2023 年高考數學新課標Ⅰ卷量化分析與啟示

●尤娜，趙思林

對高考數學試題的研究是高考研究的重要內容和熱點內容。從研究方法看，高考數學試題和試卷研究有質性、量化、案例等研究方法。從質性研究看，對2023 年高考數學全國新課標Ⅰ卷的已有研究表明，該試卷落實黨的二十大報告精神，全面貫徹黨的教育方針，落實立德樹人根本任務，促進學生德智體美勞全面發展[1]。 從量化分析看，試題的量化分析有多種模型，若只采用一種量化分析模型，則可能存在一定的局限性，所得出結論也可能存在一些偏差；若采用兩種或多種量化分析模型，則不同模型之間可相互比較、補充并可起到相互驗證和檢驗的作用，還有助于改進和完善原來的模型。 據此，由于數學核心素養的測評是以區分度為主要依據，而區分度與難度又有重要聯系[2]，本研究嘗試采用兩種量化分析模型，即從綜合難度和數學核心素養兩個維度， 對2023 年高考數學新課標Ⅰ卷做量化分析， 并探討試題綜合難度系數與數學核心素養水平值之間的關系。

一、研究設計

研究以2023 年全國高考數學新課標Ⅰ卷為樣本，根據綜合難度模型和數學核心素養的評價指標框架進行數據統計， 分別計算每道試題的綜合難度系數和數學核心素養水平值，并對兩者做比較分析。

（一）綜合難度量化分析

自Nohara 在向美國國家教育統計中心的工作報告中提出總體難度的概念后，鮑建生基于Nohara提出的背景、探究、推理和運算的4 個影響總體難度的因素，增加了知識含量因素，并構建了數學習題綜合難度系數模型[3]。 武小鵬等人在鮑建生綜合難度模型基礎上，增加了思維方向、是否含參數兩個因素，形成高考試題綜合難度模型，并用該模型對中韓高考試題做了對比分析[4]。 隨后，武小鵬等基于AHP理論，計算了不同因素下的權重系數和同一因素下不同水平的權重系數，完善了綜合難度系數模型，并用該模型對2019 年理科數學全國卷做了評價[5]。 張玉環、李保臻、劉靜等分別基于武小鵬的高考試題綜合難度模型，對一些國家、地區的高考試題做了分析[6-8]。

本研究采用武小鵬的高考試題綜合難度模型，該模型包含7 個因素，各因素水平劃分、賦值及編碼見表1。根據該難度模型框架編碼賦值，代入公式x=計算試題的綜合難度系數。 其中，di是i 因素下的權重系數（di=0.4，1.2，0.83，2.5，0.4，0.83，0.83），ki是i 因素下的賦值。 下面以2023 年新高考Ⅰ卷第16 題為例的賦值作說明。

表1 綜合難度模型的因素及水平劃分

分析該題編碼為A1（無背景，直接以純數學知識為背景），B2（題目中有a，b 兩個參數），C3（需符號運算），D2（含復雜推理，利用雙曲線的定義與向量數積的幾何意義得到|AF2|、|BF2|、|BF1|、|AF1|的關系，再利用余弦定理得到a、c 的齊次方程，最后解方程組獲解），E3（包括雙曲線、向量、余弦定理等三個知識點），F2（逆向思維解決問題），G3（分析題目各個條件、參數間關系）。

（二）數學核心素養量化分析

測量和評價學科核心素養是新時期高考內容改革的核心要求和重要任務[9]。新高考數學命題的一個根本特點是以數學核心素養為立意中心， 以真實情境和新穎問題為測評載體，以分析、探究和解決問題為測評數學核心素養的落腳點。 高考對數學核心素養的測量和評價要準確把握素養、情境、問題、方法、知識五個要素在命題中的定位和相互關系， 由五個要素構建以數學核心素養為導向的命題框架[9]。在數學核心素養的定量分析模型中， 喻平基于布魯姆模型、PISA 模型，通過知識學習的3 種形態，提出了數學核心素養的3 個知識水平[10]；李華、胡典順基于喻平對數學核心素養的水平劃分， 細化了數學核心素養各水平層次的評價標準， 構建了數學核心素養的評價框架[11]；張玉華等依據李華等的評價框架，對中法高考試卷中核心素養的考查進行對比[12]；胡典順等在李華等研究基礎上，進一步探索數學核心素養的評價標準，凝練了數學核心素養的評價框架[13]。

研究主要采用胡典順等的數學核心素養的評價框架，該框架包含6 個維度，各維度水平劃分見表2。 根據評價框架編碼賦值，帶入公式量化試題的數學核心素養水平。 其中，ki是i 水平下的賦值。 下面以2023 年新高考Ⅰ卷第22 題為例進行賦值說明。

表2 數學核心素養評價框架

例2 （2023 年新高考Ⅰ卷第22 題）在直角坐標系xOy 中，點P 到x 軸的距離等于點P 到點（0，）的距離，記動點P 的軌跡為W。

（1）求W 的方程；

（2）已知矩形ABCD 有三個頂點在W 上，證明：矩形ABCD 的周長大于。

分析 第2 小題具有原創性且難度很大，據了解很多高中數學解題能力較強的教師也感到該小題很難。

故該題編碼為MA3，LR3，MM3，II3，MO2。

二、研究過程與結果

2023 年高考數學新課標Ⅰ卷的總題量為22道，依據上述編碼方式，對所有試題分別計算綜合難度系數和數學核心素養水平值， 將計算結果繪制成柱形圖，由此直觀觀察結論。

（一）綜合難度系數的計算與分析

計算2023 年高考數學新課標Ⅰ卷每道試題的綜合難度系數，并繪制成柱形圖（圖1）。 從橫向比較，在各類題型中，每個部分的綜合難度系數大致呈遞增趨勢，單項選擇題、多項選擇題、填空題、解答題中的最后兩道試題的綜合難度相對較高或最高，這與一般經驗也相符。

圖1 綜合難度系數的柱形圖

從綜合難度模型的7 個因素對試卷進行統計分析，并按照不同水平繪制成簇狀柱形圖（圖2）。 由圖2 可知，在“背景因素”中，大部分試題以純數學背景的形式設問，這可直接展示數學問題并直擊數學本質，直接考查學生對于“雙基”的掌握和運用情況；在“是否含參”中，含參數的試題占比偏重，要求學生能熟練運用參數思想方法解題；在“運算水平”中，大部分試題更偏重于符號運算水平的考查， 單純考查學生純數值計算水平的試題較少， 更加注重學生的數學符號化意識和數式運算能力；在“推理能力”中，“簡單推理”與“復雜推理”水平的試題的數量接近，但考查“復雜推理”水平的試題更多，說明試題更注重考查學生“復雜推理”能力；在“知識含量”中，大部分題目都注重兩個或兩個以上知識點的交匯， 突出知識技能運用的綜合性和靈活性；在“思維方向”中，“順向思維”水平有13 道，“逆向思維”水平有9 道；在“認知水平”中，大部分試題偏重于對運用和分析能力的考查， 一些綜合難度較高的試題更注重考查學生對知識與方法的靈活運用和深入分析。

圖2 綜合難度模型“7 個因素”分析對比圖

（二）數學核心素養水平值的計算與分析

先計算2023 年高考數學新課標Ⅰ卷的每道試題的數學核心素養水平值， 然后繪制成柱形圖（圖3）。 從橫向比較，在各類題型中，每個部分的數學核心素養水平大致呈遞增趨勢， 各類題型中的壓軸題的數學核心素養水平值相對較高或最高。 這與命題設計的預期相一致， 也表明這些壓軸題在測試考生的數學核心素養水平時具有較大作用。

圖3 數學核心素養水平值的柱形圖

從數學核心素養評價框架的6 個維度對試卷進行統計分析，并按照不同水平繪制成簇狀柱形圖（圖4）。 由圖4 可知，幾乎每道題都蘊含數學抽象素養、邏輯推理和數學運算素養，數學抽象素養和邏輯推理素養主要集中于知識遷移的考查，數學運算素養主要集中于知識理解和知識遷移的考查。盡管數學建模素養和直觀想象素養比重較低，但它能有效測試考生對數學知識的遷移和創新能力。數據分析素養考查的大多是關于概率與統計方面的知識，比重比較穩定。 試題整體傾向于對知識理解和知識遷移的考查，對知識創新的考查也不少。

圖4 數學核心素養水平“6 個維度”分析對比圖

（三）兩種量化分析結果的對比分析

為了對兩種量化分析結果的相關性和一致性進行對比分析， 需對每道試題的數學核心素養水平值與綜合難度系數的“賦值”標準做換算，即需將數學核心素養水平值除以它的“賦值”最大值之和（18），將綜合難度系數除以它的“賦值”最大值之和（19）。然后，作2023 年高考數學新課標Ⅰ卷中每道試題的數學核心素養水平值與綜合難度系數對比折線圖（見圖5）。 從圖5 可知，兩條曲線的變化趨勢大致相同，兩者出現的峰值和低谷的位置也大致相同。計算兩者之間的Pearson 相關系數值為0.877，并且呈現出0.01 水平的顯著性，這說明綜合難度和核心素養水平之間有顯著的正相關。 數學核心素養水平值與綜合難度系數的整體趨勢大體遵循由低到高的趨勢，難度較大的題目一般處于各類題型的后兩題，這有利于考生在正常心態下答題。

圖5 數學核心素養水平值與綜合難度系數圖

三、研究結論與啟示

（一）研究結論

量化分析是研究高考試題評價的重要方法。 高考數學命題既要聚焦數學核心素養的考查， 又要把控好試題的難度與區分度。通過對2023 年高考數學新課標Ⅰ卷的分析可以得出，一道試題的數學核心素養水平和綜合難度系數有密切關系，呈顯著的正相關。由圖5 可看到，數學核心素養水平與綜合難度系數兩者的變化趨勢大致一致。一般而言，綜合難度越高的試題，其數學核心素養水平也越高；反之亦然。但個別試題（如第5 題）的不一致性說明，試題的綜合難度并不能完全反映試題所要測試的數學核心素養水平。新課標Ⅰ卷壓軸題的位置一般在選擇題、解答題的最后兩題， 填空題的壓軸題則在最后一題位置；壓軸題的綜合難度系數較高，相應的數學核心素養水平也較高，這與經典教育評價理念相符。

（二）啟示

1.高考試卷難度調控應觀照多方訴求

高考試卷難度的調控與確定應觀照考生、學科教師、學校、家長、社會等多方訴求。 從縱向看，一個學科應適當保持高考難度的穩定性，不宜忽太難、忽太易；從橫向看，不同學科之間也應適當保持難度的均衡性，不宜有的學科很難、有的偏易。以語文、數學為例，這兩科滿分均為150 分，某省高考語文學科省平均成績長期穩定在90-97 分之間，但數學學科有時省平均成績僅有62 分，甚至在50 分以下，從而導致學生對數學學習產生較強挫敗感和較大心理負擔，同時也給數學教師帶來較大工作壓力和心理負擔。 如果數學學科的平均分比語文學科平均分低20分（或30 分）左右，那么就會產生諸多不良效果，如學生厭學、 教師厭教甚至數學教師和學生對數學產生心理障礙。依據教育測量學原理，大規模考試的整卷難度控制在0.5 左右最為理想[14]。 但綜合考慮考生情況、學校教學、社會評價等因素，高考數學命題整卷難度控制在0.55 左右比較合適[14]。 高考作為一種選拔性考試，為增強選拔功能必須提高試題的區分度，主要有三種方法：一是適當增加高階認知的試題，即考查分析、綜合、評價、創新等高認知能力的試題；二是盡量減少死記硬背、簡單模仿的試題；三是體現高考試題的綜合性及立德樹人的根本要求，需要命制一些具有教育意義的試題以增強學生社會責任感，引導學生形成正確的人生觀、價值觀、世界觀，育人于無聲無形之中[15]，這顯然是富有挑戰性的。

2.量化分析是提高試題質量的好方法

長期以來，高考試題的命制主要是憑借經驗和集體打磨完成的。 如對某個試題的難度分析，一般不是依靠一些客觀數據而是憑經驗直接預估該題的難度，有時預估的難度與真實難度相差比較大；又如，近年來高考命題要求以核心素養立意，但現實情況是一道題到底考查了數學六個核心素養中的哪幾個，六個核心素養分別有哪些二級指標等，命題專家未必都很清楚。 主要憑經驗而不是以量化數據做支撐的命題質量是不一定可靠的。 因此，量化分析是命題質量的重要支撐，是提高試題質量的好方法。高考命題者應將質性與量化相結合，發揮質性和量化的優勢[16]，增加試題與學生的適配性。依據表1 和表2，可分別計算試題的綜合難度系數與數學核心素養水平值。這兩種計算的理論模型、方法和結果雖有較大差異，但一般說來有如下結論：若試題的數學核心素養水平值越大，則試題的綜合難度系數也越大；同樣，若試題的綜合難度系數越大，則試題的數學核心素養水平值也越大。 命題專家在命制出某個試題時，假設計算出來的綜合難度系數與數學核心素養水平值不符合上述結論，那么可考慮對該試題進行改造或重新設計。 高考試題的質量可在量化分析和客觀數據的基礎上，在不斷改進、打磨、完善的過程中得以提高。

3.試題量化分析模型存在的問題與反思

在上述表1 和表2 中，表1 的一級指標即“因素”選取依據的科學性和合理性值得探討和研究，如把一級指標中的“運算水平”分成四個層次，而其他一級指標只分成兩個層次或三個層次，表1 表明“運算”的賦值（權重）最大，這與“多考點想，少考點算”的命題理念及“數學是思維的科學”相悖，其實表1中“運算水平”的最低一級水平即“簡單數值運算”主要屬于初中內容，高考涉及的初中知識的解題步驟一般不作為給分點（但算錯了要扣分），這是高考制定評分標準“賦分”的“潛規則”，因此，把“簡單數值運算”單獨作為“運算水平”的一個二級指標似無必要；表2 的一級指標即“因素”的選取依據是2020 版新課標的“數學六個核心素養”，一些學者發現“數學六個核心素養”有核心分散、核心不突出的問題，對此，有研究表明，數學核心素養是一個由多要素構成的復雜的動態系統[17]，其中邏輯推理和數學運算的相關性最大。鑒于“抽象”“概括”是思維的基本形式，并且任何一門科學或學科都離不開“抽象”與“概括”；又因為，雖“數學運算”中的“算法”都是“邏輯推理”或者說是“邏輯思維”的結果，但考慮到“算法”對于大數據、人工智能的極端重要性，因此，研究者認為，可將邏輯推理、數學運算、直觀想象作為基本的數學核心素養。 從而表2 中的“六核素養”可簡化為“三核素養”，即邏輯推理、數學運算、直觀想象。但這個意見僅是一孔之見，需要認真探討和嚴格論證；更進一步，還須探討表2 的二級指標及其賦值（權重）的科學性和合理性等問題。

在表1 和表2 中，位于二級指標即“水平”層次的劃分的依據需要深入研究。 如表1 中二級指標分別有2、3、4 級，這說明二級指標的統計口徑不一致，導致賦值的權重指標不統一，從而導致統計數據可能失真；又如，把“思維方向”作為一級指標似有商榷之處，因為它與其他的一級指標如“運算水平”“推理能力”“認知水平”等有著直接、密切的聯系，此外，把“思維方向”僅分成兩個二級指標“正向思維”和“逆向思維”也可商討，如體現創新思維的“發散思維（或稱多向思維）”該不該納入二級指標，也值得思考。

表1 和表2 中的賦值方法的客觀性和合理性有待探討。 如綜合難度模型框架（見表1）的二級指標的確定可能存在主觀性和隨意性， 進而導致二級指標賦值也可能存在主觀性和隨意性。 對比布魯姆認知水平六個層次（記憶、理解、應用、分析、評價、創新）理論，數學核心素養評價框架（見表2）僅選了其中的理解、遷移（相當于應用）、創新作為二級指標，雖具有操作上的簡便性，但缺少了對“分析”“綜合應用”“評價”等高階認知的檢測，核心素養的含金量可能要打折扣，值得探討。 可見，二級指標賦值的主觀性和隨意性比較明顯。

“雙基”型試題不宜做數學核心素養水平和綜合難度的量化分析。 如第1、2、3 等題主要考查學生的“雙基”及簡單應用，一般不會考查“遷移”“分析”“創新”等更高階認知的能力。 因此，不宜對第1、2、3 等題做數學核心素養和綜合難度的量化分析。 但考慮到試卷的完整性和分析的全面性，有時也對第1、2、3 等題做量化分析。