優化章末專題復習 促進深度學習發生
——以“導數的應用—含參函數單調性的討論”為例

李啟梅 程龍云 (郵編:230051)

安徽省合肥市第一中學教育集團包河分校

在“三新”背景下,新課改正在如火如荼地進行著,對新授課的課堂教學改革的經驗方法介紹在各種雜志上隨處可見,對一種重要的課型——章末復習課的研究顯得冰山一角．目前,章末復習課存在著以下現狀:注重知識點梳理,忽視網絡建構;注重解題教學,忽視方法的提煉;注重課堂知識傳授,忽視學生思維的參與;注重全面復習,忽視重難點的突破．鑒于此,筆者以已立項的合肥市級課題“深度學習視域下高中數學函數教學的策略研究”為抓手,在深度學習視域下,對優化章末復習課的教學作了一系列的實踐研究．

深度學習是新課程倡導的,能有效發揮學生主體性,促進對知識本質理解的有效策略,是基于理解的學習,是學習者以高階思維的發展和實際問題的解決為目標,以整合的知識為內容,積極主動地、批判性地學習新的知識和思想,并融入原有的認知結構,且能將已有的知識遷移到新情境中的一種學習[1]．一般它具有以下五個特征:聯想與結構、活動與體驗、本質與變式、遷移與應用、價值與評價．下面以課題組打磨的一節《導數的應用——含參函數單調性的討論》教學設計和實施過程為例,來剖析如何利用深度學習優化章末專題復習,不妥之處,懇請同行斧正!

1 優化前專題教學設計節選

環節一復習回顧

你能說說我們是如何利用導數判斷函數的單調性嗎?

環節二典例剖析

環節三鞏固練習

(1)已知函數f(x)=x3-3ax2,a∈R,討論f(x)的單調性．

2 專題設計優化探索

課題組對上述設計認真研討后,找出以下三個改進的切入點:第一,三個典例的解答雖然覆蓋了一元二次不等式常見的三種討論,即其對應的一元二次方程根的大小、根的個數和二次項系數是否為0,但例題之間的關聯程度不強,不利于知識和方法的整體建構;第二,典例是以例題呈現,沒有問題變式的驅動,這樣會弱化學生對知識本質的理解,深度學習很難發生;第三,環節三題量過多,高中課堂時間有限,無論是例題還是練習都要做到少而精．因此,本節課應從教與學兩方面深度融合著手,在學生原有認知的基礎上,采用問題變式來驅動他們的結構化思維,在深入探究中完成對知識和方法的整體架構,提升他們對知識遷移的能力．

3 優化后的教學呈現與設計說明

環節1任務導學引入

問題1你能用表格或框圖畫出本章知識結構圖嗎?

師生活動教師展示部分學生已梳理的導數知識結構圖,并作相應的點評,簡單梳理本章主要知識脈絡．

設計意圖布置課前知識梳理任務,促使學生自主進行知識點網絡建構,發揮學生學習的主動性,為本節復習課作好基礎知識上的準備．

環節2課本例題再現

問題2結合本題,你能說說我們是如何利用導數判斷函數的單調性嗎?

(1)師生活動教師提問,學生回答,師生共同回顧求三次函數單調性的一般步驟．教師強調求三次函數的單調區間其本質是解一元二次不等式,而解一元二次不等式最終落腳點為解一元二次方程．

設計意圖通過課本例題再現,幫助學生回憶,夯實基礎．強化求三次函數單調區間的一般步驟,理解求單調區間的本質,為后面討論含參數的三次函數的單調性作知識和方法上的準備．

環節3課本例題變式

(2)師生互動教師引導學生明確問題指向:討論函數的單調性,就是要求解函數的單調區間,學生先自主完成,教師巡視后提問本題解題思路．

問題分析f′(x)=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)．令f′(x)=0,解得x1=-a,x2=2a,在解一元二次不等式時,由于a的不確定性,導致-a與2a的大小不確定,因而無法確定單調區間．由此需要對實數a分a>0、a=0、a<0三種情況進行討論,即對導函數零點也就是導函數對應方程根的大小進行討論．

設計意圖在課本例題的基礎上引入參數a,進行變式,參數影響著導函數零點的大小,影響區間的確定．導函數為一元二次函數,若能因式分解,將其寫成乘積式,它的零點即為一元二次方程的根．這樣設計的目的是讓學生掌握含參一元二次不等式最簡單的討論,即它對應的一元二次方程根的大小的分類討論．

追問求導后能因式分解嗎?

(3)師生活動學生自主完成后交流,教師個別提問,師生補充完善．

問題分析因為f′(x)=x2-ax-2,△=a2+8>0,所以一元二次方程有兩個根,導函數有兩個零點,因而三次函數既有單調增區間也有單調減區間．

設計意圖如果導函數不能因式分解,那么導函數是否有零點,需要用判別式來判斷．若△<0,f′(x)>0,三次函數在定義域對應區間上是單調增函數,學生往往會忽視沒有實數根的情況而漏解單調區間．這樣設計旨在培養學生思維的嚴謹性,發展學生邏輯推理能力．

追問導函數是一元二次函數嗎?

(4)師生互動教師提問解題思路后,學生板演,師生共同糾錯,歸納總結．

問題分析易得導函數f′(x)=ax2-(a+2)x+2,當a=0,f′(x)=2x+2,導函數是一次函數;當a≠0,f′(x)=ax2-(a+2)x+2,導函數是二次函數;類比變式1和變式2的解法確定單調區間．

追問你能總結一下,我們是如何討論含參函數單調性的嗎?

設計意圖在變式2的基礎上,增設求導后對導函數二次項系數的討論,在鞏固對根的大小討論的前提下,逐步爬坡;對有無實根的討論;再到對二次項系數是否為0的討論,完成對含參數的一元二次不等式全方位考察,呈現出對含參數的一元二次方程討論的完整方案,即是否為一元二次方程;有無實數根,根的大小如何．以此來掌握討論的標準,理解為什么要討論,以達到對知識本質的理解．

環節4思維拓展提升

追問求導后你發現了什么?

設計意圖鞏固對含參數的三次函數求導問題討論方法理解和應用,旨在培養學生的類比和知識遷移能力,優化思維品質．

環節5方法總結提煉

(1)本節課我們探究含參函數單調性的過程是怎樣的?

(2)經過本節課的共同探究,我們將怎樣討論含參函數單調性?

(3)本節課的學習過程體現了哪些數學思想?你有哪些感悟?

設計意圖用問題驅動學生對本節課的學習進行積極的反思,梳理學習路徑,建構知識和方法體系,感悟數學思想方法在學習中的作用,學會用數學思想方法以簡馭繁．

4 剖析優化后的專題復習教學

4.1 明確復習課的教學定位

復習課的目標是“溫故”和“知新”．如何溫故、如何知新,這是在制定復習課教學目標時的兩大重要指標．進行新課后的章末復習,其目的是幫助學生搭建小型知識框架,重構知識和方法體系,突出重點,突破難點．為此,需要教師站在知識系統的高度,將零散的知識和方法編織成網,引導學生深度參與課堂,以此來深刻理解知識之間的整體關聯,為核心素養的階段性發展助力[2]．因而在內容選取上應遵循學生的認知和基礎,結合課本知識的邏輯體系,引導學生主動內化,在舊知的基礎上建構新知識體系,實行同化和順應．在教學策略上,通過創設適當的問題情境,在問題的驅動下深入探究,在溫故的基礎上逐步運用知識解決綜合或復雜的問題,以此來發展學生的核心素養,達到知新的目標．

1.地方政府的成本投入并非越多越好，盲目地增加成本投入以期加速被動房推廣進程的方式是不可取的，對于成本投入應側重于對開發商的經濟政策補貼，但不可過度投入。

4.2 建構知識和方法網絡體系

對含參數的三次函數和可化為含參數的三次函數單調性問題,本節課通過4個變式,以學生在初中掌握的含參數一元二次方程討論為認知起點,實行了含參數的三次函數的單調性和可轉化為含參數的三次函數的單調性、一元二次不等式和一元二次方程之間整體關聯．勾勒出函數、不等式與方程之間的網絡體系,建構了如下結構化思維的討論路徑:

4.3 促進深度學習有效發生

本節課教學過程的前四個環節,有效地促進了深度學習的發生,體現了深度學習的以下四個特征[3]:

(1)聯想與結構．布魯納說:“掌握事物的結構,就是以允許許多別的東西與它有意義地聯系起來的方式去理解它．簡單地說,學習結構就是學習事物是怎樣相互關聯的.”在數學必修第一冊中,學生已學習一元二次不等式的解法,初步掌握了含參數一元二次不等式的討論方法．從高中知識體系來看,這部分內容是為用導數判斷函數單調性服務的．因而通過導數的應用這一專題復習,將導數和含參數的一元二次不等式,含參數的一元二次方程有機地進行關聯,以便學生系統地掌握含參數一元二次不等式討論方法在導數中的應用．

(2)活動與體驗．“活動與體驗”是深度學習的核心特征．由復習舊知入手,學生很容易融入課堂內容．問題激發了學生探究的熱情和興趣,豐富了學生原有的認知．學生在問題的驅動下和教師的追問下進行深入地思考．在解決問題的過程中,不斷地糾錯和完善解法,構建知識和分類討論方法體系,并在體驗知識的應用和遷移過程中,優化思維品質,提高邏輯思維能力．在主體主動參與問題解決中,通過個體的獨立思考、師生和生生思維碰撞,促使深度學習走向深入．

(3)本質與變式．在重溫簡單的三次函數單調區間的確定后,通過不斷變式,拾級而上,逐步加大問題的難度．由對一元二次方程根的大小討論,到有無根的討論,再到是否是一元二次方程的討論．將含參數的一元二次不等式討論的整體方法全面鋪開,將含參的三次函數的單調性問題轉化含參數一元二次不等式的問題,最終轉化到含參數的一元二次方程根的討論．變式打通了知識間的通道,轉化實行了知識的流通,有效的變式讓學生的思維外顯,幫助學生理解知識的本源,給出了諸多問題解決的一類方法,類比和轉化的思想方法統領了新知識的學習．通過變式削枝強干,以簡馭繁、把握事物的本質．

精準定位復習課的教學目標,重組章末專題復習教學內容,讓變式優化學生的思維品質,讓深度學習促進學生關鍵能力的形成和核心素養的培育．