探究遞推數(shù)列與概率的交匯問(wèn)題

趙 偉 (郵編:443501)

湖北省長(zhǎng)陽(yáng)縣第一高級(jí)中學(xué)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版》將“高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本,落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù),培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí),提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”作為課程的基本理念[1].

2019年頒布實(shí)施的《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》,明確“四翼”考查要求立足于素質(zhì)教育應(yīng)達(dá)成的內(nèi)容表現(xiàn)與形式表現(xiàn),在強(qiáng)調(diào)命題基礎(chǔ)性的同時(shí),特別提出綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的試題命制要求[2].因而,素養(yǎng)導(dǎo)向和能力立意是高考數(shù)學(xué)命題的鮮明特征,在不同章節(jié)、不同學(xué)科知識(shí)的交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)題目,是高考命題的基本點(diǎn),也是高考命題的熱點(diǎn).

遞推數(shù)列背景下的概率問(wèn)題,是高中數(shù)學(xué)重難點(diǎn)之一.遞推數(shù)列就是用遞推關(guān)系表達(dá)數(shù)列,此類問(wèn)題綜合性強(qiáng)、思維量大,需要學(xué)生能夠從背景中準(zhǔn)確提取信息,建立數(shù)列遞推關(guān)系式,將概率問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的數(shù)列問(wèn)題.問(wèn)題類型多種多樣,如線性遞推、二次遞推、指數(shù)遞推等.了解遞推數(shù)列的概念,掌握不同類型的遞推數(shù)列,能夠幫助學(xué)生更好地理解遞推數(shù)列的規(guī)律和解題方法,能夠鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,提高學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用,有利于培養(yǎng)學(xué)生的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,提升數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

概率與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的交匯點(diǎn)主要體現(xiàn)在隨機(jī)過(guò)程、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、馬爾科夫鏈等領(lǐng)域.例如在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中,我們通常利用概率知識(shí)來(lái)描述隨機(jī)變量的分布規(guī)律;在馬爾科夫鏈中,我們利用概率知識(shí)來(lái)描述狀態(tài)轉(zhuǎn)移的過(guò)程.了解這些交匯點(diǎn),能夠幫助學(xué)生更好地理解概率在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中的應(yīng)用,加強(qiáng)學(xué)科之間的融合,提高學(xué)生的綜合實(shí)踐能力.

文章采擷一些近年的高考真題和模擬題,以此為例闡述遞推數(shù)列與概率交匯問(wèn)題的一般解法.

1 遞推數(shù)列與概率交匯問(wèn)題歸納與分類解析

1.1 一階線性遞推數(shù)列an+1=pan+q(pq≠0,p≠1)型

2023年新高考Ⅰ卷第21題以概率統(tǒng)計(jì)為背景,分別考查了全概率公式和數(shù)列遞推式,試題特色鮮明,導(dǎo)向明確.

例1(2023年新高考Ⅰ卷第21題改編)甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規(guī)則如下:若命中則此人繼續(xù)投籃,若未命中則換為對(duì)方投籃．無(wú)論之前投籃情況如何,甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選,第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．

(1)略;(2)求第i次投籃的人是甲的概率;(3)略．

分析第(2)問(wèn)遞推關(guān)系為:若第i+1次投籃的人是甲,有兩種情況:

(1)第i次投籃的人也是甲,且投籃命中;

(2)第i次投籃的人是甲,且投籃未命中,第i+1次換為甲投籃;

根據(jù)全概率公式得到pi+1=0.4pi+0.2及遞推數(shù)列知識(shí),構(gòu)造等比數(shù)列即可解決問(wèn)題.

解(2)記“第i次投籃的人是甲”為事件Ai,“第i次投籃的人是乙”為事件Bi,

設(shè)P(Ai)=pi,依題可知,P(Bi)=1-pi,根據(jù)全概率公式,則

P(Ai+1)=P(AiAi+1)+P(BiAi+1)

=P(Ai)P(Ai+1|Ai)+P(Bi)P(Ai+1|Bi),

即pi+1=0.6pi+(1-0.8)×(1-pi)

=0.4pi+0.2,

構(gòu)造等比數(shù)列{pi+λ},

評(píng)注由全概率公式構(gòu)造概率遞推關(guān)系式,其本質(zhì)上就是由第n-1次的各種試驗(yàn)結(jié)果,結(jié)合全概率公式去計(jì)算第n次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率.本題是一階線性遞推數(shù)列,an=pan-1+q型,第二問(wèn)的解題關(guān)鍵是根據(jù)題意找到遞推關(guān)系式,然后根據(jù)數(shù)列知識(shí)求解．

高中數(shù)學(xué)教科書(shū)(2019年人教A版)選擇性必修三第91頁(yè)第10題即是問(wèn)題的原型:甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練,第1次由甲將球傳出,每次傳球時(shí),傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人,求n次傳球后球在甲手中的概率[3].

此題是一階線性遞推數(shù)列,是經(jīng)典的傳球模型.本題結(jié)合實(shí)際生活模型,需要學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)建模能力,對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)與求和計(jì)算能力要求較高,重點(diǎn)考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

例2(2020年江蘇卷第25題)甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球,乙口袋中裝有3個(gè)白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋,重復(fù)n次這樣的操作,記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為Xn,恰有2個(gè)黑球的概率為pn,恰有1個(gè)黑球的概率為qn．

(1)求p1,q1和p2,q2;

(2)求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關(guān)系式和Xn的數(shù)學(xué)期望E(Xn)(用n表示) ．

分析重點(diǎn)考慮第(2)問(wèn)的遞推關(guān)系,若第n次交換后甲口袋中有2個(gè)黑球,則第n一1次甲口袋分為兩種情況:有2個(gè)黑球或只有1個(gè)黑球.

①若有2個(gè)黑球,則乙口袋全是白球,此時(shí)甲口袋只能抽出白球與乙口袋白球交換;

②若只有1個(gè)黑球,此時(shí)甲口袋只能抽出白球與乙口袋中唯一的黑球交換.由全概率公式可得

若第n次交換后甲口袋中有1個(gè)黑球,則第n一1次甲口袋分為三種情況:有2個(gè)黑球、1個(gè)黑球或沒(méi)有黑球,同上由全概率公式可得

還可以用特征根法解一階線性遞推數(shù)列.在數(shù)列{an}中,a1已知,且n≥2時(shí),an=pan-1+q(p,q是常數(shù)),

①當(dāng)p=1時(shí),數(shù)列{an}為等差數(shù)列;

②當(dāng)p=0時(shí),數(shù)列{an}為常數(shù)數(shù)列;

③當(dāng)p≠1,q=0時(shí),數(shù)列{an}為等比數(shù)列;

1.2 二階線性遞推數(shù)列an+2=pan+1+qan型

二階線性遞推數(shù)列一般可以用待定系數(shù)法,實(shí)現(xiàn)二階轉(zhuǎn)化為一階的目的,轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列{an-kan-1}的形式求解．

設(shè)an+2-kan+1=h(an+1-kan),比較系數(shù)得h+k=p,-hk=q,可解得h、k,于是{an+1-kan}是公比為h的等比數(shù)列,這樣就化歸為an+1=pan+q型.

利用全概率公式,我們既可以構(gòu)造某些遞推關(guān)系求解概率問(wèn)題,還可以推導(dǎo)經(jīng)典的一維隨機(jī)游走模型,即設(shè)數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn),它的位置只能位于整點(diǎn)處,在時(shí)刻t=0時(shí),位于點(diǎn)x=i(i∈N+),下一個(gè)時(shí)刻,它將以概率α或者β(α∈(0,1),α+β=1)向左或者向右平移一個(gè)單位.

若記狀態(tài)Xt+1=i表示:在時(shí)刻t該點(diǎn)位于位置x=i(i∈N+),那么由全概率公式可得:

P(Xt+1=i)=P(Xt=i-1)·P(Xt+1=i|Xt=i-1)+P(Xt=i+1|Xt=i+1)

另一方面,由于P(Xt+1=i|Xt=i-1)=β,P(Xt+1=i|Xt=i+1)=α,代入上式可得:

Pi=α·Pi+1=β·Pi-1.

假設(shè)在x=0與x=m(m∈N+)處各有一個(gè)吸收壁,當(dāng)點(diǎn)到達(dá)吸收壁時(shí)被吸收,不再游走.于是,P0=0,Pm=1.隨機(jī)游走模型是一個(gè)典型的馬爾科夫過(guò)程.

若點(diǎn)在某個(gè)位置后有三種情況:向右平移一個(gè)單位,其概率為a,原地不動(dòng),其概率為b,向左平移一個(gè)單位,其概率為c,那么根據(jù)全概率公式可得:Pi=aPi-1+bPi+cPi+1.

例3(2019年全國(guó)1卷21題)為治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)．試驗(yàn)方案如下:每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)．對(duì)于兩只白鼠,隨機(jī)選一只施以甲藥,另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后,再安排下一輪試驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí),就停止試驗(yàn),并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問(wèn)題,約定:對(duì)于每輪試驗(yàn),若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分,乙藥得-1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分,甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β,一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X．

(1)求X的分布列;

(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開(kāi)始時(shí)都賦予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí),最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率,則p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1)．假設(shè)α=0.5,β=0.8．

(i)證明:{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列;

(ii)略．

分析試驗(yàn)進(jìn)行過(guò)程中,若某一輪試驗(yàn)之后,甲的累計(jì)得分為i,則下一輪試驗(yàn)中甲的累計(jì)得分有如下可能:

①甲累計(jì)得分為i-1,即甲藥得-1分;

②甲累計(jì)得分為i, 即甲藥得0分;

③甲累計(jì)得分為i+1,即甲藥得1分;

由此可得,pi=api-1+bpi+cpi+1(i = 1,2,…,7) .

由α=0.5,β=0.8結(jié)合(1)求得a,b,c的值,代入pi=api-1+bpi+cpi+1,得到(pi+1-pi)=4(pi-pi-1),由p1-p0=p1≠0,可得{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為公比為4,首項(xiàng)為p1的等比數(shù)列.

評(píng)注本題是函數(shù)與數(shù)列的綜合題,主要考查數(shù)列和函數(shù)的應(yīng)用,考查離散型隨機(jī)變量的分布列,根據(jù)條件推出數(shù)列的遞推關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．全概率公式出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)新教材(2019年人教A版)選擇性必修三中,是新高考考查內(nèi)容.利用全概率公式,我們既可以構(gòu)造某些遞推關(guān)系求解概率,還可以推導(dǎo)經(jīng)典的一維隨機(jī)游走模型.

本題的遞推公式pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7)就是基于全概率公式得出的結(jié)論,題目根源是具有雙側(cè)吸收璧的直線上的隨機(jī)游走問(wèn)題,屬于統(tǒng)計(jì)專業(yè)所學(xué)的隨機(jī)過(guò)程中的馬爾科夫鏈問(wèn)題的特殊形式[4].

形如a1=m1,a2=m2,an+2=pan+1+qan(p,q是常數(shù))的二階遞推數(shù)列還可以用特征根法求得通項(xiàng)an,其特征方程為x2=px+q.

若方程有二異根α,β,則可令an=c1αn+c2βn(c1,c2是待定常數(shù))

若方程有二重根α=β,則可令an=(c1+nc2)αn(c1,c2是待定常數(shù))

再利用a1=m1,a2=m2,可求得c1,c2,進(jìn)而求得an.

1.3 三階線性遞推數(shù)列an+1=pan+qan-1+tan-2型

解決此類問(wèn)題的一般策略是:

設(shè)其特征方程為x3=px2+qx+t.

若方程有三異根α,β,γ,則可令an=c1αn+c2βn+c3γn(c1,c2,c3為待定常數(shù));

若方程有二重根α,β=γ,則可令an=c1αn+c2βn+nc3βn-1(c1,c2,c3為待定常數(shù));

若方程有三重根α=β=γ,則可令an=c1αn+nc2αn-1+n(n-1)c3αn-2(c1,c2,c3為待定常數(shù));

再利用a1=m1,a2=m2,a3=m3,可求得c1,c2,c3,進(jìn)而求得an.[5-6]

(1)記X表示該團(tuán)隊(duì)一輪答題的得分,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X);

(2)假設(shè)該團(tuán)隊(duì)連續(xù)答題n輪,各輪答題相互獨(dú)立．記Pn表示“沒(méi)有出現(xiàn)連續(xù)三輪每輪得1分”的概率,Pn=aPn-1+bPn-2+cPn-3(n≥4),求a,b,c;并證明:答題輪數(shù)越多(輪數(shù)不少于3),出現(xiàn)“連續(xù)三輪每輪得1分”的概率越大．

分析(1)略;(2)重點(diǎn)考慮遞推關(guān)系:

故Pn+1P3>P4,

則P1=P2>P3>P4>P5>……

所以答題輪數(shù)越多(輪數(shù)不少于3),出現(xiàn)“連續(xù)三輪每輪得1分”的概率越大.

評(píng)注本題考查離散型隨機(jī)變量分布列、數(shù)學(xué)期望的求解;第二問(wèn)處理的關(guān)鍵是能夠合理分析第n,n-1,n-2,n-3輪的得分對(duì)概率Pn的影響,從而求得遞推關(guān)系.還有一些經(jīng)典的遞推問(wèn)題,比如“環(huán)排列問(wèn)題”“斐波那契數(shù)列”“錯(cuò)排問(wèn)題”等,這些問(wèn)題的處理方式也會(huì)給我們?cè)跀?shù)列遞推和概率問(wèn)題中帶來(lái)啟發(fā).根據(jù)遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式的方法還有不動(dòng)點(diǎn)法、特征根法等.

2 試題研究對(duì)教學(xué)及復(fù)習(xí)的啟示

遞推數(shù)列和概率是數(shù)學(xué)中兩個(gè)重要概念,它們?cè)跀?shù)列基礎(chǔ)知識(shí)和運(yùn)算性質(zhì)等方面有著密切的聯(lián)系和交匯.數(shù)列是離散的函數(shù),對(duì)學(xué)生理解函數(shù)及迭代思想有著重要的作用.有些遞推數(shù)列具有一些特殊的性質(zhì),如周期性、收斂性等,這些性質(zhì)在數(shù)學(xué)和實(shí)際應(yīng)用中都有著廣泛的應(yīng)用,例如計(jì)算機(jī)科學(xué)中的密碼學(xué)、數(shù)據(jù)加密等領(lǐng)域;物理學(xué)中描述量子力學(xué)、流體動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域中的現(xiàn)象.概率是描述隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型,為我們認(rèn)識(shí)和解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題提供了思考的方法、重要的工具.

針對(duì)遞推數(shù)列問(wèn)題,教學(xué)及復(fù)習(xí)要?dú)w納其基本類型、一般思路和相應(yīng)的解題方法.例如,線性遞推數(shù)列可以采用迭代法求解,而二次遞推數(shù)列則需要利用公式進(jìn)行計(jì)算,在解決問(wèn)題的過(guò)程中,要求學(xué)生掌握必備的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能,如代數(shù)運(yùn)算、數(shù)學(xué)歸納法等.另外,對(duì)遞推數(shù)列性質(zhì)與應(yīng)用的探究活動(dòng)進(jìn)行精心設(shè)計(jì),豐富學(xué)生關(guān)于遞推數(shù)列的知識(shí)儲(chǔ)備.

在教學(xué)及復(fù)習(xí)過(guò)程中,教師要有針對(duì)性地設(shè)計(jì)一些關(guān)于“遞推數(shù)列與概率交匯問(wèn)題”的訓(xùn)練題和作業(yè)題,注重引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和把握問(wèn)題的交匯點(diǎn),有意識(shí)地加以注意和積累,從而為解決此類問(wèn)題提供素材和奠定基礎(chǔ).同時(shí),教師還可以通過(guò)典型問(wèn)題的分析與講解,學(xué)生的錯(cuò)解剖析和錯(cuò)題訂正等反思性活動(dòng),提高學(xué)生思維的深刻性和發(fā)散性,教給學(xué)生思考問(wèn)題的一般方法,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理能力.幫助學(xué)生進(jìn)行針對(duì)此類問(wèn)題的數(shù)學(xué)閱讀訓(xùn)練,在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上,理解其中的算理并設(shè)計(jì)相應(yīng)的算法解決問(wèn)題,加深對(duì)遞推數(shù)列與概率交匯問(wèn)題的理解和掌握.進(jìn)而,在解決遞推數(shù)列與概率交匯問(wèn)題的過(guò)程中,綜合應(yīng)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí),融入不同的數(shù)學(xué)視角,植入多種數(shù)學(xué)思想方法,促進(jìn)學(xué)生整體理解遞推數(shù)列與概率的交匯問(wèn)題,切實(shí)把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì),從而不斷地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).