基于模糊n-cell數的非線性投入產出模型解的存在性

陸星宇,葉國菊,劉尉

(河海大學理學院, 江蘇 南京 210098)

0 引言

模糊數是模糊理論研究的重要內容,有關模糊數的概念最早由Zadeh等[1]研究提出的。2011年,Wang系統總結了模糊數理論,給出了相應的結果與應用[2]。模糊n-cell數是一類特殊的n維模糊數,可以用來表示不確定信息,在許多領域都有廣泛的應用,如模糊識別、分類、排序等[3]。

不動點理論在過去的幾十年里不斷發展,其形式與內容呈現出多樣化的特點,為后續研究提供了更廣的空間。模糊不動點理論是在研究模糊數空間中的不動點定理時建立起來的,是傳統不動點理論的一種推廣。Wang等[4-5]研究了一類模糊增映射的不動點定理,解決了3類平衡模型解的存在性問題。 Lakshmikantham等[6]提出了混合單調算子的概念并給出了相應的不動點定理。Chang等[7]將混合單調算子與模糊數結合起來,得到了一維模糊數空間中的一類帶緊性的混合單調不動點定理。有關單調算子的不動點理論在Banach空間中討論得比較完善,但其在模糊數空間中的研究還不夠全面。因此,受文獻[6-7]中結論的啟發,本文中給出了模糊n-cell數空間中的混合單調不動點定理,豐富了模糊n-cell數空間中的不動點理論,并為研究非線性投入產出模型解的存在性提供了理論基礎。

不動點理論也是研究各類算子方程的重要工具,在經濟均衡理論中發揮著巨大的作用,是處理平衡模型解的存在性的有力工具。投入產出模型是經濟模型中的一個經典問題,Liu等[8],Zhao等[9]等利用不動點定理討論了該模型解的存在性問題,得到了模型的數值解法。Mattila[10]將模糊線性系統和投入產出模型結合,用數值方法研究了該模型的解。近年來,投入產出模型也廣泛應用于多目標優化問題上[11]。鑒于投入產出模型的變量具有不確定性,本研究建立了一種以模糊n-cell數為變量的非線性投入產出模型,并結合不動點定理得到了該模型解存在的一些結論。

1 預備知識

設(Rn,d)為完備度量空間,K(Rn)表示Rn的非空緊子集全體。對任意A,B∈K(Rn),集合A和B的Hausdorff度量表示為

定義1[1]設u是論域Rn到[0,1]上的一個映射,即

u:Rn→[0,1],x→u(x),

稱u是Rn上的一個模糊集,u(x)稱為模糊集u的隸屬函數。對給定x∈Rn,u(x)稱為x對u的隸屬程度,Rn上的模糊集全體記為F(Rn)。

設u,v∈En,k∈R1,En中的加法、乘法和數乘分別表示為

其中,

定義2[3]設u∈En,若對任意的α∈[0,1],[u]α是一個n維方體,即

設ui∈E1,i=1,2,…,n,由ui構成的模糊數組稱為n維模糊向量,記為(u1,u2,…,un)。n維模糊向量全體稱為n維模糊向量空間,記為(E)n。

注2引理1表明模糊n-cell數與n維模糊向量可相互表示,即對于由模糊n-cell數u確定的n維模糊向量(u1,u2,…,un),表示法u=(u1,u2,…,un)存在且唯一。

設u,v∈L(En),記u=(u1,u2,…,un),v=(v1,v2,…,vn),對任意的k∈R1,L(En)中的加法、乘法與數乘分別表示為

u+v=(u1+v1,u2+v2,…,un+vn);

uv=(u1v1,u2v2,…,unvn);

ku=(ku1,ku2,…,kun).

設u,v∈L(En),α∈[0,1],L(En)中的度量表示為

文獻[2]中還給出了模糊n-cell數空間中的多種度量,并證明了在度量D下(L(En),D)為完備度量空間。

定義5[2］設非空集合U?L(En),若存在uU∈L(En),使得對任意的u∈U,有u≤uU,則稱U關于序≤有上界,uU稱為U的一個上界。若U有上界,且存在U的一個上界uS∈L(En),使得對U的任意上界uU,有uS≤uU,則稱uS為U的上確界,記為uS=supU。 下界與下確界可類似定義。若U關于序≤既有上界又有下界,則稱U是有界的。

引理2[2]設非空集合U?L(En),若U有上界,則存在上確界;若U有下界,則存在下確界。

定義6[6]設模糊映射A:L(En)×L(En)→L(En)。若對任意的(u1,v1),(u2,v2)∈L(En)×L(En),u1≤u2,v1≥v2,有A(u1,v1)≤A(u2,v2),則稱A為混合單調的。

定義7[6]設模糊映射A:L(En)×L(En)→L(En)。若存在(u*,v*)∈L(En)×L(En),滿足A(u*,v*)=u*,A(v*,u*)=v*,則稱(u*,v*)為A的耦合不動點。若存在u*∈L(En),使得A(u*,u*)=u*,則稱u*為A的不動點。

定義8[7]設模糊映射A:L(En)×L(En)→L(En)。若存在常數k∈(0,1),使得對任意的(u,v)∈L(En)×L(En),有D(A(u,v),A(v,u))≤kD(u,v),則稱A為壓縮映射。

2 混合單調映射不動點定理

設u0,v0∈L(En),u0≤v0,L(En)中的序區間記為[u0,v0]={u∈L(En):u0≤u≤v0}。

定理1證明記M={(u,v)∈[u0,v0]×[u0,v0]:u≤A(u,v),A(v,u)≤v}。由(u0,v0)∈M知M非空,不妨設

M1={u∈[u0,v0]:?v∈[u0,v0]使(u,v)∈M,u≤A(u,v)},

M2={v∈[u0,v0]:?u∈[u0,v0]使(u,v)∈M,A(v,u)≤v}。

(1)

(2)

證畢。

對于模糊映射A:[u0,v0]×[u0,v0]→L(En)。若A將[u0,v0]×[u0,v0]中的任意有界集映為L(En)中的相對緊集,則稱A是緊的。若A又是連續的,則稱A為全連續的。

un=A(un-1,vn-1),n=1,2,3,…

(3)

vn=A(vn-1,un-1),n=1,2,3,…

(4)

確定的序列{un},{vn}滿足

u0≤u1≤…≤un≤vn≤…≤v1≤v0

(5)

定理2的證明取n=1時將(3)、(4)式代入u0≤A(u0,v0),A(v0,u0)≤v0得u0≤u1,v1≤v0。注意到A為混合單調的,所以

u1=A(u0,v0)≤A(v0,u0)=v1,

故u0≤u1≤v1≤v0,利用歸納法假設

un-1≤un≤vn≤vn-1,

再由A為混合單調可得

un=A(un-1,vn-1)≤A(un,vn)=un+1,

vn=A(vn-1,un-1)≥A(vn,un)=vn+1,

un+1=A(un,vn)≤A(vn,un)=vn+1,

因此un≤un+1≤vn+1≤vn,假設成立,展開即(5)式成立。

D(unk0,u*)<ε,

所以當n≥nk0時,由序列{un}的單調遞增性有unk0≤un≤u*,故

D(un,u*)≤D(unk0,u*)<ε,

利用歸納法易證得

(6)

(7)

證畢。

wn=A(wn-1,zn-1),n=1,2,3,…

(8)

zn=A(zn-1,wn-1),n=1,2,3,…

(9)

定理3的證明注意到A為壓縮映射,由定義8知存在k∈(0,1),使得對任意的(u,v)∈[u0,v0]×[u0,v0],有D(A(u,v),A(v,u))≤kD(u,v),又A亦符合定理2的條件,故可將定理2中的式(3)、(4)代入該式得

D(un,vn)=D(A(un-1,vn-1),A(vn-1,un-1))≤kD(un-1,vn-1),

即

D(un,vn)≤knD(u0,v0)

(10)

對任意選取的初始點(w0,z0)∈[u0,v0]×[u0,v0],利用迭代格式(8)(9)易證得

un≤wn≤vn

(11)

un≤zn≤vn

(12)

證畢。

3 模糊非線性投入產出模型解的存在性

3.1 投入產出模型的早期研究概述

國民經濟各個部門之間存在著相互依存和相互制約的關系,各部門在彼此影響下形成了一個共同體,每個部門在運轉過程中對其他部門產品的消耗稱為該部門的投入,而這些消耗的產品在經過該部門加工處理后得到的新產品稱為產出。如何根據各部門之間投入與產出的平衡關系,確定各部門的產出水平以滿足社會需求,即各部門的總投入與總產出達到平衡,是投入產出模型主要研究的問題,該模型簡稱IO模型,是由美國數學家W.Leontief等[12-13]首先提出并研究的,幾十年來在理論和實踐方面有了很大的發展。國內學者那日薩等[14]對靜態非線性IO模型進行了深入的研究,取得了一定的成果。

早期的IO模型主要考慮線性模型。設有n個部門依次表示為1,2,…,n,在一定時期內,第i部門的總投入記為xi,總產出記為yi,初始投入記為ci,外部需求記為di,第i部門對第j部門的投入記為xij(也表示第j部門對第i部門的需求),i,j=1,2,…,n,于是可得出總產出與總投入的表達式為

(13)

(14)

由W.Leontief均衡理論知,應當保證每一部門的總投入等于總產出,即對第i部門而言,xi=yi,因此當i=j時,式(13)與式(14)是等價的。故本文中將在平衡條件xi=yi下考慮由(13)式確定的IO模型解的存在性問題。一般情況下,投入與產出都是動態變化的,在研究各部門投入與產出的平衡關系時,就需要一個穩定的指標來刻畫它,于是引入直接消耗系數aij來表示第j部門的單位產出對第i部門的直接消耗,即

代入式(13)得

(15)

若記投入向量X=(x1,x2,…,xn)T,需求向量d=(d1,d2,…,dn)T,直接消耗系數矩陣A=(aij)n×n,則式(15)可表示為

X=AX+d

(16)

式(16)稱為線性IO模型的代數方程,在線性模型下,我們總是假設每個部門只生產唯一的產品,不同部門生產的產品都是不同的并且aij是常數,由此可導出線性IO模型的基本問題:記I表示單位實矩陣,對于任意的需求向量d,是否存在投入向量X滿足方程(I-A)X=d。雖然該模型可以清晰地表達出投入產出量的關系,并且可以通過代數方法來求解投入向量X,但在實際生活中,許多變量都呈現出非線性關系,此時原先的假設便不再滿足,導致該模型無法對投入產出量做長期的預測,因此需要考慮更一般的模型。非線性模型是指原模型中第i部門對第j部門的投入xij非線性且唯一依賴于第j部門的總產出xj,記為xij=xij(xj),且記直接消耗系數aij=aij(xj),系數矩陣A=A(X),故非線性IO模型表示為

X=A(X)X+d

(17)

對于(17)式中的直接消耗系數矩陣A(X),早期的一些研究都是在假設A(X)為單調矩陣下考慮的,但在實際情況下,這不是一個普遍現象,因為隨著科技水平的進步,A(X)會表現出某一部分元素單調遞增而另一部分單調遞減的情況,因此在分析非線性IO模型時要考慮到這種情況。同時,大部分非線性IO模型都采用精確變量來表示未知量,但在一定時期內,投入產出量具有不確定性,故考慮用模糊n-cell數來表示這種不確定量是可行的。

3.2 模糊非線性投入產出模型的建立

將在非線性IO模型的基礎上,建立模糊非線性IO模型。設u(i)表示第i個部門的總投入,w(i)表示外部需求,pij(u(j))表示直接消耗系數,記第i部門對第j部門的投入μij(u(j))=pij(u(j))u(j),其中u(i),w(i),pij(u(j)),μij(u(j))∈E1,i,j=1,2,3,…,n。 由引理1知,對于u(i),w(i)表示的模糊向量,可存在唯一u,w∈L(En),使得u=(u(1),u(2),…,u(n))T,w=(w(1),w(2),…,w(n))T,再將直接消耗系數矩陣記為P(u)=(pij(u(j)))n×n,并假設P(u)中的元素均為單調的,則模糊非線性IO模型表示為

u=P(u)u+w

(18)

u=P1(u)u+P2(u)u+w

(19)

構造映射T:L(En)×L(En)→L(En)使得對任意的(u,v)∈L(En)×L(En),u,v非負,有T(u,v)=P1(u)u+P2(v)u+w,由定義6知T為混合單調的,于是(19)式代換為

u=T(u,u)

(20)

即模糊非線性IO模型(18)解的存在性問題轉換為混合單調映射T的不動點存在性問題(20)。不妨選取初始投入向量u0,v0∈L(En),并假設u0≤v0。

3.3 模型解的存在性

對于上述構造的模糊映射T,由定理1,2,3可依次得到如下結論1～3。

結論1表明函數T(u,v)在滿足一定的條件下能夠使得T存在耦合不動點,但由于耦合不動點只能說明T在第一分量上達到平衡,并不等價于一般的不動點形式,因此需要賦予T更強的條件。不妨通過構造迭代格式un=T(un-1,vn-1),vn=T(vn-1,un-1),n=1,2,3,…得到序列{un},{vn}。

結論2表明在假設T具有緊性的條件下,可通過迭代格式來逼近T的耦合不動點。

T(u0,v0)=w≥u0,

且

由結論3可知本結論成立。

證畢。