一道求三角形正切值問題的解法探究

梁志佩 (郵編:671003)

云南省大理大學(xué)教師教育學(xué)院

黃麗婷 (郵編:515400)

廣東省揭西縣第一中學(xué)

在高考中,常常遇到求三角形正切值的題目,那么如何快速求解三角形的正切值,這就要求學(xué)生熟練掌握三角形邊與角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化,在數(shù)形結(jié)合基礎(chǔ)上,運用正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等綜合計算解答,下面以2023年新高考II卷17題第一問為例,通過多種視角求解,并進行變式推廣,提升學(xué)生的分析、解決問題的能力.

1 真題再現(xiàn)

題目分析該題已知△ABC的面積、AD長,關(guān)鍵要利用三角形的面積公式求出CD長或CD邊上的高;可以運用余弦定理求出cosB,再計算sinB,最后得到tanB;此外也可以考慮構(gòu)造出關(guān)于∠B的直角三角形,一步到位求出tanB;當然這道題給了邊BC中點,也可以考慮構(gòu)造△ABC的中位線,構(gòu)造出∠B的同位角,結(jié)合初高中的三角形知識,求出tanB,下面為大家展示各種思路的解法.

思路1余弦定理

圖1

評析這種方法體現(xiàn)了方程的思想,在△ABD中用了兩次余弦定理即可求解,即在余弦定理公式中知三求一,計算出cosB,再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sinB,最終求解出tanB,較為常規(guī)的方法,學(xué)生不難想到.

思路2正弦定理

思路3巧用“1”“乘”變“除”

思路4構(gòu)造平行線(中位線)

圖2

評析該解法構(gòu)造了邊AB的平行線DE,將求解∠B轉(zhuǎn)化為∠CDE(因為已知條件均為△ADC的邊和角),把所求問題向已知條件靠攏,快速求解,在解三角形題目中,如果涉及角度的求解,可以優(yōu)先考慮構(gòu)造平行線或者中位線.

思路5外接圓

圖3

評析該方法作出三角形△ABC的外接圓,利用同弧所對的圓周角相等,將∠B等量替換為∠B′,再利用三角形相似,求出B′D,最后在直角三角形△AB′C,直接求解出tanB′,在三角形某條邊為直角邊時可以考慮外接圓方法,求正切值.

思路6作某邊上的高,求正切值

圖4

點評這一方法短小精悍,極大簡化了計算量,需要同學(xué)們發(fā)散思維,通過三角形的面積聯(lián)想到三角形的高,構(gòu)造直角三角形,利用含有一個角是60°的直角三角形分別求出AE和DE長度,再利用銳角三角函數(shù)求解出tanB.該方法是一種通性通法,對于D是BC的k等分點,依然適用.

另解如圖5所示,利用作高的思路,我們也可以過點D作AB的垂線,垂足為F,在Rt△BDF求tanB,過程與法6類似,這里不再贅述.

圖5

思路7平面向量法

評析向量架起了代數(shù)與幾何的溝通橋梁,該方法引入了平面向量來解三角形,可見向量是解決三角形問題非常重要的工具,當我們引入向量往往會給我們“山重水復(fù)疑無路,柳暗花明又一村”的感覺,這也是教材使用向量法推導(dǎo)余弦定理的重要原因.

2 變式遷移

(2023全國乙卷)在△ABC中,已知∠BAC=120°,AB=2,AC=1

(1)求sin∠ABC;

(2)若D為BC上一點,且∠BAD=90°,△ADC的面積;

(3)在(2)的條件下求tanC.

分析(1)常規(guī)方法:由題意先求出BC長度,再在△ABC中用余弦定理求出cosB,再求出sinB,但這里可以使用本文的思路3(巧用“1”“乘”變“除”)解答更加簡便一點,請看下面過程:

解(1):如圖6

圖6

(2)采用本文的思路4(作平行線),詳見下解法

圖7

評析此方法計算量小,當題目給出D是幾等分點時,使用該方法最佳.

圖8

評析此方法利用已知的直角,將tanC放到△ABC′中求解,較為快捷,是一種不尋常的簡便方法.

3 解后反思

通過上述的解法,可以看到求解三角形正切值的方法靈活多樣,在解題的過程中,要分析已知條件的特點,思考解答的路徑有哪些,在解答中可以通過與初中所學(xué)知識、公式定理結(jié)合,比如直角三角形的三角函數(shù)、構(gòu)造平行線同位角相等、同弦所對的圓周角相等;進而選擇簡便、適合自己的方法,提高解題速度;在平時的做題過程,同學(xué)們可以嘗試思考不同的解題方法,培養(yǎng)自己的發(fā)散思維.