“圖形變換” 凸顯 “核心素養(yǎng)”
——2023年溫州市中考數(shù)學(xué)填空壓軸題評析

朱 光 (郵編:325000)

浙江省溫州市第十二中學(xué)

1 試題呈現(xiàn)

圖1

圖2

2 試題評價

2.1 問題設(shè)計新穎,聚焦核心知識

本題用七巧板圖案巧妙構(gòu)筑了一個數(shù)學(xué)問題,它融合等腰直角三角形、平行四邊形、正方形、相似三角形、圓等基本圖形,圖形變換自然．第(1)問起點較低,運用了垂徑定理、勾股定理和方程思想等核心知識和方法．同時第(1)問為第(2)問做鋪墊,兩問聯(lián)系緊密,梯度自然、合理．

2.2 猜想和推理的有效結(jié)合

七巧板由一些特殊幾何圖形構(gòu)成,圓和拼成的“房子”具有很多的對稱關(guān)系,易于學(xué)生在直觀中發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系．由圖形易產(chǎn)生猜想:圓心是否在中間橫線上?點A和點B是否在“房子”的上下水平延長線上?點N是否為圓心?猜想是解題的基礎(chǔ),沒有猜想的引領(lǐng),推理往往會迷失方向,同時猜想必須要經(jīng)過推理論證．本題充分體現(xiàn)猜想驗證思想．

2.3 在解決問題中凸顯核心素養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2022年版)》指出,進一步加強綜合與實踐,以解決實際問題為重點．本題在解決問題的過程中,凸顯了對數(shù)學(xué)抽象、幾何直觀、數(shù)學(xué)運算、推理能力、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的考查,展現(xiàn)了豐富的文化內(nèi)涵和數(shù)學(xué)應(yīng)用價值．

3 解法展示

3.1 求圓的半徑

分析 要求圓的半徑,先要確定圓心．圓心必在弦的中垂線上．

思路1勾股定理+方程思想

解法1如圖3,連結(jié)GH,易證GH=2=GQ,因為過左側(cè)的三個點Q,K,L確定一個圓．QH=HL=4,又NK⊥QL,所以圓心O在KN上,連接OQ,設(shè)設(shè)OQ=r．則OH=r-KH=r-2,在Rt△OHQ中,因為OH2+QH2=QO2,所以(r-2)2+42=r2,解得:r=5．

圖3

思路2相似+方程思想

圖4

3.2 求面積

分析在求得半徑的基礎(chǔ)上,對“點A,N,M在同一直線上”這一關(guān)鍵條件進行深度分析．如圖5,可知∠ANS=∠AMP,通過先猜后驗AN=MN,求得OS是關(guān)鍵．

圖5

思路1利用相似(或三角函數(shù))+勾股定理

思路2利用圖形的對稱性

圖6

圖7

圖8

解法4由解法3知MB⊥AB,易知點L,M,B三點共線,如圖9,連結(jié)QA,因為QL∥AB,所以∠QLB=∠B=90°,因為A,Q,L,B由四點共圓,所以∠LQA=90°,且所以四邊形AQLB為矩形,所以AB=QL．又因為OS⊥AB,KS⊥QL,所以O(shè)S=OH=3,后面同解法1．

圖9

4 小結(jié)

本題解答思路豐富,還有很多解法不一一呈現(xiàn)．值得注意的是,有不少學(xué)生在求解第二空的過程中默認了L,P,B三點共線,或者默認點A在“房子”的上邊所在的直線上．這是不嚴謹?shù)?這樣明顯降低了求解的難度,存在運氣成分．事實上,L,P,B三點共線與條件點A,N,M在同一直線上和已知線段的長度是密切相關(guān)的．