人工智能背景下線性代數模塊教學的數字化轉型探究

吳偉

（常州信息職業技術學院，江蘇常州 213164）

在高職院校的數學課程體系中，線性代數是重要的知識模塊，對于學生后續專業課程的學習和數學思想、方法等素質的培養具有重要的作用，它與計算機圖形學、密碼學等很多學科都存在緊密聯系。近年來，隨著云計算[1-2]、大數據[3-4]、物聯網[5-6]、人工智能[7-8]等新技術不斷涌現，學科交叉趨勢日益明顯，這些技術和數學、物理等學科有著緊密聯系。線性代數作為這些知識基礎中的重要一環，具有獨特作用。線性代數模塊在新技術中的重要作用日益顯現，但是目前線性代數的教學仍然采用傳統的教學方法，側重于理論教學，采用概念、定理講解輔以習題訓練的教學模式，未突出線性代數知識和實際問題、新技術的聯系。大數據、人工智能等技術常常會涉及線性代數知識，比如主成分分析PCA、特征值和特征向量、矩陣的低秩分解等，這些技術案例都可以在線性代數課程中引入，使學生理解和掌握線性代數知識和新技術之間的密切聯系，進一步提升學生應用線性代數知識解決實際問題的意識和能力。

1 傳統的線性代數教學方法

在高職數學教學中，傳統的線性代數教學方法存在著照搬本科、重理論輕應用等問題。在傳統教學過程中，線性代數教學按照行列式、矩陣及其計算、向量及其運算、n維向量、線性方程組、矩陣相似對角化等內容逐步展開，教學著眼于理論完備性，把教學重點放在證明和計算上。教學方法主要遵循教材章節順序，講授概念，講清定理及相關計算方法等，主要圍繞理論的展開和說明、計算方法的講解來進行，比如計算矩陣的加減法、矩陣的乘法、矩陣的行列式、矩陣的逆、矩陣的特征值和特征向量等。學生在學習時常常無法了解線性代數中相關概念的實際背景，也不清楚這些理論及計算的具體用途，容易感到教學內容抽象和枯燥，導致學習興趣不高、學習效果不佳等情況，進而使其學完線性代數內容后不知道如何應用理論知識來分析和解決實際問題。

2 線性代數教學改革現狀

目前，大多數高職院校數學教師已經意識到了其線性代數教學和本科院校的線性代數教學之間的差異性，并對教學內容進行了相應的調整。比如，對一些較難的證明不再作出要求，對教學內容體系進行了調整，教學中引入了一些案例，嘗試將線性代數知識和專業課知識結合。

近年來，一些學者針對線性代數的教學改革進行了研究、分析和實踐。例如，張騰敏等[9]探討了線性代數的教學設計，如基于OBE（成果導向教育）理念的閉環學習以及如何以產出為導向設計教學，如何運用翻轉課堂調動學生的學習熱情，討論了課前、課中、課后的課程實施情況，并在學生、教師、科研三個維度分析了注重成果實現的評價方式；王永超[10]討論了線性代數進行“五化”教學改革，并給出了實踐路徑，分析了做法和成效；馮杰等[11]以“斑點貓頭鷹動力學”案例為背景進行線性代數中特征值和特征向量的教學設計；李燕娟等[12]對如何在城市之間通航問題、課程成績排序問題等建模案例中融入線性代數教學進行了探討；李艷艷[13]分析了教材中的問題，強調增加知識點來龍去脈的介紹和突出幾何聯系，并指出用建模思想促進教學。當前，社會已經進入了數字時代，人工智能等新技術在各個領域顯現出強大優勢，高職數學教師迫切需要以新技術為支撐對高職數學線性代數模塊教學進行數字化轉型。

3 與新技術結合的線性代數教學內容的數字化轉型

傳統線性代數的教學按其理論體系展開，強調線性代數理論的完整性、系統性，按照概念、定理、計算這樣的演進路線展開，導致教學內容比較抽象，不易激發學生的學習積極性，同時由于這種教學方式偏于理論而忽視應用，把線性代數的應用實踐環節弱化。在教學過程中，對于線性代數知識如何與專業相聯系，如何與近年來涌現的新技術相聯系，教師并沒有教授，學生很難把線性代數理論和具體的實際問題、專業問題或者技術問題聯系起來，影響學生應用線性代數的能力的提高。

解決上述問題的一個較好的方法是還原“實際→數學→實際”這一認知過程，讓數學從實際中來，再應用到實際中，將學習過程和應用過程融合，使兩者相互促進。將線性代數的內容和新技術相結合，同時將數學建模的思想貫穿其中，激發學生的學習興趣，從而增強學生解決實際問題的能力、創新意識、創新能力，并在教學過程中向學生強調以發現問題、分析問題、解決問題為主線探索未知領域，體現了能力本位的原則。線性代數教學的重點在于應用，在應用線性代數的過程中理解其思想、方法，而非單純的理論證明或者計算技巧的訓練；要以人工智能等技術熱點問題和專業問題為載體，建立線性代數與人工智能等實際問題的聯系，使學生具備將實際問題凝練為線性代數問題并加以解決的能力，使學生在解決問題的過程中更深入地理解所學的線性代數的數學思想、數學方法。以常州信息職業技術學院為例，任課教師在線性代數教學過程中融入人工智能等新技術的相關知識，將新技術提煉為教學知識的背景或者實際問題，由此出發，展開線性代數知識的講解，然后再回到新技術案例提出的實際問題，給出問題的解決方案，使學生不僅能更深刻地理解線性代數知識，而且能更好地提升運用線性代數知識解決實際問題的能力。這樣可以使學生真正體會線性代數知識的由來和扎根于現實的基礎，增強學生運用線性代數知識解決現實問題的能力，并增強線性代數知識與技術熱點等實際問題之間的聯系，為學生的專業學習和新技術探索奠定良好的基礎。此外，目前國內外許多研究人員將人工智能技術和生物醫學、機器人技術、軟件工程、集成電路設計、智能交通等研究范疇進行深度融合，進一步推動這些研究方向的發展。考慮到人工智能技術在諸多研究領域的強大推動作用，教師有必要讓學生了解線性代數與人工智能技術之間的密切聯系，幫助學生初步了解二者的關系，為后續利用線性代數知識深入理解人工智能技術原理和算法等打下基礎，下面舉例來進行說明。

3.1 以矩陣加減乘運算的教學為例

矩陣可以看作一個數表，即矩陣從表現形式可看作是一個二維的對象，也可以看成一個離散空間。矩陣概念可以從許多實際問題中提煉出來，比如存儲或者處理一個圖像時，可以把這個圖像看成一個矩陣，以此為基礎，可以進行圖像增強、圖像恢復、圖像變換等操作來改善視覺效果，還可以進行特征提取等操作，作為模式識別、計算機視覺的預處理。在處理數據時，人們經常會考查這些數據對象的相似度等特性，從而得到相似度矩陣。從這些實際問題中提煉出來的矩陣概念，可以方便后續的處理。

近年來，人工智能技術在眾多領域得到了應用并取得了突破性的進展，作為人工智能技術工具箱中的重要一員——深度學習也被越來越多的人所了解。深度學習需要結合學習對象的特點，以一定的理論為依據，構建能進行高效學習的神經網絡，神經網絡中蘊含的基本運算就包括了矩陣的加法、乘法等運算。首先，在教學環節設計方面，教師可以通過運行程序來呈現深度學習的結果，比如著名的神經網絡架構LeNet5，先通過構建卷積神經網絡對0～9 這10 個數字的手寫體進行精確識別[14]，讓學生直觀感受深度學習的作用，激發學生求知、探索的興趣；其次，教師可以呈現LeNet5 的神經網絡架構，簡單分析其原理，引導學生思考神經網絡的基本構成要素，引出矩陣的運算；最后，教師結合案例與學生共同分析矩陣運算定義的由來以及這些運算與實際問題之間的聯系。這樣就完成了從實際應用到數學，完成數學知識的學習，然后又反饋到實際應用的過程，使學生的學習做到“在用中學，在學中用”，理論與實際應用緊密結合，這樣的教學過程能極大激發學生的學習熱情，同時能降低理論知識的學習難度。在教學過程中，教師還可以將矩陣的運算與一些實際處理需求相對應。比如兩幅圖像對應矩陣的相加，從視覺上看，就表現為兩幅圖像以一定的權重系數疊加到了一起，往往會是一個背景圖和一個前景圖融合到一起成為一個新的圖像。此外，矩陣的求逆運算還可以用來進行簡單的圖像加密和還原。

3.2 以矩陣轉置和求逆運算、求解線性方程組的教學為例

SLAM 技術是同步定位與建圖的英文簡稱，該技術主要應用于機器人導航、無人駕駛等領域。在SLAM 技術中用到了比較多的線性代數理論知識，比如，SLAM 技術中用到的旋轉矩陣受到較強約束，必須是正交矩陣，而旋轉矩陣求逆后得到的矩陣就表示和原來相反的一個旋轉。又如，把矩陣代表的數據乘以對角矩陣，就是對對應的坐標軸進行相應的縮放，這賦予對角矩陣現實的意義，而不再是一些抽象的理論規定。SLAM 中的一些優化問題可以轉化為最小二乘法，即求解min||Ax-b||，這可以轉化為求解線性方程組ATAx=ATb，此處用到了矩陣的轉置運算。如果上述方程為超定方程且A列滿秩，則解為x=（ATA）-1ATb[15]。

3.3 以特征值和特征向量的教學為例

按傳統的教學方式，學生可以掌握特征值、特征向量的定義以及如何進行計算，但是學生會對自己的計算結果有什么用途存在疑惑。其實，矩陣的特征值和特征向量在新技術中的應用很廣泛。以計算機視覺中的人臉識別為例，通過探討簡單的人臉識別算法了解特征值、特征向量如何與人臉識別技術聯系，主要介紹以下兩類人臉識別算法。

基于幾何特征的人臉識別算法[16]：

（1）建模，用面部關鍵特征的相對位置、大小、形狀、面積等參數來描述人臉；

（2）人臉圖像f→特征向量v=（x1,x2,…,xn）；

（3）對所有已知人臉提取同樣描述的幾何特征D={v1,v2,…,vp}；

（4）待識別的人臉f提取的幾何特征為vf；

（5）計算vf與D中所有vi的相似度s（vf,vi），進行排序；

（6）根據相似度最大的已知人臉的身份即可判斷待識別人臉的身份信息。

從上述算法中可以看出特征值、特征向量是如何在人臉識別技術中應用的。

通過提出技術問題和構建實際背景，讓學生帶著問題學習相關知識，然后利用所學知識解決問題，這樣既能使學生主動學習，又能很好地鍛煉學生的應用能力，讓學生體驗解決問題的過程和樂趣，實現教學內容的數字化轉型。

4 教學方式的數字化轉型

對于數據量較大的計算，手動計算比較困難。所以，無論是理論教學還是應用的開展，都必須緊密結合編程，轉變傳統的教學方式。編程知識可以分為兩個方面：一個是線性代數中一些運算相關的編程實現；另一個是與人工智能等新技術相關的線性代數應用編程。

與應用相關的人工智能等技術的編程，由教師以案例形式引入線性代數基礎知識，然后給出人工智能算法的原理和步驟，再講解具體的代碼，這些可以通過錄屏成教學視頻上傳到超星學習通等平臺讓學生自學完成，也可以作為數學選修課的內容，以便有足夠的學時展開重點教學內容。此外，教師還可以提供豐富的網絡視頻、代碼講解資源，以便學生進一步深入學習，促進其應用能力的提升。

通過上述教學內容、教學思路的改變，可以使學生的主動學習意愿得到加強。在教學過程中，教師可以通過分組完成任務的方法，進一步提升學生的參與熱情，同時充分發揮小組內每位學生的優勢，使組內學生可以取長補短、相互學習，更好地完成小組任務，達到學習目標。代碼實現能力強的學生可以負責編程序，理論功底好的學生可以負責理論分析、推導，文字功底好的學生可以負責撰寫任務報告，這樣在合作解決問題的過程中，組內學生相互學習、相互促進，能更好地達到教學目標和學習目標。