩陣的行列式等于零可得

αω6+γω4+λω2+δ=0

(4)

其中

α=-m1m2m3

γ=[(β2+β3)m1m2+(β1+β3)m2m3+

(β1+β2)m1m3]

λ=-(β1β2+β1β3+β2β3)(m1+m2+m3)

δ=2β1β2β3(1-cosqd)

由重根判別式

φ=γ2-3αλτ=γλ-9αδσ=λ2-3γδ

和總判別式

κ=τ2-4φσ

可確定方程解的個數,詳解如下.

(1)當κ>0時,方程有兩個虛根,沒有物理意義故而舍去.

(2)當κ=0且φ≠0時方程有重根為

(3)當κ=0且φ=τ=0時方程有三重根

值得注意的是,在原胞內原子質量和恢復力系數都相等的情況下,當κ=0時q為確定值,則ω1、ω2和ω3為定值即此時的重根并不能給出一維原子鏈的色散關系;此外,當φ=0時意味著原子質量或恢復力系數等于零,則沒有實際物理意義.所以,此時方程解個數的減少并不意味著一維三原子鏈色散關系向一維雙原子鏈和單原子鏈過渡.

(4)當κ<0時,方程有3個不同實根即一維三原子鏈色散關系

(5)

由式(4)中的常數項和式(5)可知,色散關系與晶格常數d有關,而與原胞內原子間的相對距離無關.對式(5)進行數值擬合可得色散關系曲線如圖2所示,低頻聲學支、中頻光學支及高頻光學支的頻帶分別為ω1、ω2和ω3,相應的頻譜寬度分別為Δω1、Δω2和Δω3,頻率禁帶分別為Δω′和Δω″.當原子間距相等且m1=m2=m3=m、β1=β2=β3=β時頻率禁帶消失,從而一般情況下的一維三原子鏈色散關系可過渡為一維單原子鏈的色散關系[5].關于晶格常數對色散關系的影響已有文獻報道,本文重點討論恢復力系數對其色散關系的影響.

圖2 一維三原子鏈簡約布里淵區的色散關系曲線

2 恢復力系數對色散關系的影響

為分析不同原子間的恢復力系數對色散關系的影響規律,本文通過數值分析分別得到聲學波和光學波頻帶頂和頻帶底分別隨恢復力系數β1、β2和β3變化的關系曲線如圖3所示.

圖3 一維三原子鏈頻帶頂和頻帶底隨恢復力系數的變化

圖3中ω1t為聲學波頻帶頂,ω2t和ω2b分別是低頻光學波的頻帶頂和頻帶底,ω3t和ω3b分別是高頻光學波的頻帶頂和頻帶底.為簡便起見,圖3中的恢復力系數并不是其真實值,而是β1、β2和β33個恢復力系數的相對值,相應的格波頻率也取相對值.由圖3可見,不同的原子間的恢復力系數對格波頻率、頻譜寬度和頻率禁帶寬度的影響規律明顯不同.

首先,不同的恢復力系數對各支格波頻率的影響不同.不同原子間恢復力系數增大均會使光學波頻率不同程度地升高.與光學波相比,聲學波受恢復力系數的影響不大.

其次,不同的恢復力系數對頻譜寬度的影響不同.相比而言,高頻光學波頻譜寬度Δω3幾乎不受小原子和中原子間恢復力系數β1影響,而隨β2的增大逐漸變寬,隨β3的增大而變窄,這說明不同原子間的恢復力系數對高頻支聲子的能量分布范圍影響不同;與高頻光學波相比,中頻光學波頻譜寬度Δω2和低頻聲學波頻譜寬度Δω1=ω1t基本不受恢復力系數影響.

最后,不同的恢復力系數對頻率禁帶的影響不同.兩支光學波之間的頻率禁帶Δω″隨小原子兩側恢復力系數β1和β3的增大顯著變寬,而隨β2的增大逐漸變窄并基本趨于恒定,前者是由于恢復力系數增大使高頻光學支聲子能量大幅度增高導致的,而后者則是由于中頻光學支聲子能量相比高頻光學支聲子能量更大幅度增高導致的;中頻光學波與低頻聲學波之間的頻率禁帶Δω′隨中原子兩側恢復力系數β1和β2的增大明顯變寬,而隨β3的增加則基本不變.由于恢復力系數對低頻聲學波的影響不大,所以頻率禁帶Δω′主要取決于中頻光學波頻帶底的變化.總之,通過改變不同的原子間恢復力系數在理論上可實現對頻率禁帶寬度的精細調節.

與光學波相比,聲學波頻帶頂ω1t受恢復力系數的影響較小,本文單獨分析.

本文給出聲學波頻帶頂ω1t隨恢復力系數變化的關系曲線如圖4所示.由圖4可見,不同原子間的恢復力系數對聲學波頻率的影響明顯不同,聲學波頻帶頂ω1t隨恢復力系數β1的增大而增大、隨β2的增加而減小,而與β3無關,說明聲學支聲子的能量只受中原子兩側恢復力系數的影響,與大小原子間的恢復力系數無關.

圖4 聲學波頻帶頂隨恢復力系數的變化

3 結論

本文通過求解一般情況下一維三原子鏈的色散關系,討論恢復力系數對色散關系的影響.結果表明,在晶格常數和原子質量一定的情況下,色散關系與原子間恢復力系數密切相關.

高頻光學支聲子的能量隨恢復力系數的增大顯著升高,而中頻光學支聲子的能量僅隨中原子兩側恢復力系數的增大而升高,而受大小原子間恢復力系數的影響很小.高頻和中頻光學波之間的頻率禁帶隨小原子兩側恢復力系數的增大而加寬,隨中大原子間恢復力系數的增大而變窄;中頻光學波與低頻聲學波之間的頻率禁帶則隨中原子兩側恢復力系數的增大而變寬,而受大小原子間恢復力系數的影響不大.與特定情況下一維三原子鏈相比,一般情況下的一維三原子鏈表現出更加豐富奇特的物理性質.本文相關研究結果是固體物理學基礎理論的深入探討,可為帶通濾波器的工程設計提供理論指導.