基于測量本質實現思維進階
——“不規則圖形的面積”教學片段與思考

2024-03-01 07:45:42黃蘇萍陳六一

教育科學論壇 2024年4期

●黃蘇萍，陳六一

“不規則圖形的面積”一課是在學生已經有了一些規則圖形的面積學習經驗后進行的，又會為未來學習圓的面積做鋪墊。站在結構化的角度，不規則圖形的面積也是面積單位的累加。借助數格子的方法來看，長方形、正方形的面積都是整格的，平行四邊形、三角形、梯形的面積雖然不都是整格，但可以通過剪、拼轉化成整格。它們面積單位的個數都可以借助公式計算快速地數出來。而不規則圖形的面積中不滿整格的部分無法完全轉化成整格，得不到確定值。也就是說不規則圖形中整格的部分是面積中可以確定的部分，不滿整格的部分是只能想辦法求近似數的部分。而如何處理不滿整格的部分，就是本節課的生長點和重點。當學生有了這樣的經驗，就能更好地體會和理解測量面積的本質就是面積單位的累加，從而更好地進行遷移和勾連，之前學習過的圖形以及未來要學習的圖形面積都可以這么處理。

片段一：情境導入，讓思維初步激活

師：剛剛欣賞了很多美景、美食。當我們用數學的眼光觀察物體時，會觀察哪些方面？

生：形狀。

師：你能在這些物體上看到哪些形狀？

圖1

生1：長方形、正方形。

生2：三角形、平行四邊形、六邊形。師：那這個建筑屋頂的形狀呢？

生：月牙形。

師：標準的月牙形嗎？誰能上來描一描？

生上黑板描繪。

師：剛剛我們從一些物體上面找到了這些形狀。如果分成兩類，你會怎么分？

生：可以分成規則圖形和不規則圖形。

師：哪些是規則圖形？

生：長方形、三角形、平行四邊形、梯形是規則圖形，其他的是不規則圖形。

板書課題:不規則圖形的面積

師：看到這個課題，你有什么想問的？

生1：不規則圖形各式各樣，該怎么求面積呢？

圖2

生2：不規則圖形的面積和規則圖形的面積有關系嗎？

【思考】《義務教育數學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱新課標）指出“要會用數學的眼光觀察現實世界”[1]。課始，通過創設具體情境，培養學生能從中抽象出數學的研究對象和屬性的能力。引導學生抽象出形狀，并關注圖形的周長和面積，從而激起學生已有的學習面積的經驗。

片段二：集思廣益，讓思維足夠發散

師：看，老師帶了一片樹葉，它的形狀是什么？如果想要知道這片樹葉大約有多大，你們有什么好主意嗎？

小組討論。

生：可以量出這片葉子的長度和寬度，然后把它們相乘就可以了。

師：把葉子的長度和寬度相乘就是樹葉的面積嗎？其實是什么的面積？

生：長方形的面積。

師：哪個長方形？請你上臺描一描。

生畫出長方形。

師：這其實是想把不規則的樹葉的面積看成與它近似的長方形的面積。事實上，這片樹葉的面積要比長方形的面積怎樣？

生（齊）：小。

師：如果還想更精確些，我們還可以把它看成什么？

生1：還可以看成一個近似的平行四邊形，再量出底和高就行。

生2：我覺得這樣和看成長方形的誤差差不多。可以把樹葉兩端的部分看成三角形，中間可以看成長方形。

師：借助橡皮泥鋪，把葉子的面積替換成規則圖形的面積，真會思考。剛剛同學的提醒也很有價值。受這位同學方法的啟發，你還能想到用什么去鋪？

生：可以用1 平方厘米的小正方形去鋪，看看大概有多少個正方形，就有多少平方厘米。

師：1 平方厘米就是一個面積單位。任何一個圖形的面積都是面積單位的累加，對于不規則圖形，我們也可以去數有多少個面積單位。

板書：數面積單位

師：用什么工具，正好有這些1 平方厘米的正方形呢？

生（齊）：方格紙。

【思考】新課標指出，“要在推導一些常見圖形周長、面積、體積計算方法的過程中，感悟數學度量方法，逐步形成量感和推理意識”[1]。在這節課上，量感主要體現在培養學生估算策略和方法的多樣性上。和“數與代數”領域的估算不同，學生從一年級就不斷地進行探索了，而在“圖形與幾何”領域進行估算，學生沒有太多的經驗。所以，要引導學生根據不規則圖形的特點，從不同的觀察和思考角度，推理出估測方法。還要引導學生比較和總結不同的方法之間相同的是什么，主要是兩種思路：（1）近似地看成與它近似的規則圖形的面積；（2）數有多少個面積單位。這部分操作，也是為了后面進行結構化的知識關聯做鋪墊。

片段三：動手測量，讓思維縱向深入。

師：老師為同學們準備了這樣的方格紙，請你們嘗試完成學習單。

學生獨立完成后進行展示。

呈現三種答案：

圖3

師：比較這三位同學的方法，雖然他們答案不同，但都做了同一件事，是什么？

生1：都數出了有15 個一格的。

生2：都是先數一格的，再數不是一格的部分。

師：數學上，我們把這樣的完整一格稱為整格，不滿一格稱為不滿整格。他們都先數出了整格的有15 格。

師：有數的不一樣的嗎？

生：我數出了16 格。

師：誰知道這是怎么回事？

生：他肯定把差一點點是整格的看成了整格。

師：同學們要注意，整格就是整格，哪怕差一點點才是整格的，都不算。剛剛有位同學在數之前先做了這樣的標記，這樣標記有什么好處？

圖4

生：能清楚地區分整格和不滿整格的部分。

師：是的，把不規則的面積分成了兩部分，整格的部分是大家都一樣，是都確定的部分。那是什么導致大家的結果不一樣呢？

生1：不滿整格的部分。

生2：大家拼湊的方法不一樣。

師：看來就是因為這些不滿整格的部分才造成了答案的不確定性，而大家對不滿一格的部分處理的不同導致結果的不同。

師：剛剛老師在下面找到了這樣的結果，你們知道他是怎么數的嗎？

生：他是把所有不滿整格的都估成了整格。

師：是不是這樣呢？數一數不滿整格的部分一共有多少格。

生：16 格

師：15+16=31，果然是這樣，那這樣估合適嗎？

生：不合適，這樣誤差太大了。

師：但是我們能從這樣的結果中知道這片樹葉的面積一定比31 怎樣？

生（齊）：小。

師：那一定比幾大呢？

生：比15 大。

師：這樣我們就確定了這片樹葉的面積范圍是在什么之間？

生：15 和31 之間。

【思考】不規則圖形的面積，歸結到最基礎的操作就是鋪方塊，然后進行數的一個過程，其實就是數面積單位。所以這個環節是本節課的教學重點，在用數格子的方法估測不規則圖形的面積時，學生通過親自數一數，感受不規則圖形分成了兩部分，即整格的部分和不滿整格的部分。學生對不滿整格的處理通常呈現三種思維方式，第一種最自然，即把不滿整格的部分拼湊成整格；第二種是四舍五入，把超過半格的看成1 格，不超過半格的部分舍去；第三種就是把不滿一格的統一看成半格。無論哪種方法，都無法精確，但從操作的角度看，統一把非整格的看成半格更方便些。通過引導學生充分地表達不同的處理方式，發現就是不滿整格的處理導致了不確定性并進行優化的過程，再一次發展了學生的量感和推理意識。

片段四：精益求精，讓思維更加嚴謹

師：剛剛我們是用面積單位是1 平方厘米的正方形去數，數出了一些答案。那如果還想要更加精確，可以怎么做？

生1：可以用更小的面積單位。

生2：用1 平方毫米去數。

師：1 平方毫米太小啦，還是用平方厘米作單位，可以是什么？

生1：0.5 平方厘米。

生2：0.25 平方厘米。

師：那就用0.25 平方厘米為面積單位去數。為什么用更小的面積單位就會更精確呢？

生：因為這樣不滿整格的部分就變少了。

師：不滿整格的部分減少了，不確定性就減少了，結果自然更精確了。那還想更精確呢？

圖5

生：再小一些的面積單位。

師：再精確一些呢？

生：再小一些的面積單位。

師：還想更精確。

生：再小一些。

師：想象一下，當這些面積單位足夠小時，還會有不滿整格的部分嗎?

生（齊）：沒有了。

師：那答案還確不確定？

生（齊）：確定。

師：小學階段雖然不能得到確定值，但不影響我們想象！

【思考】為什么格子越小，結果越精確？是因為不滿整格的部分是不能確定的部分，當把它細分成更小的格子之后，原來不確定的部分里面會有一部分跑到確定的部分里去了，不確定的東西越來越少，所以才更精確。從思想方法的滲透角度來看，真正達到追求精確的過程，實際上就是一個追求極限思想的滲透的過程，甚至與微積分的思想有一定的聯系，微積分里面的積分，就是用來表示由無數個無窮小的面積組成的面積，不管什么樣的曲線圍成的圖形，核心思想實際上就是用矩形做逼近。學生的知識有界，但想象無界，在此基礎上的極限狀態的想象，是很值得引導學生去體驗的一個重要環節。

片段五：總結鞏固，讓思維橫向延伸

師：掌握的真不錯！第二個問題：不規則圖形和規則圖形的面積計算方法有什么關系呢？

生：規則圖形的面積是確定的，不規則圖形的面積是不確定的。

師：為什么規則圖形的面積是確定的呢？

生：因為規則圖形的面積都是整格的。

師：同學們真會活學活用。我國古代有一位木匠叫于振善，想到了一種與眾不同的方法，想不想聽一聽？

生（齊）：想。

播放故事。

圖6

師：這種方法你們聽懂了嗎？聽懂了什么？你能用1、2、3……這樣的方式說一說嗎？

生：1.找一塊質量、密度均勻的木板；

2.各種不規則的地圖剪貼在木板上；

3.把這些圖鋸下來；

4.稈稱出每塊圖板的重量；

5.稱出1 平方厘米木板的重量；

6.用每塊圖板的重量÷1 平方厘米的重量=每塊圖板的面積；

7.再放大一定的倍數，就能估計出實際面積。

師：如果稱得這塊江蘇地圖圖板的重量是126克，1 平方厘米圖板的重量大約是2 克，那么地圖上江蘇圖板的面積大約是多少平方厘米？

生：126÷2=63 平方厘米。

【思考】solo 分類理論將學生的認知發展描述為四個階段：單點結構、多點結構、關聯結構、抽象擴展結構[2]。顯然，教學需要將學生不規則圖形的面積的求法這個單點結構與規則圖形的面積求法有機關聯起來，形成關聯結構，關注方法與系統。所以，在總結環節做一個結構化的處理，關聯規則圖形和不規則圖形面積求法的異同，更有利于引導學生理清思維，在比較和總結中走向圖形測量的本質。