基于傳統文化的向量問題設計

于 博 (郵編:200062)

華東師范大學教師教育學院

1 引 言

《普通高中數學課程標準》[1]中提出,要落實立德樹人根本任務,發展素質教育,繼承和弘揚中華優秀傳統文化.數學不是一門孤立的學科,它與我們的文化和歷史息息相關.伴隨著歷史長河的緩緩流淌,向量與中華優秀傳統文化產生了密不可分的聯系,通過對向量“前世”的挖掘,我們驚覺向量源于物理學的發現,流于數學的創想,更滌蕩著文化的芬芳.特別地,在近年中華優秀傳統文化進課程的引領下,我們有理由探尋來自西方的向量與中華優秀傳統文化之間的交集.數學史是一座豐厚的寶庫,通過對中國傳統數學的歷史挖掘,我們能夠從中尋覓到向量的蹤影;同時運用數學的眼光,我們能夠從代表中華優秀傳統文化的藝術、民俗等中抽象出向量.再者,從新高考的改革趨勢來看,中華優秀傳統文化走進課堂、融入試題勢在必行.向量作為溝通高中數學幾何與代數的橋梁,與中華優秀傳統文化中的若干思想和理念相關聯.若能將向量與中華優秀傳統文化較好融合,在問題中滲透中華優秀傳統文化,或將提升問題的文化性、素養性和深刻性,同時讓學生在問題探索中感悟前人智慧,對學生文化自信的培養具有潛移默化的影響.

本文從有關中算史料以及其他傳統文化素材出發,設計若干高中數學向量問題,為教學提供參考.

2 研究問題與框架

本文所探討的向量問題設計,包括了考試題、練習題以及課堂問題.關于向量部分的高考題,已有許多文獻做過分析(如[2-6]),關于向量教學中的問題,也有許多文獻進行過探討(如[7-10]),但是有關數學文化尤其是傳統文化背景的向量問題設計卻少之又少.因此,本文的主要研究問題是:如何借助傳統文化素材,設計向量問題?

基于上述文獻的整理和分析,梳理出本文的研究框架,如圖1所示:

圖1 研究框架

3 基于中華優秀傳統文化的向量問題設計

3.1 依托中算史圖形

自2021年教育部頒布《中華優秀傳統文化進中小學課程教材指南》以來,如何將中華優秀傳統文化融入學科教學,成了學術界和一線教師十分關注的課題.就數學學科而言,中國傳統數學的歷史(以下簡稱中算史)是中華優秀傳統文化的重要組成部分之一,要讓中華優秀傳統文化進入數學課程和教學,教師首先需要充分利用中算史的資源.中國傳統數學有著悠久的歷史、輝煌的成就和豐富的內容,中算史既是數學教學的目標,也是數學教學的工具,其潛在的教育價值有待于人們去挖掘.[11]

從《九章算術》《周髀算經》等中國古代數學典籍中[12][13]我們可以找到諸如弦圖、勾股容圓、勾股容方等有價值的圖形,依托此類圖形,可以設計頗具數學文化色彩的問題.

趙爽弦圖

東漢末期數學家趙爽在為《周髀算經》作注時,撰寫了一篇“勾股圓方圖注”,其中運用了一幅用于證明勾股定理的圖形,后世稱之為“趙爽弦圖”.現今,中國數學會(CMS)的會徽就是在弦圖的基礎上進行設計的,這無疑體現其深厚的文化價值.

如圖2所示,“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形圖案.從邊長關系看,只要確定一個直角三角形任意兩邊長,即可確定整個弦圖中所有線段的長度;從角的種類看,弦圖中只有兩類銳角,知其一可得二.

圖2 趙爽弦圖

基于已有問題提出新問題,可運用三種策略[14]:

(1)條件式策略,即改變給定情境(圖形)的條件而保持其目標不變;

(2)目標式策略,即改變給定情境(圖形)的目標而保持其條件不變;

(3)自由式策略,即同時改變給定情境(圖形)的條件和目標.

以問題1為例,運用上述三種策略,可提出新問題,具體示例如下:

變式6已知E是AH中點,請找出圖中所有的相等向量.(自由式)

在本章節“依托中算史圖形”中,后續設計的一系列問題均可采取以上三種策略,對原問題進行改編,后文將不再贅述.

除弦圖外,中算史的其他證明勾股定理的圖形,用作設計向量問題的載體,也不失為一種好的選擇,下文展示一例.

勾股容圓

勾股容圓是中國古典幾何的一個重要命題,闡述了直角三角形的內切圓問題,出自《九章算術》第九卷《勾股》章第十六題:“今有勾八步,股十五步.問勾中容圓,徑幾何?”術文給出容圓公式:

①

如圖4所示,“勾股容圓”可以看成三對全等的直角三角形拼成的大的直角三角形,其中一對為等腰直角三角形,并且這三對直角三角形有一條直角邊相等,大小等于內切圓半徑,只要給定大三角形的任意兩邊長,就能確定圖形中所有線段的長度.因此,在向量問題的設計中,給定兩個不共線的向量作為一組基底,以及大三角形任意兩邊長的比,即可將“勾股容圓”圖中任一向量以給定基底線性組合的形式表示.

除“勾股容圓”外,還有諸如“勾股容方”“勾中容橫,股中容直”等一系列圖形可作為載體.以下是根據《九章算術》問題“已知勾弦差和股弦差,求勾,股,弦”的解法,設計的向量問題.

《海島算經》中的圖形

《海島算經》是魏晉時期劉徽所著的一部測量數學著作,他以應用問題集的形式,運用測望法研究有關高與距離的測量問題,共九問,其中不乏許多諸如日高圖、望邑圖、松高圖和清淵圖等有趣的圖形,下面以“松高圖”為例,改編向量問題.

圖6 松高圖

3.2 基于中國象棋跳馬

中國象棋是中國棋類文化的經典代表,也是中華民族的文化瑰寶,因其趣味性濃厚,基本規則簡明易懂而源遠流長.在象棋游戲中,象棋棋盤可以看作一個坐標系統,每個棋子的位置可以用坐標表示,不同棋子的移動受到特定規則限制,因而有其特定的移動方式和范圍,這些移動規則可以與向量的方向和長度對應起來.同時玩家需要充分考慮棋局的整體和局部的關系,這涉及到評估棋子的價值、分析棋盤的局勢和預測對手的行動等方面,具備良好的向量思維可以幫助玩家思考棋局中的方向、趨勢和變化,從而制定更有效的戰術.下面以象棋跳馬為例,淺談關于向量問題設計的思考.

象棋棋盤是由九條豎線和十條橫線組成,棋子在這些交點上行走,“馬”由于其行動路徑的特殊性(馬走日),常常令人捉摸不透.接下來,我們通過對馬行動路線的研究,嘗試設計向量問題.對于棋盤上的馬,行動一步,共有八種路線,如圖7所示.

圖7 馬的行動路線

若將馬的每一步行動看作一個向量,可得到向

經過簡單的向量加法運算可以得到如下關系:

②

③

由向量加法的交換律可得,馬的移動次序可以更換,并且合成方式不唯一,即馬有多種方式可以向右移動一步,或者向上移動一步,所以馬從棋盤中任一位置出發,可以遍歷棋盤.

下面討論馬從某一位置出發,需要經歷多少步才能回到原來位置這一問題.

④

k1·(2,1)+k2·(1,2)+

k3·(-1,2)+k4·(-2,1)=(0,0)

⑤

(2k1+k2-k3-2k4,k1+

2k2+2k3+k4)=(0,0)

⑥

由⑥式可得

k2-k3=2(k1+k4)

⑦

k1+k4=-2(k2+k3)

⑧

考慮步數之和

k1+k2+k3+k4=

k1+k4+k2-k3+2k3

⑨

等式右邊為三組偶數之和,還是一個偶數,故等式左邊也是一個偶數.即馬從某一位置出發,一定經歷偶數次跳躍才能回到原位置.

基于上述思考,進行如下問題設計.

問題6在象棋中,不同棋子有其獨特的移動方式,我們知道“車”和“炮”可以移動到棋盤的任意位置,“卒”“象”“士”“將”因移動范圍受限,不能遍歷棋盤,而“馬”的移動方式十分特別,是走“日”字,那么“馬”究竟能否走遍棋盤呢?嘗試給出你的理由.

問題7在中國象棋中,“馬”可謂八面威風、八面玲瓏,在某個恰當的位置,“馬”可以有八種走法.假設“馬”在O點準備跳出,再跳回O點,則“馬”跳的步數可能是( )[15]

A. 5,6 B. 4,7 C. 6,8 D. 7,8

3.3 融合傳統文化背景

在近年全國各地的高考模擬題中,其實已有傳統文化背景下的向量問題出現[16][17].盡管多以附加式背景出現,去掉文化背景并不會對解題產生影響,即都是在與傳統文化相關的模型基礎上抽象出數學圖形,文化與數學是可分離的,但一定程度上增添了問題的文化韻味.對于此類問題設計的建議,若能巧妙添加一些現實情境,或將提高問題的趣味性、可做性.

圖8 問題8圖

4 結語

本文從“依托中算史圖形”“基于象棋跳馬”“融合傳統文化背景”三個方面闡述了在向量問題設計中融入傳統文化的若干思路與方法,提出三條在向量問題中融入傳統文化的策略:

(1)古圖今用式策略,以中算史圖形為載體,添加向量條件與目標,形成向量問題.同時,可靈活運用條件式策略、目標式策略以及自由式策略對已有向量問題進行改編,提出新問題.

(2)寓教于樂式策略,如結合中華傳統棋類規則,設計向量問題.此種策略下的問題設計可以偏開放式,關注學生的思維訓練,在解決問題的過程中感悟傳統文化的思想內涵,體會“探究之樂”.

(3)附加情境式策略,選取傳統文化素材作為載體,將向量這一抽象的數學概念與現實生活聯系,解決生活中的向量問題.

中華優秀傳統文化博大精深,歷久彌新,本文所討論的向量問題設計僅僅是“冰山一角”,由點及面,若在數學問題的設計中,巧妙地將數學與傳統文化交融,定會使數學問題的層次提到一個新的高度.數學教師的職責不僅要“教書”更要“育人”,新課改后“育人”的重要性被反復提及,反復強調,如何體現數學學科的育人價值,是當下數學教育工作者需要共同思考的問題,而傳統文化的融入無疑提供了一條可行、有效的途徑.