基于黃金分割搜索的電壓暫降域快速識別方法

雷 敏，湯迪虎，蘭 征，李 勇，吳藝松

（湖南工業大學 電氣與信息工程學院，湖南 株洲 412007）

1 研究背景

電壓暫降是一種嚴重的電能質量問題，當供電母線發生電壓暫降時，大量敏感負荷無法獲得所需電壓，其工作性能將受到影響，嚴重時還會使設備停運，從而造成重大經濟損失。因此，電壓暫降成為了敏感負荷占比很高的現代工業配電網中亟需解決的電能質量問題[1-4]。電壓暫降，是指電力系統中由于短路故障或大負荷投入等原因，導致電壓有效值快速跌落至額定電壓的10%～90%，并且持續時間為0.5 周波至1 min 的電能質量問題[5]，輸電線路的短路故障是電壓暫降的主要成因[6]，且敏感負荷是否受電壓暫降的影響，與自身對電壓暫降的耐受性、所處位置及輸電線路的故障點位置等有關[7]。電壓暫降域是指配電網中某條線路發生故障時，導致所關心節點電壓降低至某個閾值以下的故障點所在區域[8]。電壓暫降域可直觀地反映線路故障對敏感負荷的影響程度和范圍，是電壓暫降綜合評估的基礎與前提，為電網規劃、改造及敏感用戶選址提供了理論依據和數據支撐。

目前，已有多種方法被用于識別電壓暫降域，如臨界距離法、故障點法和解析式法等。臨界距離法[9]，是通過計算導致配電網中敏感負荷發生電壓暫降的臨界故障點及該點與敏感負荷所在母線距離，可實現對電壓暫降域的識別，該法計算速度較快，但只適用于輻射型配電網。故障點法[10]，是指在線路上選定一些虛擬故障點，通過短路計算方法求取各故障點發生短路故障時敏感負荷所在母線電壓暫降幅值信息，用以判斷該虛擬故障點是否處于敏感負荷的電壓暫降域內，該法原理簡單，但其較高的計算精度需要設置數量較多的故障點。如要達0.1%精度，則需在配電網中每條線路上設置1 000 個虛擬故障點，因此計算量較大，且故障點的布置方法也沒有統一標準。解析式法[11-12]，是在綜合考慮臨界距離法和故障點法優缺點的基礎上，利用電力系統短路故障進行分析而提出的一種根據暫降幅值解析式計算電壓暫降域的方法。但是在求解電壓暫降解析式與暫降閾值構成的故障電壓方程時，使用的數值方法較為單一，算法耗時較長。且在識別節點較多網絡時，可能會因迭代初值點難以求解導致出現與實際情況不符的情況，從而不能適用于大型復雜電網。

針對上述情況，本文提出一種基于黃金分割搜索的電壓暫降域快速識別方法，首先求得任一故障點處發生任意短路故障時，敏感負荷節點電壓暫降幅值的解析式；然后引入節點判定向量和線路關聯向量及相應判定準則，以此實現對臨界點的分類計算；對采用傳統插值擬合曲線所存在的問題進行分析，提出一種由黃金分割搜索改進的二次插值法進行曲線擬合，該方法為正割迭代提供了更優的初值點，有利于提高臨界點計算的準確度；最后采用故障點法作為補充算法，用以計算求解困難線路。在保證計算精度的同時，改善了算法的收斂速度，適用性廣泛。

2 電壓暫降解析式與臨界點計算

2.1 基于暫降幅值計算的電壓暫降解析式

本文主要考慮配電網中因短路故障所引起的敏感負荷發生電壓暫降的情況。為精確找到每條線路上電壓暫降域的臨界點，需先通過對稱分量法和短路分析得到敏感負荷所在母線電壓暫降幅值。本文先根據短路情況給出4 種故障工況下電壓暫降幅值表達式。

1）三相短路故障。當故障點K處發生三相短路故障時，由于屬于對稱平衡故障，故只考慮正序，且敏感負荷節點S處的三相電壓暫降幅值相同，其某一相電壓暫降幅值為

式中：為S點處電壓暫降幅值；為正序自阻抗；為正序互阻抗；為S點處故障前電壓；為K點處故障前電壓。

由式（1）可知，S點處的電壓暫降幅值與系統結構參數和系統發生故障前運行狀態有關。當故障點K處發生以A相為特殊相的不對稱短路故障時，需采用對稱分量法進行分析。

2）單相接地短路故障。當故障點K處發生以A相為特殊相的單相接地短路故障時，S點處的三相電壓暫降幅值分別如下：

3）兩相短路故障。當B相和C相發生兩相短路故障時，S點處的三相電壓暫降幅值分別如下：

4）兩相接地短路故障。當B相和C相發生兩相接地短路故障時，S點處三相電壓暫降幅值分別如下：

由式（2）～（4）可知，敏感節點S的三相電壓暫降幅值與系統結構參數、系統發生故障前運行狀態及旋轉因子有關，圖1 為電壓暫降幅值計算示意圖。

圖1 電壓暫降幅值計算示意圖Fig. 1 Schematic diagram for the sag amplitude calculation

當短路故障發生在系統母線上時，其自阻抗和互阻抗可以直接從節點阻抗矩陣中調用；但是當短路故障發生在線路上的某一點時，其自阻抗和互阻抗的計算需要通過引入位置變量p聯立節點阻抗矩陣進行求取。如圖1 所示，傳輸線路F-T上K點發生短路故障時，用位置變量p（0 ≤p≤1）定位故障點。S點為敏感負荷所在母線節點，ZC為線路F-T的序阻抗。當故障點K在線路F-T上移動時，其三序自阻抗和故障點K與S點間的三序互阻抗皆可由目標網絡阻抗矩陣Z和位置變量p表示[13]：

此外，故障點K發生故障前的電壓也可用故障位置變量p來表示：

式中，、分別為母線F和T上的故障前電壓，可通過潮流計算得到。

因此S點的電壓暫降幅值可由故障前電壓和各序阻抗來表示。將式（5）～（7）代入式（1）～（4），便可得任一故障點處發生任意短路故障時，S點電壓暫降幅值關于位置變量p的函數解析式U(p)。

2.2 基于傳統插值法的臨界點計算限制

臨界點是指配電網絡中導致敏感負荷所在母線處的電壓暫降幅值等于敏感負荷電壓暫降閾值的故障位置。保證臨界點的計算準確性和計算速度是暫降域精準識別的關鍵，需準確且快速求解故障電壓方程U(p)=Uth（Uth為敏感負荷電壓暫降閾值）。然而關于變量p的故障電壓方程高于4 次，因此普通求解方程方法并不適用計算臨界點。求解高階方程有幾種數值分析方法，其中Newton-Raphson 方法（如式（8）所示）在大多數情況下有較快收斂速度。但因難以求得故障電壓方程的微分解析表達式，故不能直接應用此方法。此外，在使用類似Newton-Raphson 的開放型數值分析方法過程中，并不能保證其收斂性。

雖然一些交叉型數值分析方法能夠很好地保證系統收斂性，但是收斂速度較慢，因此在大型電力系統計算中并不高效。針對這一問題，可先通過牛頓二次插值法求得當線路0 ≤p≤1 上發生短路故障時，敏感負荷的近似暫降幅值曲線，以及故障電壓方程Uth=ap2i+bpi+c。牛頓二次插值法如式（9）所示[14]。

式中：U[p0]、U[p0,p1]、U[p0,p1,p2]分別為U關于距離p0的零階均差、一階均差和二階均差，可以由式（10）～（12）計算得到。

然而傳統插值法在求取插值曲線時，對系統中所有線路均采用p=0、p=0.5 和p=1 作為插值點，導致在某些情況下，計算所得結果會與實際電壓暫降域有較大的偏差。即采用傳統插值法擬合的二次曲線，對臨界點的計算會有一定的限制。

如圖2 所示，當二次插值曲線的最大電壓幅值遠低于實際暫降幅值曲線的最大值時，可能會誤把整條線路計入暫降域中，即故障電壓方程無解。對于此種情況，本文擬采用黃金分割搜索法改進的牛頓二次插值法，以有效解決這一問題。采用黃金分割搜索法的目的是快速找到pF≤p≤pT（pF=0，pT=1）中使得敏感負荷所在母線電壓暫降幅值為最大值的點pmax，而使用pmax作為插值點，可以保證擬合的二次插值曲線經過實際幅值曲線的最大值，從而有效避免在臨界點計算時可能出現與實際不相符的情況，提高了臨界點計算的準確性。

圖2 實際幅值曲線與插值曲線對比Fig. 2 Comparison between the actual amplitude curves and the interpolation curves

3 電壓暫降域的識別

3.1 引入判定向量

敏感負荷的電壓暫降域，是指配電網線路發生短路故障時引起的敏感負荷節點電壓降至最低耐受電壓幅值以下，從而使得敏感負荷不能正常工作的故障點所在區域。精準識別暫降域的關鍵是快速找出所有的故障臨界點，但若對網絡中的所有線路都采用相同的計算方法，就會出現一些重復且無意義的計算工作，導致計算效率較低。對此，本文通過判斷電力系統中各母線和線路在暫降域中的被包含情況，對網絡中的所有線路進行分類，從而針對性地采用不同的數值分析方法進行臨界點位置的精確計算。

在進行線路分類時，本文引入了一些判定向量及判定規則，具體分析過程如下。

計算各母線短路故障時敏感負荷節點S的電壓暫降幅值，形成母線節點電壓暫降幅值n維向量，并與敏感負荷電壓暫降閾值作比較，得到差值向量ΔUS。

式中：為母線i發生短路故障時敏感負荷所在節點S的電壓幅值。

通過判斷ΔUS向量元素的正負，便可知各節點是否處在敏感節點的暫降域之內，因此，引入節點判定向量B：

由式（14）可知，Bi=1 表示母線i在敏感負荷所對應的電壓暫降域之內；Bi=0 則表示母線i在敏感負荷所對應的電壓暫降域之外。由此，為判斷每條線路在暫降域中的包含情況，引入線路關聯向量L：

式中：Bi_F和Bi_T為連接線路母線暫降判定因子。

觀察式（15）可知，Li的取值由連接線路i的兩個母線暫降判定因子的代數和決定。因此，Li可取值0, 1, 2，其代表的物理意義如下：

1）Li=0，表明線路i所連接的兩條母線都在電壓暫降域之外，則可知線路i也完全位于暫降域之外，且線路i上沒有臨界點。

2）Li=1，表明線路i所連接的兩條母線中，有一條位于電壓暫降域之內。如圖3 所示，則可知線路i部分位于暫降域之內，且線路上存在唯一的臨界點。

圖3 Li=1 時臨界故障點示意圖Fig. 3 Critical fault point schematic diagram with Li=1

3）Li=2，表明線路i所連接的兩條母線均位于電壓暫降域之內。Li=2 時的臨界故障點示意圖如圖4所示，由圖可知，線路i將部分或全部位于暫降域以內，也就意味著線路i存在2 個或0 個臨界點，此時先求得電壓暫降幅值曲線的最大值，再將其與電壓閾值Uth比較大小，即可確定線路上的臨界點個數。

圖4 Li=2 時臨界故障點示意圖Fig. 4 Critical fault point schematic diagram with Li=2

因此，只有當Li取值1 或2 時，才需要進一步計算線路上的臨界點，從而減少了計算時間。

3.2 電壓暫降域識別方法及改進

由上述分析可知網絡中所有線路上臨界點的個數和分布情況，本文為在保證算法精度的前提下提高計算速度，采用了多種數值分析方法進行臨界點位置的精確計算，從而快速地識別出電壓暫降域，算法流程圖如圖5 所示。

圖5 電壓暫降域求解算法流程圖Fig. 5 Flowchart of sag domain solving algorithm

電壓暫降域具體計算步驟如下：

1）暫降幅值計算。根據給定系統網絡參數，通過追加支路法或導納矩陣求逆計算網絡各序節點阻抗矩陣，并用式（1）～（4）得到各節點發生不同類型短路故障時敏感負荷所在節點電壓暫降幅值。

2）線路分類。由步驟1 得到敏感負荷所在節點電壓暫降幅值向量USf，按式（13）～（15）計算得節點判定向量B和線路關聯向量L，并對所有線路進行逐條遍歷。若Li=0，表明線路不在電壓暫降域內，直接計算下一條線路；若Li=1，表明此線路首末節點中有1 個節點在暫降域內，則可知線路i部分位于暫降域內，且線路上存在唯一臨界點；若Li=2，表明此線路首末節點均在暫降域內，則先采用黃金分割搜索法求解電壓暫降幅值曲線的最大值Umax，并將其與敏感負荷電壓暫降閾值Uth進行比較。若Umax＜Uth，說明此線路完全處于暫降域內，不存在臨界點，則直接計算下一條線路；若Umax≥Uth，說明線路i部分位于暫降域內，且線路上存在2 個臨界點。

3）臨界點計算。只需對步驟2 中Li=1, 2 的情況進行臨界點的計算。Li=1 時，直接使用（0,UF）、（0.5,U0.5）和（1,UT）3 點作為插值點，通過牛頓二次插值法獲得電壓暫降幅值解析式U(p)以及故障電壓方程Uth=ap2i+bpi+c；Li=2 時，改用（0,UF）、（pmax,Umax）和（1,UT）3 點作為牛頓二次插值法的插值點，求取電壓暫降幅值解析式和故障電壓方程。然后將上述故障電壓方程的根pia作為正割迭代法的初始迭代值，通過迭代求得精確的臨界點位置。基于正割迭代法的臨界故障距離迭代表達式如下：

其收斂條件為

正割迭代法是一種逼近準確根的算法，且其不需要計算敏感負荷電壓暫降幅值方程的微分，因此比牛頓迭代法更加高效。此外，在實際計算過程中，存在線路臨界點計算難以收斂的情況，故本文將故障點法作為補充算法，以計算有求解困難線路的臨界點。

4）識別出暫降域。重復步驟1～3，直到完成配電網絡中所有線路的遍歷和迭代，就可得到給定網絡參數和敏感負荷閾值時的電壓暫降域。

4 算例分析

4.1 系統模型分析

為檢驗上述電壓暫降域刻畫算法的有效性，以IEEE30 節點標準測試系統進行仿真驗證。該系統由6 臺發電機組、30 條母線、37 條輸電線路以及4 臺變壓器組成，設置母線20 和母線29 為敏感負荷接入點，敏感負荷電壓暫降閾值Uth為0.743p.u.。通過本文所提算法，確定各種短路故障情況下3 條母線的電壓暫降域。限于篇幅，此處僅列出單相接地短路（A相接地）與三相短路時，敏感負荷對應的所有臨界點 和電壓暫降域，分別如圖6 與圖7 所示。

圖6 單相接地短路時敏感負荷電壓暫降域分布Fig. 6 Voltage sag domain distribution of the sensitive loads under SLGF

圖7 三相短路時敏感負荷電壓暫降域分布Fig. 7 Voltage sag domain distribution of the sensitive loads under 3LF

4.2 提高暫降域識別的精確度

為進一步驗證上述算法識別暫降域的準確性，分別采用故障點法、傳統插值法和本文所述算法求解節點20 在電壓暫降閾值為0.743p.u.時的暫降域。關于故障點法，所采用的計算精度為0.1%，即對每條線路均勻設置1 000 個故障點。為了更直觀地比較各算法的性能，下面將部分線路（含有臨界點的線路）的暫降域采用數值區間的形式展現，結果如表1 所示。

表1 本文算法與故障點法、傳統插值方法的部分計算結果對比Table 1 Calculation result comparison of the proposed algorithm with the fault point method and traditional interpolation method

由于本文設置故障點的方式，使用故障點法搜索臨界點可將誤差完全控制在0.1%以下，因此將故障點法的搜索結果作為評定算法計算準確性的標準。通過對比，發現在同等條件下，本文算法所得結果更接近故障點法的計算結果，因此本文算法計算臨界點時的精確度更高。特別是當遍歷到2-4 線路時，傳統插值方法無法正確識別線路上的臨界點，針對這種情況，本算法進行了優化，具體優化過程如下：

首先，計算出母線2 和母線4 上發生單相接地短路時，敏感負荷所在母線20 上的暫降幅值和，分別為0.617p.u.和0.468p.u.，均小于敏感負荷的暫降閾值Uth，所以B2和B4均取值1，線路2-4的線路關聯向量L為2，表示母線2 和母線4 均在暫降域內，因此需要進一步根據牛頓二次插值曲線判斷線路2-4 上臨界點的分布情況。在傳統插值方法的算法中，所有線路均使用p=0、p=0.5 和p=1 的3 點數據作為牛頓二次插值法的插值點，當線路2-4 上發生單相接地短路時，敏感負荷所在母線20 上的暫降曲線如圖8 所示。

圖8 線路2-4 的傳統方法插值曲線與實際曲線對比Fig. 8 Comparison of traditional methods and the actual sag amplitude curves for line 2-4

如圖8 所示，盡管線路上實際存在兩個臨界點，但使用傳統插值方法擬合的二次插值曲線無法識別線路上的臨界點，其原因是傳統插值曲線的最大幅值低于實際曲線的，從而誤將整條線路計入暫降域內。本文對于此種情況，首先通過黃金分割搜索法得到敏感負荷所在母線20 處的電壓暫降幅值最大值點的坐標（0.359，0.745），即當pmax=0.359 時，取Umax=0.745p.u.；然后使用（0，0.617）、（0.359，0.745）和（1，0.468）3 點進行二次插值，得到新的電壓暫降曲線，曲線經過了實際暫降幅值曲線的最大值點，如圖9 所示。

圖9 線路2-4 本文算法插值曲線與實際曲線對比Fig. 9 Comparison of the proposed method with the actual sag amplitude curves for line 2-4

由圖9 可以得知，該方法可為正割迭代法求取臨界點提供更合適的初始迭代值。通過迭代，得出臨界點p1和p2分別為0.306 和0.423。因此，線路2-4 在暫降域內的兩部分被準確地確定為[0, 0.306]和[0.423, 1]。若使用傳統插值法，會誤將約11.5%的線路長度計入暫降域。

4.3 提高暫降域識別的計算速度

3 種算法的性能對比見表2，可知在識別同一工況下標準測試系統的暫降域時，使用故障點法（達到0.1%精度）識別出暫降域需8.50 s，使用傳統插值方法需3.62 s，使用本文所提算法則只需1.18 s。

表2 3 種算法的性能對比Table 2 Performance comparison of the algorithms

使用基于傳統插值法的暫降域識別算法的確相比于故障點法有所提高，但是由于傳統算法對每條線路均采用先插值后迭代求得臨界點的方式，從而使得求取過程中可能出現一些試探性的工作，并且難以避免迭代不收斂或者出現根值無意義的情況。而本文所提算法在臨界點計算前，引入判定向量和判定規則對線路進行分類，以提前確定各臨界點的大致分布，從而系統地計算各臨界點位置，達到降低算法整體復雜度的目的。此外，本文在最后使用故障點法作為算法補充，可以有效搜索出迭代不收斂、有求解困難線路上的臨界點，雖然有可能對計算速度有輕微的影響，但是保證了算法的廣泛適用性。

5 結語

本文提出了一種基于黃金分割搜索的電壓暫降域快速識別方法，并通過實驗驗證其計算精度和算法收斂速度，該方法相對于傳統方法存在以下優點：

1）將臨界點的求解簡化為二次解析式與敏感負荷電壓暫降閾值的交點問題，使得其具有明確的幾何意義，在此基礎上引入多種計算方法系統性求解，避免對每條線路使用同種方法而導致的算法低效問題，大幅度提升了算法性能。

2）通過引入判定向量及判定規則，能更高效地確定各線路臨界點分布情況，減少了重復性計算，一旦求得插值方程及擬合曲線，利用正割迭代法就可快速計算出線路臨界點，并使用故障點法作為補充算法，用以計算有求解困難的線路，從而能適應大型復雜電力系統的臨界點計算與暫降域識別的需要。