粘性波動方程解的逐點估計

徐紅梅,郭曉曉

(河海大學(xué)理學(xué)院,江蘇 南京 211100)

0 引言

本文中考慮二維空間帶粘性項非線性波動方程解的逐點估計。方程形式為

(1)

耗散波動方程能幫助我們理解流體力學(xué)中的許多復(fù)雜方程。如,帶阻滯項的線性歐拉方程可轉(zhuǎn)變成帶阻滯項的波動方程。線性Navier-Stokes方程也可變形成(1)的線性結(jié)構(gòu)。因此有很多學(xué)者研究帶耗散結(jié)構(gòu)的波動方程,并取得了很多成果。下面只列出帶粘性項?tΔu的波動方程的部分結(jié)果。 在文獻(xiàn)[1-4]中,用能量估計的方法考慮了一系列擬線性波動方程在有界域中的初值問題。 文獻(xiàn)[5]中得到了高維線性方程的Lp估計。文獻(xiàn)[6]中結(jié)合能量估計和格林函數(shù)的方法得到非線性粘性波動方程小初值情形經(jīng)典解的整體存在性和Lp估計。文獻(xiàn)[7]中得到奇數(shù)維空間非線性方程解的逐點估計。文獻(xiàn)[8]中考慮了空間維數(shù)n≥4且為偶數(shù)時解的逐點估計。從文獻(xiàn)[6-8]中可以看出,方程解的衰減性與空間維數(shù)有關(guān),維數(shù)越高,解衰減越快。所以二維空間解的逐點估計更難計算。此文中,我們由對高頻格林函數(shù)和非線性項更詳細(xì)的分析,解決了這一問題。

本文中,我們用C代表正常數(shù),α是多重指標(biāo)α=(α1,α2),且|α|=α1+α2,下面我們列出一些準(zhǔn)備工作。

1 準(zhǔn)備工作

本研究是在對(1)的格林函數(shù)作詳細(xì)分析的基礎(chǔ)上得出的。方程(1)的格林函數(shù)G1,G2為如下方程的解

直接計算得

(2)

(3)

其中

(4)

我們需要對Gi(i=1,2)分不同的頻率作估計。于是定義光滑截斷函數(shù)

其中2ε≤R。定義

當(dāng)|ξ|充分大時,由泰勒展開可得

(5)

(6)

(7)

(8)

依此類推,由式(2),(5)～(6)得,當(dāng)V∈Hl,對多重指標(biāo)α,β,|α|≤l-2,有

≤C

(9)

于是

(10)

同理可得,當(dāng)|α|≤l,

(11)

由式(10)～(11),可得

定理1.1當(dāng)V∈Hl,對任意正整數(shù)N,存在正常數(shù)C,b,有

有了這些準(zhǔn)備,下面我們可以進(jìn)入本文中的主要工作。

2 解的逐點估計

由文獻(xiàn)[7,定理2.5]知,若式(1)有解,則解u(x,t)可表示為

(12)

定理2.1若初值u0(x),u1(x)滿足‖u0‖Hl∩W1。1≤E,u1(x)= ?xig(x),‖g‖Hl+1∩L1≤E,且u0,u1有緊支集,對j=0,1,存在正常數(shù)CN,b,有

定理2.1的證明當(dāng)u0,u1有緊支集,由文獻(xiàn)[9,引理2.4]和[8,命題 3.1],得

由文獻(xiàn)[9,引理2.4]和[8,命題3.2],得

下面估計非線性項。令

由M(t)定義,當(dāng)|α|≤l-3,可得

(13)

由式(1)中f(u)的形式,可得當(dāng)|α|≤l-4,有

(14)

當(dāng)|α|=l-3,由[6,定理1.1]和(13)式,得

(15)

為估計式(12)中的定積分,還需要知道G2,3(x,t)的構(gòu)造,由文獻(xiàn)[9,定理2.4],式(3)、(7)、(8),得

G2,3(x)=f1(x)+Cδ(x)+f2(x)

(16)

引理2.1

引理2.1的證明當(dāng)|x|≥t時,有|x|-sr≥|x|-tr≥0,所以A2(x,s)≤A2(x,t)。于是

由文獻(xiàn)[9,引理2.6],有

(17)

所以當(dāng)0≤|x|≤t,有

引理得證。

引理2.2

引理2.2的證明當(dāng)|x-y|<2ε,

所以

(18)

當(dāng)|x|≥t+|x-y|,則|y|-tr≥|x|-tr-|x-y|≥0,于是

An(y,s)≤CAn(x,s)≤CAn(x,t).

(19)

(20)

由式(18)～(20),引理得證。

引理2.3

(21)

(22)

(23)

由式(21)～(23),引理得證。

由引理2.1,引理2.2,引理2.3及式(14)～(15)得,當(dāng)|α|≤l-3,有

(24)

由定理2.1及式(12)、(24),當(dāng)|α|≤l-3,有

其中C與E無關(guān)。由M(t)的定義,得

M(t)≤CE+M2(t)+CEM(t).

由M(0)充分小及M(t)的連續(xù)性,得M(t)有界。于是得到本文中結(jié)論。

定理2.2若方程(1)中的u0,u1滿足‖u0‖Hl∩Wl,1≤E,u1(x)=?xig(x),‖g‖Hl+1∩L1≤E,l≥4,E充分小,則方程的解u(x,t)滿足