將科研熱點(diǎn)作為概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)案例的研究*

田露

南京理工大學(xué)紫金學(xué)院 南京 210046

0 引言

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（簡(jiǎn)稱概率統(tǒng)計(jì)）是高校理工科以及經(jīng)管專業(yè)學(xué)生的必修課程，對(duì)后續(xù)專業(yè)課學(xué)習(xí)和實(shí)踐應(yīng)用非常重要。該課程由概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)兩部分組成，概率論主要包含（多維）隨機(jī)變量及其分布、隨機(jī)變量的數(shù)字特征、大數(shù)定律等內(nèi)容；數(shù)理統(tǒng)計(jì)主要包含參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、方差分析等內(nèi)容。這些內(nèi)容，一方面對(duì)學(xué)生的高等數(shù)學(xué)功底有一定的要求，另一方面概念多且抽象、公式繁且難以理解。所以，雖然這本來(lái)是一門應(yīng)用性的課程，但是學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)仍然感覺偏理論輕應(yīng)用，不了解課程內(nèi)容與自己專業(yè)學(xué)習(xí)的聯(lián)系，因而缺乏學(xué)習(xí)興趣與動(dòng)力。因此，如何激活概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)課堂，如何激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，是教師們一直需要思考、探索的問(wèn)題[1]。

1 概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)現(xiàn)狀

為了激活概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)課堂，筆者順其自然地想到，在教學(xué)過(guò)程中引入更具有科研熱點(diǎn)的應(yīng)用實(shí)例，使得學(xué)生了解到所學(xué)知識(shí)與當(dāng)前科技熱點(diǎn)問(wèn)題的聯(lián)系，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)來(lái)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。當(dāng)然，教師們也要清醒地認(rèn)識(shí)到，不能為了改革而改革，現(xiàn)有教學(xué)課件中一些簡(jiǎn)單而又便于理解的實(shí)例，還是可以有一部分保留的，而不是全盤否定刪除。比如“拋硬幣觀察正反面”“抽簽問(wèn)題”“分組問(wèn)題”等一些經(jīng)典的古典概率例題仍然可以適當(dāng)保留[2]。

2 概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)實(shí)例研究

一方面，鑒于筆者所在學(xué)校是應(yīng)用型的工科院校，工科生占很大比例，在如今深度學(xué)習(xí)流行的時(shí)代，很多人工智能相關(guān)的工科專業(yè)會(huì)開設(shè)深度學(xué)習(xí)這門課程，而這門課程與概率統(tǒng)計(jì)課程交叉的知識(shí)點(diǎn)很多[3]；另一方面，由于筆者近年來(lái)一直從事應(yīng)用深度學(xué)習(xí)相關(guān)的科研工作，在做科研過(guò)程中，經(jīng)常遇到概率統(tǒng)計(jì)中一些基本的知識(shí)點(diǎn)，比如條件概率、全概率公式、貝葉斯公式、最大似然估計(jì)等，大量的概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)用于深度學(xué)習(xí)中模型的建立，損失函數(shù)的設(shè)計(jì)等很多方面。所以筆者有意識(shí)地去收集一些深度學(xué)習(xí)與概率統(tǒng)計(jì)交叉的知識(shí)點(diǎn)，很自然地將這些科研熱點(diǎn)問(wèn)題或者實(shí)踐應(yīng)用問(wèn)題引入到概率統(tǒng)計(jì)課程的實(shí)例中，讓學(xué)生真正地看到數(shù)學(xué)的應(yīng)用，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣以及主觀能動(dòng)性，當(dāng)然從教師的角度來(lái)說(shuō)，這也讓科研與教學(xué)相輔相成。下面詳細(xì)地展示兩個(gè)實(shí)例。

實(shí)例研究舉例1

筆者在講授隨機(jī)變量這一章節(jié)中常見的隨機(jī)變量分布時(shí)，首先會(huì)先講0-1分布（或兩點(diǎn)分布）：

若隨機(jī)變量X只取0、1兩個(gè)值，且其分布律為

P{X=k}=pk(1-p)1-k，k=0,1 (0

則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的0-1分布或兩點(diǎn)分布。

關(guān)于兩點(diǎn)分布，教學(xué)過(guò)程中重點(diǎn)在于強(qiáng)調(diào)隨機(jī)變量X取值只能有兩個(gè)。一般以往教學(xué)中，都以拋硬幣觀察正反面作為實(shí)例。這個(gè)例子雖然簡(jiǎn)單，但是很難與現(xiàn)實(shí)實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合。尤其是講完兩點(diǎn)分布后，會(huì)講二項(xiàng)分布，而二項(xiàng)分布就是n重的兩點(diǎn)分布，所以為了讓學(xué)生能充分理解兩點(diǎn)分布，可以找一些更直觀的例子。筆者注意到，其實(shí)深度學(xué)習(xí)中二分類的問(wèn)題其實(shí)就是兩點(diǎn)分布的應(yīng)用，比如Logistic回歸是一種常用的處理二分類問(wèn)題的線性模型，也是深度學(xué)習(xí)中最簡(jiǎn)單的分類模型。接下來(lái)可以先適當(dāng)?shù)慕榻BLogistic回歸的背景知識(shí)[4]。

給定N個(gè)樣本的訓(xùn)練集，其中y(n)∈{0,1}稱為類別標(biāo)簽。在二分類問(wèn)題中，線性模型的關(guān)鍵之處在于需要找到一個(gè)線性判別函數(shù)f(x;ω)=ωTx+b。特征空間中所有滿足f(x;ω)=0的點(diǎn)組成一個(gè)分割超平面（二維情況下就是分割線），稱為決策邊界或者決策平面。決策邊界將特征空間一分為二，劃分為兩個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域?qū)?yīng)一個(gè)類別。Logistic線性回歸模型試圖學(xué)習(xí)到參數(shù)ω*，使得每個(gè)樣本(x(n),y(n))盡量滿足

f(x(n);ω*)>0 ify(n)=1

f(x(n);ω*)<0 ify(n)=0

上面兩個(gè)式子也可以合并，即參數(shù)ω*盡量滿足

對(duì)于二分類問(wèn)題，最簡(jiǎn)單直接的損失函數(shù)就是0-1損失函數(shù)，即

L(y,f(x;ω))=I(yf(x;ω)>0)

其中I(.)為示性函數(shù)。但是0-1損失函數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)并不好，它關(guān)于參數(shù)ω的導(dǎo)數(shù)為0，從而導(dǎo)致算法去做梯度下降時(shí)無(wú)法優(yōu)化參數(shù)ω。

在Logistic回歸中，很顯然會(huì)使用Logistic函數(shù)作為激活函數(shù)（把線性函數(shù)非線性化）,目的是把線性函數(shù)f(x;ω)的值域從實(shí)數(shù)空間“擠壓”到(0,1)之間，可用來(lái)表示概率。

Logistic回歸模型預(yù)測(cè)條件概率

從而由上面第一個(gè)等式進(jìn)行變換后得到

在這個(gè)例子中，一方面涉及了概率統(tǒng)計(jì)中的兩點(diǎn)分布、條件概率、對(duì)立事件等知識(shí)點(diǎn)，另一方面也解釋了為什么將Logistic回歸也稱為對(duì)數(shù)機(jī)率回歸這個(gè)事實(shí)。當(dāng)然分類問(wèn)題不止Logistic回歸線性模型一個(gè)例子，比如還可以將機(jī)器學(xué)習(xí)中的貝葉斯分類器作為實(shí)例，讓學(xué)生看到由概率知識(shí)設(shè)計(jì)的模型，可以解決科研實(shí)踐中的一類問(wèn)題。

實(shí)例研究舉例2

在概率統(tǒng)計(jì)的參數(shù)估計(jì)這章中，最大似然估計(jì)是非常重要的知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)在數(shù)據(jù)建模、機(jī)器學(xué)習(xí)中使用廣泛。機(jī)器學(xué)習(xí)中的一個(gè)熱門研究問(wèn)題，無(wú)監(jiān)督學(xué)習(xí)，其涉及的參數(shù)密度估計(jì)，恰好就是根據(jù)先驗(yàn)知識(shí)假設(shè)隨機(jī)變量服從某種分布，再利用訓(xùn)練樣本來(lái)估計(jì)未知分布中的參數(shù)[4]。

使用最大似然估計(jì)（MLE）來(lái)尋找θ使得logp(D;θ)最大。這樣參數(shù)估計(jì)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化問(wèn)題：

假設(shè)樣本x∈R服從正態(tài)分布

其中μ和σ2分別為正態(tài)分布的均值和方差。

分別求上式關(guān)于μ，σ2的偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于0，可得：

在這個(gè)例子中涉及了概率統(tǒng)計(jì)中最大似然估計(jì)這個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)也看到在處理海量的大數(shù)據(jù)時(shí)，數(shù)學(xué)這個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科發(fā)揮的重要作用。然后還可以把上面的正態(tài)分布換成多項(xiàng)分布，類似的可以求得參數(shù)的估計(jì)。

在機(jī)器學(xué)習(xí)中還有很多以概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)為背景的算法，可以嘗試作為教學(xué)案例，比如樸素貝葉斯分類器就是基于貝葉斯定理與特征條件獨(dú)立假設(shè)的分類方法，而且發(fā)源于古典數(shù)學(xué)理論，需要堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論，當(dāng)然分類效果也很穩(wěn)定，也有一定的數(shù)學(xué)理論的解釋。當(dāng)然機(jī)器學(xué)習(xí)不僅應(yīng)用了概率統(tǒng)計(jì)理論，還有數(shù)學(xué)中其他分支的理論。比如主成分分析法，是一種常用的無(wú)監(jiān)督學(xué)習(xí)方法[5]，主要用于發(fā)現(xiàn)大量數(shù)據(jù)中的基本結(jié)構(gòu)，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行降維，消除冗余的數(shù)據(jù)。而該方法主要思想就是，利用正交變換把由線性相關(guān)變量表示的觀察數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為由線性無(wú)關(guān)變量表示的數(shù)據(jù)。學(xué)過(guò)線性代數(shù)都知道，線性無(wú)關(guān)的變量本質(zhì)上取自于原線性相關(guān)變量中的部分變量，所以數(shù)據(jù)量就會(huì)大大減少，使得數(shù)據(jù)變得更易使用，并且還能去除數(shù)據(jù)中的噪聲。主成分分析可以從數(shù)據(jù)中識(shí)別主要特征，選擇方差最大的方向作為第一條坐標(biāo)軸，后續(xù)坐標(biāo)軸則與前面的坐標(biāo)軸正交。所以可以看到，這一個(gè)算法中應(yīng)用到了線性代數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)、高等數(shù)學(xué)知識(shí)，這對(duì)學(xué)生的綜合分析能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)能力有很大的提高。

3 教學(xué)模式改革

此外，教學(xué)模式也應(yīng)該改革，目前比較流行的是混合式教學(xué)模式，其優(yōu)點(diǎn)是可以運(yùn)用多種教學(xué)資源，尤其是豐富的網(wǎng)絡(luò)教學(xué)資源與多種技術(shù)手段相結(jié)合，改變傳統(tǒng)的“填鴨式”教學(xué)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。但是，在實(shí)踐中，混合式教學(xué)模式改革存在著幾個(gè)難點(diǎn)：1）一些基礎(chǔ)的定義、定理抽象復(fù)雜，學(xué)生自學(xué)效果差；2）傳統(tǒng)的面授教育習(xí)慣下，學(xué)生可能難以適應(yīng)教學(xué)模式的改變；3）公共基礎(chǔ)課受眾面廣，保證每一個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果有難度；4）學(xué)生基礎(chǔ)參差不齊，采用“一綱一本”的教學(xué)方式無(wú)法有效銜接；5）一味地追求技術(shù)手段的運(yùn)用，為了“翻轉(zhuǎn)”而“翻轉(zhuǎn)”。

所以，任課教師不能盲目地尋找科研熱點(diǎn)作為概率統(tǒng)計(jì)中的案例。根據(jù)不同難度級(jí)別的知識(shí)點(diǎn)，教學(xué)大綱中對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)掌握程度的不同要求以及針對(duì)不同層次基礎(chǔ)的學(xué)生，設(shè)計(jì)不同的案例以及不同的教學(xué)形式和評(píng)價(jià)機(jī)制，這樣配合新的教學(xué)案例才能有更好的教學(xué)效果。關(guān)于知識(shí)點(diǎn)級(jí)別劃分標(biāo)準(zhǔn)如下[6]。

1）一級(jí)知識(shí)點(diǎn)：具有豐富的數(shù)學(xué)歷史背景，易于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并且在教學(xué)大綱中要求學(xué)習(xí)了解或掌握的知識(shí)點(diǎn)。在概率統(tǒng)計(jì)中有諸如“賭博中止”“抽簽策略”等經(jīng)典案例，了解這些案例，既有助于學(xué)生了解這門學(xué)科發(fā)展的歷史，追本溯源，又能增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。對(duì)于這一類知識(shí)點(diǎn)，教師可以結(jié)合科研熱點(diǎn)，作為引例來(lái)介紹對(duì)應(yīng)的基本概念，使得原本枯燥的數(shù)學(xué)定義盡可能地直觀，便于理解。當(dāng)然，如果教師時(shí)間充裕的話，還可以將科研熱點(diǎn)結(jié)合的案例制作成視頻，上傳至學(xué)習(xí)平臺(tái)上，這樣一方面便于統(tǒng)計(jì)學(xué)生的觀看時(shí)間與次數(shù)，同時(shí)也不占用面授學(xué)時(shí)數(shù)。

2）二級(jí)知識(shí)點(diǎn)：基于學(xué)生前面課程學(xué)習(xí)，完全有能力理解，并且在教學(xué)大綱中要求學(xué)生熟練掌握的知識(shí)點(diǎn)。以概率論中的“數(shù)學(xué)期望”為例來(lái)說(shuō)明，該知識(shí)點(diǎn)以學(xué)生掌握的積分知識(shí)為前提，要求學(xué)生能夠求解離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的理論并不復(fù)雜，積分也是學(xué)生在高等數(shù)學(xué)課程中學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)，但是以往的案例經(jīng)常停留在計(jì)算的層面，學(xué)生不免覺得枯燥，體會(huì)不到應(yīng)用性。那么前面提到的機(jī)器學(xué)習(xí)，包括現(xiàn)在很火的深度學(xué)習(xí)中比如Loss函數(shù)、隨機(jī)梯度下降等等，很多地方應(yīng)用到期望這個(gè)知識(shí)點(diǎn)。所以教師可以結(jié)合科研熱點(diǎn)，或者設(shè)計(jì)一個(gè)教學(xué)案例，或者也可以作為一個(gè)引入期望概念的案例，或者也可以在學(xué)完期望后設(shè)計(jì)一個(gè)開放式的小論文，也就是說(shuō)結(jié)合科研熱點(diǎn)設(shè)計(jì)的方式可以多樣化。

3）三級(jí)知識(shí)點(diǎn)：非常抽象復(fù)雜，學(xué)生難以理解的定義、定理。例如概率論中的分布函數(shù)、多維隨機(jī)變量中的聯(lián)合分布律、邊際分布等，一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。這類知識(shí)點(diǎn)建議仍然以面授為主，以視頻等線上資源為輔，盡量將教學(xué)案例設(shè)計(jì)得更直觀易懂。

任課教師實(shí)施教學(xué)改革時(shí)，經(jīng)常會(huì)面臨課時(shí)有限的局限。很多教改的想法很好，但是實(shí)現(xiàn)起來(lái)往往由于課時(shí)緊張，很難執(zhí)行。筆者之前在做高等數(shù)學(xué)教改時(shí)，探索出可以借鑒數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的規(guī)則，由教師出三個(gè)問(wèn)題，讓學(xué)生課后三人一組，以寫論文的形式提交解決思路，這個(gè)方案仍然可以在概率統(tǒng)計(jì)這門課程的教學(xué)改革過(guò)程中嘗試探索。當(dāng)然最后的期末考核方式也應(yīng)該多樣化，不要局限于卷面成績(jī)，平時(shí)成績(jī)的比例可以適當(dāng)?shù)靥岣咭恍黾訉W(xué)生參與的興趣。同時(shí)任課教師也可以與專業(yè)課教師多溝通交流，更精準(zhǔn)地了解數(shù)學(xué)與學(xué)生所學(xué)專業(yè)課之間交叉融合的知識(shí)點(diǎn)，可以引入更多更實(shí)用的教學(xué)案例[7]。

4 結(jié)束語(yǔ)

作為一名培養(yǎng)應(yīng)用型人才的工科院校的基礎(chǔ)學(xué)科教師，可以從自己的科研工作出發(fā)，有意識(shí)地搜集科研工作中遇到的最新的科研熱點(diǎn)作為應(yīng)用實(shí)例，或者作為數(shù)學(xué)知識(shí)背景進(jìn)行介紹，或者作為課后延伸的小課題。總之，結(jié)合科研熱點(diǎn)的形式不能僅拘泥于教學(xué)中的例題，形式應(yīng)該多樣化。為了保證更好的教學(xué)效果，教學(xué)模式也采用了混合式的教學(xué)模式。將傳統(tǒng)的面授模式結(jié)合線上教學(xué)平臺(tái)，將課堂延拓到課后，把課堂內(nèi)和課堂外激活后，適當(dāng)?shù)卦僭谡n外仍然不占用課堂時(shí)間的前提下，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的自驅(qū)力，使其主動(dòng)參與到翻轉(zhuǎn)課堂中來(lái)。

另外，評(píng)價(jià)機(jī)制也要多樣化，不能依賴于最終的期末卷面成績(jī)?cè)u(píng)價(jià)，更應(yīng)該提高平時(shí)成績(jī)的比例，促使學(xué)生功夫下在平時(shí)，而不是在期末考試前突擊復(fù)習(xí)只是為了不掛科，學(xué)完就全部忘光，沒有得到任何提高。使得學(xué)生能真正感覺到數(shù)學(xué)的有用性，化抽象為直觀，化枯燥為有趣，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)與能力，使學(xué)生在今后的工作中能經(jīng)常想到用數(shù)學(xué)去解決問(wèn)題，為學(xué)生將來(lái)學(xué)好自己的專業(yè)打下堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。此外對(duì)于教師而言，借此也認(rèn)識(shí)到，科研和教學(xué)并不矛盾，將科研中的實(shí)際問(wèn)題作為背景知識(shí)引入教學(xué)中，也可以借助教學(xué)，對(duì)科研問(wèn)題中所需的數(shù)學(xué)知識(shí)有更深一步的了解，讓科研服務(wù)教學(xué)，讓教學(xué)輔助科研。