挖掘素材 提升素養
——從“無窮”的概念教學看數學抽象的核心素養培養

唐 庚 (郵編:100086)

中國人民大學附屬中學分校

“無窮”是學生初入高中時的一個重要概念,其定義涉及極限的思想,較為深奧.教材必修一在此做了簡化處理,只是在區間的表示中引入了正(負)無窮的符號“+∞(-∞)”,并未做更多的解釋.然而,無窮大(小)的運用經常出現在函數的作圖中,為了讓學生對無窮的概念有更多的理解,有必要設計一節關于無窮的討論課,從學生的既有認知出發,結合一些生動有趣的實例,培養學生的數學抽象核心素養.

新課程標準指出:高中數學課程以學生發展為本,關注數學學科核心素養的形成和發展,培育科學精神和創新意識.“數學抽象”是指通過對數量關系與空間形式的抽象,得到數學研究對象的素養[1].主要包括:從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系,從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構,并用數學語言予以表征.

無窮概念的產生、形成、理解與運用,正是培養學生數學抽象素養的良好載體.

1 問題的提出

學生1:無法計算.因為老師說0不可以作除數!

學生3:最后就趨向于無窮大.

教師:非常好!這就是我們今天要學習、研究的無窮大量.我們可以回顧一下,大家都見過哪些無窮的數量或者事物呢?

學生舉例直線無限延伸,反比例函數圖象與x軸、y軸的無限接近,接近90°的銳角正切值等.

教師:生活中也有很多的無窮!如《莊子》“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”,麥比烏斯帶(一條永遠沒有盡頭的路),科赫曲線(分形的一種:任意畫一個正三角形,將每條邊三等分;以每條邊的中間一段為邊向外作正三角形,并把這“中間一段”擦掉;重復上述兩步,畫出更小的三角形.一直重復,直到無窮)等.

抽象是數學得以產生和發展的思維基礎.正如史寧中教授所言,數學抽象可以分為兩個階段.第一階段基于現實.學生通過對具體的、靜止的數量與數量關系(除法),得到“無窮”的基本概念.主要包括:數學研究對象的定義、刻畫研究對象關系的術語和計算方法.這種基于現實的抽象是從感性具體上升到理性具體的思維過程[2].

2 概念辨析

教師:很好!原來無窮大有正、負之分!

教師:大家思考這種無限趨近的方式還有哪些場景在用?

學生討論,還有無限趨近于0的情形!

教師:請舉例.

教師:很好!類比無窮大,我們可以把這個無限接近于0的量叫做無窮小量.簡稱無窮小.

教師:大家可以從反比例函數中感知到無窮大和無窮,你能總結出無窮量的某些性質嗎?

學生總結:無窮量分為無窮大量與無窮小量,每一類又有正負之分!

學生補充:無窮大加上一個常數還是無窮大,非零常數除以無窮大則是無窮小.非零常數除以無窮小,則是無窮大.

數學抽象的第二階段是基于邏輯的.學生在生成了“無窮”的概念后,需要更進一步解釋第一階段抽象得到的數學概念以及概念之間的關系.學生逐步學會將這些概念和概念間的關系符號化、形式化和公理化.這是從理性具體上升為理性一般的思維過程[2].

3 概念運用

我和老婆一走進雅4，姚琳琳便夸張指著手表叫嚷起來：我說哥們，你們倆行不行啊？看看這都幾點了？咋才來呢？上官婉也跟著幫腔說：誰說不是了，這也太沒組織沒紀律了吧。

分析我們習慣上通過列表、描點的方式畫函數圖象,但這有很大局限性.往往自己都感覺畫的“不像”.一個關鍵原因是我們沒有研究函數值的變化趨勢.這就需要對數(式)趨近于無窮時進行研究.

學生1:首先,這個函數的定義域是{x|x∈R且x≠-2}.

自變量x將從兩個方向x<-2(即-2的左邊)和x>-2 (即-2的右邊)無限趨近于-2.

當x從右邊趨近于-2時,分子x-1趨近于-3,分母則趨近于一個正無窮小,所以函數值趨向于負無窮.

其次,在x趨近于正無窮的時候,觀察,會發現其函數值趨近于1,并且始終小于1.

同理,我們可以得到在直線x=-2左邊的情形.

當x從左邊趨近于-2時,分子x-1趨近于-3,分母則趨近于一個負無窮小,所以函數值趨向于正無窮.

在x趨近于負無窮的時候,觀察發現函數值趨近于1,并且始終大于1.

圖1

通過觀察函數在四個方向上的變化趨勢,得到函數的整體輪廓,在每一段比如(-2,+∞)上觀察到是一個遞增的趨勢.在這里,我們由具體的、可計算的一些數和數量關系,通過無限逼近的方式,想象出了函數圖象的變化趨勢,正是用到了數學抽象這一思維方式!非常完美!

數學中的數,自然離不開形.“無窮”的概念是從實際運算中通過理想化的形式抽象出來的,教學中,我們可以讓學生在“數學化”和“直觀形象”中不斷交織碰撞,相互印證.從而加快學生對這一概念的形成和理解.

4 拓展研究

教師:請大家思考:當x>0時,給x同樣的增量△x>1,x2與x3誰增加的更多呢?

學生1:通過嘗試一些特殊值比如x從2增到5,顯然x3的函數值增加比x2更大!

教師:很好!當x趨近于正無窮時,x3趨近于無窮的速度比x2更快!

學生討論并在黑板演示:

在x→-∞的過程中,分子(2x-1)→-∞,分母x2→+∞,分母趨近于無窮的速度更快.直觀看來,他們的比值會趨近于0,是一個負無窮小量.所以左端趨勢明了.

當x從y軸左側無限趨近于0時,分子(2x-1)→-1,分母x2趨近于正無窮小,其比值會趨近于負無窮,即y→-∞.

當x從y軸右側無限趨近于0時,分子(2x-1)→-1,分母x2趨近于正無窮小,其比值會趨近于負無窮,即y→-∞.

在x→+∞的過程中,分子(2x-1)→+∞,分母x2→+∞,然而分母趨近于無窮的速度更快,直觀看來,他們的比值會趨近于0,是一個正無窮小量.這樣右端趨勢也明了.

圖2

教師:非常好!這樣的分析,既直觀,又理性,邏輯性很強!

我們今天學習了數學中的無窮量,又研究了它的簡單運算規則,這些為我們將來把握某些函數的整體性質帶來幫助.

5 教學反思

數學中的“無窮”是一個有趣而神奇的概念.它有“數的無窮”和“形的無窮”兩種形式.數學史中的很多故事都有無窮的影子,如“希爾伯特旅館”以及前述科赫曲線(圖形的周長無窮大,包圍的面積卻是有限的)等等.正是有了無窮分割(無窮小)等概念,微積分的創立和發展便有了邏輯上的合理性、嚴謹性.對剛入高中的新生來說,面對一個看似無意義的運算,一項無法完成的任務,需要突破既有認知框架,創新方法,采用無限逼近的方式,想象它的運算結果,并理解無窮運算的規律,開拓全新的數學空間,能大大激發他們對學習的興趣.通過對“無窮量”的認識,能理解或表述具體情境中的數量關系,提升學生感悟數與數量、數量關系的能力．能估計運算的結果,并對結果的合理性作出解釋,能有效提升學生的創新思維和發散思維.潛移默化中培養了學生的數學抽象的核心素養.

課標指出,數學抽象主要表現為:獲得數學概念和規則,提出數學命題和模型,形成數學方法與思想,認識數學結構與體系.教師要能依據抽象的兩個階段特點,在教學中善于發現素材、抓住素材,結合學生實際,創設情境、引領思考、及時總結,逐步提升學生的數學核心素養.