一道2023年中科大強基題的多解、溯源及背景探究

2024-03-03 08:16:46王東海郵編231600

中學數學教學 2024年1期

王東海 (郵編:231600)

安徽省合肥市肥東縣城關中學

1 考題呈現

題目二元函數f(x,y)=(x+cosy)2+(2x+3+siny)2的值域為______.(2023年中科大強基計劃數學第1題)

分析這是一道二元函數最值問題,既可使用數形結合手段,也可利用主元法解決,還可利用柯西不等式處理.試題設計簡潔但內涵豐富,具有很好的探究價值.

2 考題解析

評注解法1利用數形結合思想,巧妙地將所求函數看成兩點之間的距離的平方,再分別探索兩點所在的軌跡,從而容易求得函數的值域.其難點是如何將目標函數轉化為兩圖形間點的最小距離.

評注此解法先采用主元法,以y為主元,再利用輔助角公式和余弦函數的有界性將未知數y消去,最后用換元法可得值域.本解法的關鍵是主元法.

解法3(柯西不等式法) 因為5f(x,y)

=(22+12)[(x+cosy)2+(2x+3+siny)2]

=(22+12)[(x+cosy)2+(-2x-3-siny)2]

評注解法3先配湊成能夠能使用柯西不等式的條件,且過程中設法將未知數x消去,從而求出值域.此法的關鍵是如何在使用柯西不等式時恰好消去未知數x.

解法4(權方和不等式法)因為f(x,y)

評注解法4是先將所求配湊成能使用權方和不等式的結構,運用不等式后消去所有的參數,從而得到最值.如何配湊成可以消去參數的結構是解題的難點.

3 命題背景分析

本題命制的背景是拉格朗日乘數法求極值問題.拉格朗日乘數法是高等數學中求多元函數條件極值的重要方法,方法程序性強,容易掌握.其基本原理是:設給定二元函數z=f(x,y)和附加條件φ(x,y)=0,為尋找z=f(x,y)在附加條件φ(x,y)=0的極值點,可以先構造拉格朗日函數L(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y),由于φ(x,y)=0,可以發現z=f(x,y)的極值即為L(x,y,λ)的極值,且與λ無關.此時分別求L(x,y,λ)對x,y,λ的一階偏導數,令它們等于零,即

由上述方程組解出x,y及λ,如此求得的點(x,y),即為函數z=f(x,y)在附加條件φ(x,y)=0下的可能極值點.若這樣的點僅一個,可以確定此點即為所求的點.

拉格朗日乘數法的幾何意義是,設給定目標函數為z=f(x,y),約束條件為φ(x,y)=0,曲線L為約束條件φ(x,y)=0,f(x,y)=C為目標函數的等值線族.在f(x,y),φ(x,y)的一階偏導數都連續條件下,f(x,y)在約束條件φ(x,y)=0下的可能極值點M(x0,y0),必是目標函數等值線族中與約束條件曲線的切點.

另外二元拉格朗日乘數法,也可以推廣到多元函數的情形,對于已知條件φ(x1,x2,…,xn)=0, 求目標函數f(x1,x2,…,xn)的極值問題,先構造函數L(x1,x2,…,xn,λ)=f(x1,x2,…,xn)+λφ(x1,x2,…,xn),求函數對x1,x2,…,xn,λ一階偏導數,再令L′x1(x1,x2,…,xn,λ)=0,L′x2(x1,x2,…,xn,λ)=0,…,L′λ(x1,x2,…,xn,λ)=0,解此方程組得(x1,x2,…,xn)為目標函數的可能極值點,最后比較大小可知目標函數的最值.

拉格朗日乘數法的優點是:一是把目標函數和等式約束統一到一個拉格朗日函數中;二是將條件最值問題轉化為無條件最值問題.

下面應用拉格朗日乘數法解答考題如下:

解法5設L(x,y)=(x+cosy)2+(2x+3+siny)2,分別求L(x,y)對x,y的偏導數,并令它們等于0,則有

①

②