巖石球礫與平板碰撞法向恢復系數

孫翰卿, 許龍, 朱成, 馬新軍, 黃俊光

(1.華南理工大學 土木與交通學院, 廣州 510640; 2.廣州建筑股份有限公司, 廣州 510000;3.廣東省有色礦山地質災害防治中心, 廣州 510080; 4.廣州市建筑集團有限公司, 廣州 510030;5.廣州市設計院集團有限公司, 廣州 510620)

落石災害屬于自然界中危險性極大的地質災害之一,往往具有多發性、突發性、隨機性等特點,對中國山區高速公路、鐵路的運營及房屋安全造成了嚴重的危害[1-3]。了解落石災害現象中巖塊的運動軌跡、運動機理及沖擊特性可為防護結構的設計提供重要理論依據[4-6]。法向恢復系數是影響落石與邊坡碰撞過程和能量損耗的關鍵參數之一,其取值直接決定了落石的運動軌跡。因此,開展落石法向恢復系數研究對提高落石運動軌跡預測和優化防護措施布置具有重要的理論意義和工程應用價值。

落石與邊坡的碰撞屬于動力接觸問題,其本質可以簡化成巖石球礫與平板的接觸碰撞[7-9]。中外學者通過碰撞試驗、理論推導和數值模擬的方法探究球礫法向恢復系數的影響因素。在試驗研究方面,章廣成等[10]和葉四橋[11]等分別開展了落石野外碰撞試驗和模型試驗,研究發現坡面特征是影響落石法向恢復系數的主要影響因素,而落石形狀、尺寸、碰撞速度、入射角度對法向恢復系數沒有明顯影響。葉陽等[12]開展了花崗巖球礫室內碰撞試驗,試驗結果卻表明球礫的法向恢復系數存在明顯的尺寸效應,且隨著碰撞速率、等效彈性模量和含水率的增加而降低。由此可見,基于試驗結果得到不同因素對巖石球礫恢復系數的影響仍存在爭議,有待進一步深入研究。在理論研究方面,國內外學者基于Hertz彈性接觸理論,推導了多種彈塑性接觸碰撞模型和黏彈性接觸碰撞模型[13-15],但模型理論計算結果與實際仍存在差異,部分模型參數需要試驗擬合確定。在數值模擬研究方面,Guzzetti等[16]基于數值軟件計算得到落石法向恢復系數依據坡面的軟硬狀態在0.1～0.5取值。章廣成等[10]通過ANSYS/LS-DYNA軟件模擬落石與坡面碰撞過程,坡面巖土體從基巖、碎屑堆積層至松散碎石土,落石法向碰撞恢復系數逐漸減小,取值范圍在0.3～0.8。

綜上所述,國內外學者針對坡面特征對落石法向恢復系數的影響已達成統一認識,即坡面由硬到軟,法向恢復系數逐漸減小。然而,學者們對碰撞速率對落石法向恢復系數的影響尚未形成一致結論,關于巖石材料參數對法向恢復系數的影響更是分析不足。基于落石碰撞試驗研究法向恢復系數難以靈活設定巖石的材料參數,且費時費力,特別是現場落石試驗還存在安全性問題。相比之下,基于理論推導和數值模擬方法可更為方便、可靠地研究碰撞速率和材料參數對落石法向恢復系數的影響。

因此,現建立巖石球礫與平板碰撞理論模型,利用限元分析軟件ABAQUS模擬了球礫與平板的碰撞過程,并采用上述兩種方法探究了碰撞速率、彈性模量、彈性極限及泊松比對球礫法向恢復系數的影響,比較了兩種方法結果的差異。相關研究成果可為落石運動軌跡分析中法向恢復系數參數取值提供理論支撐。

1 球板碰撞理論模型

基于Hertz經典彈性理論模型[17-20]與杜妍辰兩顆粒彈塑性碰撞理論模型[21],建立了簡化的巖石球礫與平板的接觸碰撞模型。為便于推導,本文做出如下假設。

(1)將巖石球礫和平板視為各向同性的均質巖塊。

(2)不考慮巖石的硬化,彈性極限和強度極限一致。

(3)不考慮碰撞過程中巖石球礫與平板之間的摩擦力。

(4)平板的尺寸無限大。

巖石球礫以一定速度v0與平板發生法向碰撞(球礫只有垂直于板的速度,切向速度為0)。由于假定平板的尺寸無限大,可將平板看作半徑無窮大的球體,則有平板的質量m2遠遠大于球礫的質量m1,因此,整個接觸碰撞過程中可近似認為平板的速度始終為0。

巖石球礫與平板開始接觸瞬間作為分析的初始狀態,球礫與平板的脫離瞬間作為結束狀態,可以將碰撞過程分為3個階段[14,21]。

(1)彈性變形階段:該階段是以球板開始接觸瞬間為起始,以接觸面圓心處球礫或平板發生塑性變形為結束。巖石球礫的速度由v0減小至v1,球礫和平板的變形為彈性變形,球礫的動能全部轉換為球礫和平板的彈性勢能。

(2)彈塑性變形階段:該階段是以接觸面圓心處巖石球礫或平板發生塑性變形為起始,以球礫速度減小至0為結束。球礫的速度由v1減小至0,球礫和平板的變形為彈塑性變形,球礫的動能部分轉換為球礫和平板的彈性勢能。

(3)彈性回彈階段:該階段是以球礫速度減小至0為起始,以球礫與平板的脫離瞬間為結束。球礫的速度由0增大至v末,球礫和平板的變形為彈性變形,球礫和平板的彈性勢能轉換為球礫的動能。

1.1 彈性變形階段

球礫與平板接觸碰撞模型如圖1所示。假設球礫的球心位移為δ,球礫和平板之間的總接觸力為p,接觸面為圓形,圓半徑為R0,接觸面半徑為ra,接觸區中心壓應力為q0,其他相關參數如表1所示。

表1 球礫和平板的相關參數Table 1 Theparameters of the rock sphere and the plate

圖1 球礫與平板接觸碰撞模型Fig.1 The rock sphere and the plate collision model

根據Hertz彈性接觸理論[19,21]有

(1)

(2)

(3)

(4)

結合式(1)和式(2),有

(5)

(6)

(7)

彈性變形階段結束時,球礫與板接觸區域中心處(r=0)即將進入塑性變形階段,該處接觸壓應力σ=σp,σp為塑性段接觸應力。此時將式(5)、式(6)代入(4)式得接觸半徑ra1為

(8)

將式(8)結果代入式(6)得球心位移δ1為

(9)

解式(7)微分方程,考慮初始條件,當球心位移δ=0時,球礫速度v=v0,有

(10)

彈性變形階段結束時,球心位移δ=δ1,彈性階段末球礫速度v1為

(11)

1.2 彈塑性變形階段

(12)

結合式(4)、式(5)、式(6)和式(12),則彈塑性區總接觸力為

(13)

根據牛頓第二定律,有

(14)

解式(14)微分方程,考慮初始條件δ=δ1時v=v1,得到彈塑性階段球礫速度v的表達式為

(15)

彈塑性階段結束時,有v=0,代入式(15),得到球礫球心近似位移δ2為

(16)

1.3 彈性回彈階段

該階段巖石球礫在彈性回彈力的作用下與平板逐漸分離,彈性應變能逐步轉化成球礫的動能,而塑性應變不可恢復。假定球心位移δ中包含的塑性位移δp,且總接觸力大小與球心位移關系與彈性變形階段相同,則該階段的總接觸力為

(17)

由于彈塑性變形階段末與彈性回彈階段初總接觸力大小相等,則有

(18)

求解式(18),可得

(19)

根據牛頓第二定律,有

(20)

解式(20)微分方程,考慮初始條件δ=δ2時v=0,得到彈性回彈階段巖石球礫速度v的表達式為

(21)

該階段末,球心位移δ=δp,因此巖石球礫與平板碰撞結束后的速度v末為

(22)

法向恢復系數e為巖石球礫與平板碰撞后的速度與碰撞前的速度比值,即

(23)

2 球板碰撞有限元模擬

利用SIMULIA公司的大型有限元軟件ABAQUS模擬巖石球礫與平板的碰撞過程,并對比分析數值模擬結果與理論計算結果。數值模型如圖2所示,巖石球礫的半徑為50 mm,平板的半徑為250 mm,厚度為100 mm。球礫底部與平板上表面中心恰好接觸,接觸采用動力學的接觸方法、有限滑移,接觸屬性為無摩擦。考慮巖石球礫與平板碰撞屬于軸對稱問題,因此,巖石球礫與平板部件構建均采用軸對稱單元,該單元可以在不犧牲計算精度的前提下大幅提高計算效率,且能在計算結束后通過ODB軟件掃掠單元形成球板碰撞三維模型。在網格劃分方面,球礫與平板模型均采用四邊形單元(CAX4R),并在接觸區域對模型網格進行加密處理,以提高計算精度;在遠離接觸區域網格劃分較稀疏,以提高計算速度。巖石球礫軸對稱面包含1 754個四邊形單元,平板軸對稱面包含2 419個四邊形單元,材料的相關參數初始取值參考文獻[12],如表2所示。邊界條件設定方面,球礫和平板軸線所在邊界施加對稱約束以限制水平方向位移,平板底施加固定約束,以消除碰撞過程中平板彈性振動對碰撞的影響。

表2 巖石球礫和平板的材料參數Table 2 The materialparameters of the rock sphere and the plate

主要研究巖石球礫的法向恢復系數,因此,球板碰撞數值模擬中,巖石球礫碰撞前速度方向垂直于平板,碰撞速率設置為1.0～10.0 m/s。模型計算分析步采用動態顯示分析步,考慮到碰撞時間和碰撞速率有關,當碰撞速率大于或等于2.5 m/s時,分析步時間設置為4×10-4;當碰撞速率小于2.5 m/s時,分析步時間設置為6×10-4。在初始分析步對球礫施加豎直方向碰撞速率v0,并在整個計算過程中實時監測球心豎直方向的速度v。模擬結束后,繪制球心豎直方向速度曲線,讀取球心碰撞后的速度v末,根據球礫v末與v0的比值,計算得到球礫的法向恢復系數。

3 理論計算與數值模擬結果分析

3.1 碰撞速率對法向恢復系數的影響

巖石球礫法向恢復系數理論計算結果可通過式(11)、式(16)、式(19)和式(23)聯立求解,式中參數m1、R0、v0為球礫的質量、半徑和初始速度,等效彈性模量Et由球礫與平板的彈性模量和泊松比共同決定,均為已知參數,僅塑性區接觸應力σp為待定參數。

巖石球礫與平板碰撞屬于局部接觸問題,接觸面的半徑遠小于球礫的半徑,因此接觸區域受到周圍約束作用,處于三向應力狀態[12],σp的取值需要考慮圍壓對彈性極限的增大作用。Li等[22]研究發現,當接觸區中心壓應力至少為材料彈性極限的1.6倍時,材料才開始屈服;賈乃文[23]推導出剛性平沖頭壓入的近似解答,認為該增大系數取值應當在1+π/2附近。實際上,該增大系數取值和圍壓大小有關,圍壓大小又與球礫碰撞速率、材料參數相關。考慮到本模型假定球礫的初始碰撞速率在1.0～10.0 m/s之間,筆者根據數值模擬結果,讀取接觸面塑性區域的接觸應力,并與材料的彈性極限σs比較,得到塑性區接觸應力約為σs的1.95倍。因此,彈塑性變形階段塑性區接觸應力σp為

σp=min(σp1,σp2)=min(1.95σs1,1.95σs2)

(24)

為分析碰撞速率對巖石球礫法向恢復系數的影響,球礫的碰撞速率依次設置為1.0,2.0,3.0,4.0,5.0,6.0,7.0,8.0,9.0,10.0 m/s,理論計算與數值模擬選用的材料參數一致,如表2所示。理論計算與數值模擬得到的法向恢復系數e的結果如圖3所示。

圖3 不同碰撞速率下球礫法向恢復系數Fig.3 The normal restitution coefficient of rock sphere upon various impact velocity

數值模擬和理論計算得到的法向恢復系數十分接近,最大差值在5%以內,驗證了本文數值模擬結果的可靠性。兩種計算結果均表明,巖石球礫法向恢復系數隨著碰撞速率的增加而逐漸降低,且下降速率逐漸減小。究其原因,隨著碰撞速率的增加,球礫與平板接觸區局部塑性變形的大小與范圍增大,球礫的耗能增大,恢復系數降低。當球礫的碰撞速率較低時,碰撞速率是決定恢復系數主要影響因素之一,而當碰撞速率較高時,碰撞速率不再是影響恢復系數的主要因素,因此法向恢復系數下降速率隨著碰撞速率的增加而逐漸減小。圖3所示法向恢復系數變化曲線與何思明等[13]在Thornton理論基礎上得到的法向恢復系數隨碰撞速率變化曲線趨勢基本一致,同樣證明了本文理論計算和數值模擬結果的可靠性。

3.2 彈性模量對法向恢復系數的影響

為討論彈性模量對法向恢復系數的影響,球礫與平板的彈性模量依次取24、26、28、30、32、34、36、38、40 GPa,理論計算與數值模擬選取的碰撞速率和材料參數如表3所示。法向恢復系數e的理論計算和數值模擬結果如圖4所示。

表3 不同彈性模量下球礫和平板的相關參數Table 3 Theparameters of the rock sphere and the plate with various elastic modulus

理論計算和數值模擬結果表明,隨著巖石球礫與平板的彈性模量增加,球礫的法向恢復系數降低,且兩者基本呈線性關系,如圖4所示。這是由于球礫與平板的彈性模量越大,材料達到彈性極限時彈性應變越小,進而導致彈性應變能減小。在彈性回彈階段,彈性應變能再次轉化為球礫的動能,因此球礫碰撞后的動能隨著彈性應變能的減小而降低,球礫的恢復系數也隨之降低。

3.3 彈性極限對法向恢復系數的影響

為討論材料彈性極限對巖石球礫法向恢復系數的影響,球礫與平板的彈性極限依次取70、80、90、100、110、120、130、140和150 MPa,其余參數取值如表4所示。巖石球礫恢復系數e的理論計算和數值模擬結果如圖5所示。

表4 不同彈性極限下球礫和平板的相關參數Table 4 Theparameters of the rock sphere and the plate with various elastic limit

理論計算和數值模擬表明,隨著巖石球礫和平板的彈性極限增大,球礫的法向恢復系數增大,且兩者基本呈線性關系,如圖5所示。其原因在于彈性變形階段和彈塑性變形階球礫的部分動能轉化為彈性應變能,且轉化率隨著材料彈性極限的增加而增大。在彈性回彈階段,材料的彈性應變能再次轉化為球礫的動能,因此球礫的恢復系數隨著彈性極限的增加而增大。

3.4 泊松比對法向恢復系數的影響

為討材料泊松比對巖石球礫法向恢復系數的影響,球礫與平板的泊松比依次取0.13、0.14、0.15、0.16、0.17、0.18、0.19、0.20、0.21,其余參數取值如表5所示。巖石球礫法向恢復系數e的理論計算和數值模擬結果如圖6所示。

表5 不同泊松比下球礫和平板的相關參數Table 5 Theparameters of the rock sphere and the plate with various Poisson’s ratio

圖6 不同泊松比下球礫法向恢復系數Fig.6 The normal restitution coefficient of rock sphere upon various Poisson’s ratio

根據理論計算和數值模擬結果發現,隨著球礫和平板的泊松比增大,恢復系數基本可視為保持不變。因此,可以認為材料的泊松比對球礫的法向恢復系數影響較小。

4 結論

(1)基于球板碰撞模型,采用理論推導和數值模擬兩種方法研究落石與坡面碰撞的法向恢復系數,結果表明兩種方法得到的法向恢復系數相近,最大差值在5%以內,且碰撞速率、彈性模量、彈性極限與泊松比對法向恢復系數影響規律相同。因此,兩種研究方法得到的法向恢復系數具有可靠性。

(2)巖石球礫與平板接觸碰撞區域受到周圍約束作用,處于三向應力狀態,圍壓導致塑性區接觸應力大于材料的彈性極限,當球礫初始碰撞速率在1.0～10.0 m/s時,最大接觸應力約為彈性極限的的1.95倍。

(3)巖石球礫的法向恢復系數隨著碰撞速率的增加而降低,且下降速率逐漸減小。隨著彈性模量的增大,球礫法向恢復系數逐漸減小,兩者呈線性關系。隨著彈性極限的增大,球礫法向恢復系數逐漸增大,兩者亦基本呈線性關系。泊松比對恢復系數影響較小,隨著泊松比的增大,恢復系數基本保持不變。