含切口的壓電準晶組合結構界面斷裂分析的辛-等幾何耦合方法

楊震霆, 王雅靜, 聶雪陽, 徐新生, 周震寰

(大連理工大學 工程力學系 工業裝備結構分析優化與CAE軟件全國重點實驗室, 遼寧 大連 116024)

0 引 言

1983年,諾貝爾獎獲得者Shechtman教授首次在急速冷卻的鋁錳合金中發現了一種介于晶體與非晶體之間的物質——準晶體(QC)．該類物質由于特殊的微觀結構,表現出諸多優良的屬性,如隔熱、耐腐蝕、耐磨等,可用于制備太陽能選擇吸收器、儲氫材料等,在航空航天領域和新能源領域具有廣闊的應用前景．但是,準晶體為脆性材料,自身極易發生斷裂失效,需要與其他材料組合使用．然而,由于材料失配問題,不同材料的界面處不可避免地會出現界面斷裂．因此,研究準晶體組合結構的界面斷裂問題具有重要的實際意義．

目前,準晶體/壓電準晶體(PQC)的斷裂力學研究已經受到了學術界的廣泛關注．基于準晶體的彈性理論[1],Fan(范天佑)等首次研究了準晶體中的Griffith裂紋[2-3]．此后,研究者們進一步深入研究了準晶體線彈性斷裂問題[4-13]．在壓電準晶體斷裂方面:Jiang和Liu[14]研究了含有V形切口的一維六方壓電準晶體斷裂問題,并推導了應力強度因子的解析解;Li等[15]采用奇異積分方程研究了橫觀各向同性壓電準晶體圓柱殼的斷裂問題;Zhou和Li[16]考慮了壓電準晶體中的半滲透裂紋并求解了應力強度因子;Zhao等[17-18]發展了一種擴展位移不連續邊界元法,研究了雙壓電準晶體材料的界面斷裂問題;Hu等[19]研究了雙壓電準晶體材料中的雙界面裂紋．

上述研究工作主要集中于單一準晶體/壓電準晶體斷裂問題,解析分析主要基于單變量的Lagrange求解系統,需要根據邊界條件構造假設函數,因此大部分研究工作為無限大或半無限大的模型．此外,目前還沒有針對含有切口的壓電準晶體/壓電晶體/彈性體多材料界面反平面斷裂問題的相關研究．為解決上述問題,本文將辛方法與等幾何方法[20]相結合,發展了一種適用于壓電準晶體/壓電晶體/彈性體多材料組合結構反平面界面斷裂問題的辛-等幾何耦合方法．辛方法[21]是鐘萬勰院士首次提出的一種全新的解析求解方法,該方法無需構造假設函數,是一種直接理性的求解方法,目前已廣泛應用于多場耦合材料力學問題和斷裂力學領域．相比傳統方法,提出的辛-等幾何耦合方法主要具有以下三方面優勢:① 無需切口尖端的控制點加密,節省了大量計算資源; ② 無需后處理,直接獲得切口尖端附近的物理場和強度因子解析表達式,計算精度大幅提高; ③ 可以避免復雜的網格剖分過程．

1 壓電準晶體/壓電晶體/彈性體的辛體系

1.1 基本模型

含V形切口的三材料組合結構如圖1所示,為了研究切口在不同材料界面的情況,這里考慮3種情況: ① 切口位于壓電準晶體和彈性體之間,即M1為壓電準晶,M2為壓電晶體(PZC),M3為彈性體(情況1); ② 切口位于壓電晶體和彈性體之間,即M1為壓電晶體,M2為壓電準晶,M3為彈性體(情況2); ③ 切口位于壓電準晶體和壓電晶體之間,即M1為壓電準晶,M2為彈性體,M3為壓電晶體(情況3)．以切口尖端為原點,以上切口面為x軸和極軸建立直角坐標系(x,y)和柱坐標系(r,θ,z),以不同材料界面分別建立兩個子柱坐標系(r1,θ1,z1)和(r2,θ2,z2)．

圖1 含切口的三材料組合結構Fig. 1 The 3-material composite with a notch

1.2 Hamilton對偶方程

由文獻[22-23],三種材料反平面問題的應變能密度和對應的Lagrange密度函數為:

應變能密度

(1)

(2)

(3)

Lagrange密度函數

(4)

(5)

(6)

引入廣義位移向量:

(7)

由Legendre變換,廣義位移的對偶變量為

(8)

因此,Hamilton函數為

(9)

由Hamilton變分原理,Hamilton對偶方程為

(10)

1.3 辛本征值和本征解

式(10)可采用分離變量法求解．令ψ(i)={q(i),p(i)}e-μξ,有

(11)

式(11)有零本征值,其對應的本征解為

(12)

對于非零本征值,式(11)的通解為

(13)

該情況下,上下切口面聲子場、相位子場應力和電位移為零:

{σθz|θ=0,Hzθ|θ=0,Dθ|θ=0}T=0,σθz|θ=-γ1-γ2-γ3=0．

(14)

壓電準晶體與壓電晶體界面處,聲子場對應的應力、位移、電勢和電位移連續,相位子場應力為零:

(15)

壓電晶體與彈性體界面處聲子場應力、位移連續,電位移為零:

(16)

將通解(13)代入邊界條件(14)—(16)中可得

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

其中Λ由式(17)—(25)獲得．

式(26)有非零解,因此

|Λ|=0．

(27)

由于式(27)無法解析求解,采用迭代法可求出辛本征值的數值解．將本征值代入式(26)中,即可求出所有的非零本征值對應的本征解．至此,式(11)中的所有辛本征解已全部獲得．因此,式(10)的解可以表達為這些辛本征解的線性組合:

(28)

2 辛-等幾何耦合方法

2.1 壓電準晶體/壓電晶體/彈性體的等幾何列式

采用NURBS基函數對聲子場/相位子場位移和電勢進行離散:

(29)

對應聲子場/相位子場應變和電場強度為

(30)

將式(29)和(30)代入式(1)—(3)中,由變分原理即可得到等幾何列式:

K(i)a(i)=P(i),

(31)

(32)

其中

載荷向量P(i)為

(33)

2.2 壓電準晶體/壓電晶體/彈性體的辛-等幾何耦合列式

將模型分為兩個區域,如圖2所示．Ωs為奇異區,該區域受切口尖端的奇異應力影響較大．Ωn為非奇異區,該區域遠離切口尖端,受奇異應力影響較小．

圖2 奇異區和非奇異區Fig. 2 The singular region and the non-singular region

將等幾何列式(31)按奇異區和非奇異區進行分塊:

(34)

下標s和n代表奇異區和非奇異區．采用辛方法對奇異區進行求解,將奇異區的解式(28)代入式(34)中,即可獲得辛-等幾何耦合列式:

(35)

其中Φ(i)由辛本征解組成．可以發現,辛-等幾何耦合列式中,基本未知量為辛本征解的待定系數和非奇異區內控制點的未知量．當求解該方程,獲得待定系數c,即可獲得模型奇異區內物理場的解析表達式．

3 數 值 算 例

表1 壓電準晶體/壓電晶體/彈性體材料參數

3.1 對比算例

圖3 含內部裂紋的壓電準晶體Fig. 3 The square PQC with an internal crack

圖4 應力強度因子隨模型尺寸的變化Fig. 4 The variations of the stress intensity factor vs. the size of the model

圖5 圓形壓電晶體/環氧樹脂雙材料結構Fig. 5 The circular PZC/epoxy bi-material

(a) κ1的影響(a) The effects of κ1

3.2 壓電準晶體/壓電晶體/彈性體三材料結構的奇異性

考慮圖1中各角度對切口尖端奇異性的影響．計算參數為γ1=γ3=Δθ,γ2=180°．表2—4給出了不同情況下,切口尖端的奇異性隨各角度的變化．結果顯示情況1和情況2均有兩個奇異性指數,而情況3僅有一個奇異性指數,并且所有的奇異性指數均隨著角度Δθ的增加而降低．因此,切口的角度越小,3種情況的應力奇異性越強．

表2 情況1時切口奇異性指數隨角度Δθ的變化

表3 情況2時切口奇異性指數隨角度Δθ的變化

表4 情況3時切口奇異性指數隨角度Δθ的變化

3.3 含邊切口的方形三材料結構

考慮如圖7所示的含有邊切口的方形壓電準晶體/壓電晶體/環氧樹脂組合結構,分別考慮情況1、情況2、情況3三種組合方式．三材料角度分別為:γ1=γ3=60°和γ2=180°;切口深度為a;模型寬和高為L=6,H=12;無量綱載荷參數為:Δu=Δw=Δφ=0.1．由于三材料組合結構尖端奇異性指數不再為-1/2,這里采用文獻[23,27]所定義的廣義強度系數．

(a) 情況1 (b) 情況2 (c) 情況3 (a) Case 1 (b) Case 2 (c) Case 3

表5 界面1強度系數(情況1)

表6 界面2強度系數(情況1)

表7 界面1強度系數(情況2)

表8 界面2強度系數(情況2)

表9 界面1強度系數(情況3)

表10 界面2強度系數(情況3)

4 結 論

本文發展了一種適用于壓電準晶多材料組合結構界面斷裂問題的辛-等幾何耦合方法．該方法可以分析含V形切口的壓電準晶體/壓電晶體/彈性體的界面斷裂問題,直接獲得切口尖端附近區域內的奇異物理場的解析表達式以及各物理場對應的強度因子．該方法克服了傳統數值方法在計算強度因子時存在網格和路徑依賴問題,并且不需要引入新的單元和復雜的后處理程序．