2023年安徽省中考數學第10題的解法探究

侯立田 朱文東 (郵編:230071)

安徽省合肥市五十中學天鵝湖教育集團天鵝湖校區

薛祖蓉 (郵編:237100)

安徽省六安市裕安區梅花小學

1 原題再現

(2023年安徽省中考數學試題第10題)如圖1,E是線段AB上一點,△ADE和△BCE是位于直線AB同側的兩個等邊三角形,點P,F分別是CD,AB的中點．若AB=4,則下列結論錯誤的是( )

圖1

C．△CDE周長的最小值為6

2 試題解析

本題源于課本,題干簡約,構思巧妙,內涵豐富,綜合性強,能深入考查學生的“四基”“四能”和數學核心素養．考生讀完試題后,很容易產生恐懼感——四個選項都是幾何最值問題．初中階段的最值問題并沒有系統完整的構架,更多的是基于“兩點之間線段最短”或“垂線段最短”的幾何最值,還有基于函數模型的代數最值,以及少許的不等式最值問題,結合安徽省歷年中考真題的特點,最值問題基本是一題一問．事實上,近幾年中考試題的難度不大,本題設置為今年中考選擇題的壓軸題,不無一定的道理．仔細逐項審題,不難發現選項設置的關聯性,A,B選項為幾何最值問題,均為“將軍飲馬”模型,解題的關鍵在于探索動點P的運動軌跡;C,D選項為求周長和面積的最值問題,深入分析可知,二者均與CD的長短有關聯,從而簡化了推導,四個問題分別是求線段、周長和面積的最值問題．

(1)對于選項A、B,分別求PA+PB的最小值和PE+PF的最小值．

對于PA+PB的最小值:點A,B均為定點,動點P的運動軌跡是怎樣的呢?

點P始終是線段CD的中點,通過倍長EP,可構造平行四邊形,點P也成了它的另一條對角線的中點．當然,延長AD和BC同樣可構造這個平行四邊形．其中AD和BC的延長線的交點是一個定點,而點E又在AB上運動,所以點P的軌跡就是平行四邊形2條對角線的交點的運動軌跡,即所構造大三角形的中位線．

對于PE+PF的最小值:在已知點P的運動軌跡基礎上,PE+PF的最小值可看作類似“將軍飲馬”問題．選項B就迎刃而解了．

(2)對于選項C、D,C△CDE=ED+EC+CD=AB+CD=4+CD,CD何時達到最小值?

無論C、D如何運動,△CDE的∠CDE大小不變,ED+EC的長度不變．點E的位置決定了CD的長短,所以可通過設置變量(AE=x)來表示線段CD的長度,進而可利用函數的性質解決這個幾何最值問題．

換個思路分析:再看點C、D分別在AE、BE的中垂線上,從此出發能否打開其它的解題思路呢?

對于選項D． 求四邊形ABCD的面積,作為一個不規則四邊形,通常需要用割補法進行轉化．

3 解法探究

針對選項A、B,分別求PA+PB和PE+PF的最小值．

如圖2,延長AD、BC交于點Q,則四邊形DECQ是平行四邊形,所以點P是線段QE的中點．

圖2

因為點E在線段AB上運動,所以點P的運動軌跡是△QAB的中位線．

如圖3,作點A關于直線l的對稱點A',連接A′B,PA′．

圖3

則PA+PB=PA′+PB≥A′B,即A′B為所求PA+PB的最小值．

如圖4,點F與點Q關于直線l對稱,易知FQ⊥AB．連接EQ,PF=PQ,則PE+PF的最小值就是EQ的最小值．

圖4

圖5

如果無法聯系到“將軍飲馬”模型,可以嘗試讓點E取不同的特殊點,比如,點E點A重合,點E點F重合,點E點B重合等,觀察可得點P的運動軌跡是平行于AB的線段,進而把問題作特殊化處理,當點E點F重合時,PA+PB和PE+PF取得最小值．

針對選項C、D,分別求△CDE周長和四邊形ABCD面積的最小值．

在圖6中,無論是線段CD、還是△CDE的周長或四邊形ABCD的面積都與點E位置有著密切的聯系,所以可通過設立參數,建立函數模型來求解．

圖6

過點D,作DH⊥CE于點H．設AE=DE=x,則CE=BE=4-x．

則△CDE的周長=ED+EC+DC≥6,即△CDE的周長的最小值為6．

在圖7中,可以運用不等式求△CDE周長的最小值．

圖7

過點D和C分別作AB的垂線,再過點P作以上兩條垂線的垂線,垂足分別為M、N．

圖8

4 教學啟示

結合近幾年安徽省中考真題對幾何最值的考查,中考復習教學需要從以下幾個角度思考:

(1)立足基礎知識,構建知識框架

基本圖形(三角形、四邊形和圓等)是幾何最值問題命題的出發點,日常教學需夯實基礎,各個擊破．如2022年第14題是兩個正方形問題,主要考查平行線、三角形的全等與相似、三角函數等多個知識點,因此,中考數學復習教學不僅要注重基礎知識的掌握情況,還要引導學生構建知識框架,形成自己的知識認知體系．

(2)深入理解題目,注重方法滲透

解決最值問題的第一步是認真讀題,而不是被題目本身的陌生感和難度嚇到,要通過讀題明確題目所考查的知識點,然后全方位、多角度地尋求解決問題的途徑與方法,比如:正向思維與逆向思維的轉換、代數方法和幾何方法的轉換、數形結合、化歸思想和特殊化法等等．能夠較好地進行自我監控,促進學生思維的靈活發散,做學習的主動探究者．

(3)善于歸納總結,謹防思維固化

隨著近幾年中考數學試題的變化,做真題研究真題應該是后期復習必不可少的環節,正如俗話說“給學生一杯水,自己要有一桶水”,更需要的是一泉活水.若要讓學生解決最值問題得心應手,歸納總結是學習中不可或缺的重要環節．動點的最值問題要以探究動點運動軌跡為主要的研究內容,動點的運動軌跡又主要以直線和圓為主要考查內容．但是,從2023年安徽省各地區的中考模擬試題來看,有時會有一些非典型的最值問題出現,比如,結合幾何變換命題,還有一些“反套路”的最值問題,善于總結可以較好地解決一類問題.然而,任何問題都有一些特殊情況的存在．總結不是形成刻板的記憶,而是歸納概括解題的思想和方法,但是思想和方法又不能機械的、單一的,否則就會形成高級思維固化,這不是數學教學的根本追求．