考慮連續(xù)特性的水平井鉆柱軸向振動(dòng)分析

高成, 梅熠軒, 劉旭輝*, 孫巧雷, 施雷, 馮定

(1.長(zhǎng)江大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 荊州 434023; 2.湖北省油氣鉆完井工具工程中心, 荊州 434023)

近年來(lái),為滿足油氣開發(fā)需要,水平井、大位移井等非常規(guī)井段油氣開采作業(yè)增加,滑動(dòng)鉆井時(shí),鉆柱受到較大摩阻,鉆壓不能有效傳遞,易引起桿柱屈曲。目前一些減小摩阻、改善鉆壓傳遞或擴(kuò)大井眼范圍的實(shí)用方法包括:井眼清洗、泥漿系統(tǒng)中添加潤(rùn)滑劑和使用井下振動(dòng)工具[1-2]。軸向振動(dòng)工具已成為減小摩阻、改善鉆壓傳遞的有效手段[3]。因此,研究軸向振動(dòng)工具作用下的水平井鉆柱的軸向振動(dòng)規(guī)律,對(duì)擴(kuò)大井眼范圍,改善井下工況具有十分重要的意義[4]。

針對(duì)鉆柱軸向振動(dòng)問(wèn)題,國(guó)內(nèi)外學(xué)者做了大量研究。Dahl[5]基于摩擦的準(zhǔn)靜態(tài)接觸假設(shè),建立了綜合考慮庫(kù)侖摩擦、黏著效應(yīng)和滾動(dòng)摩擦的Dahl摩擦動(dòng)力學(xué)模型;Dahl[6]總結(jié)和改進(jìn)了Dahl摩擦模型,對(duì)庫(kù)侖摩擦阻尼振蕩器進(jìn)行了分析,提出了機(jī)械振子的固體摩擦阻尼理論。Khan[7]考慮了不同的鉆頭和頂部邊界條件,建立了有阻尼和激勵(lì)項(xiàng)的鉆柱縱向和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)響應(yīng)的數(shù)學(xué)解析模型。De Wit等[8]綜合考慮了斯特里貝克效應(yīng)、滯回、黏滯特性和不同的分離力,建立了LuGre摩擦動(dòng)力學(xué)模型。Rashed等[9]綜合考慮了邊界條件、鉆頭激勵(lì)機(jī)制、泥漿黏度和工具接頭的影響,建立了鉆柱軸向振動(dòng)分析模型。Liu等[10-11]運(yùn)用Dahl動(dòng)態(tài)摩擦模型和微觀接觸變形理論建立了分析摩擦力的理論模型,計(jì)算了軸向振動(dòng)作用下滑動(dòng)鉆井的摩擦力變化;基于動(dòng)摩擦理論,考慮了軸向振動(dòng)工具的振動(dòng)特性,提出了一種預(yù)測(cè)鉆柱在軸向振動(dòng)作用下阻力的解析模型。田家林等[12]基于動(dòng)力學(xué)理論提出了鉆柱縱向和橫向耦合振動(dòng)的動(dòng)力方程,建立了井下鉆柱縱向和橫向耦合振動(dòng)的數(shù)學(xué)模型,并進(jìn)行數(shù)值求解及分析。李斌等[13]基于LuGre摩擦理論,建立了鉆柱與井壁巖石間摩擦力的計(jì)算模型,并利用正交試驗(yàn),分析了軸向振動(dòng)工具的振動(dòng)強(qiáng)度、振幅、振動(dòng)頻率等對(duì)鉆柱與井壁巖石間摩擦力的影響;吳志勇等[14]將井下鉆柱所受摩阻完全視為庫(kù)倫摩擦,建立了水力振蕩器作用下的鉆柱軸向能量傳遞模型,數(shù)值模擬了振蕩器的激振力、振蕩頻率及安裝位置對(duì)減阻效果的影響,但并未研究鉆柱與井壁間摩擦系數(shù)對(duì)鉆柱軸向受迫振動(dòng)的影響。Zhang等[15]在波動(dòng)方程中引入庫(kù)侖摩擦,建立了鉆柱動(dòng)態(tài)模型,分析了工具參數(shù)、連續(xù)油管參數(shù)和井筒參數(shù)對(duì)工具性能的影響。Omojuwa等[16]考慮了軸向振動(dòng)工具內(nèi)部彈簧剛度及壓降和激勵(lì)頻率之間的影響,建立了水平井鉆柱運(yùn)動(dòng)模型,但并未考慮鉆井液黏性阻尼對(duì)鉆柱軸向受迫振動(dòng)的影響;肖林京等[17]采用一維波動(dòng)理論,建立了深海采礦揚(yáng)礦管的軸向振動(dòng)方程并求得解析解。朱杰然等[18]基于質(zhì)量-彈簧-阻尼離散方法及Stribeck摩擦理論,建立了水平井全井鉆柱系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型,并分析了水平井鉆柱系統(tǒng)在不同井段和不同鉆井工況參數(shù)下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。王明珠等[19]基于飽和多孔理論,采用Rayleigh-Love桿模型,建立了管樁與土層的耦合振動(dòng)方程,并根據(jù)阻抗遞推法求得管樁頂部頻域解析解,最后對(duì)比分析了單相土層和飽和土層對(duì)管樁頂部動(dòng)力響應(yīng)的影響。綜上所述,已有的研究主要采用離散化方法對(duì)水平井鉆柱系統(tǒng)進(jìn)行分析,建立動(dòng)力學(xué)模型。但鉆柱屬于連續(xù)彈性體,且對(duì)應(yīng)的振動(dòng)系統(tǒng)屬于分布參數(shù)系統(tǒng),因此,為了更為精確的描述鉆柱軸向受迫振動(dòng)規(guī)律,需要根據(jù)鉆柱的連續(xù)特性運(yùn)用偏微分方程描述。

以波動(dòng)理論為基礎(chǔ),對(duì)軸向振動(dòng)工具作用下的水平井鉆柱動(dòng)力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行了分析。考慮了鉆柱連續(xù)性特性及鉆井液黏性阻尼特性,采用等效黏性阻尼法對(duì)庫(kù)侖阻尼進(jìn)行線性化處理,運(yùn)用特征值疊加法求解,建立了水平井鉆柱軸向振動(dòng)響應(yīng)的動(dòng)態(tài)解析模型。通過(guò)數(shù)值模擬分析了軸向振動(dòng)工具的頻率、安裝位置及鉆柱與井壁間摩擦系數(shù)對(duì)鉆柱軸向受迫振動(dòng)的影響,以期為改善軸向振動(dòng)工具在水平井作業(yè)中的作用提供理論指導(dǎo)。

1 軸向振動(dòng)工具結(jié)構(gòu)與工作原理

以國(guó)民油井華高公司的偏心螺桿式水力軸向振動(dòng)工具[20]為例,對(duì)水平井鉆柱的軸向振動(dòng)規(guī)律展開研究。該工具由軸向振動(dòng)短節(jié)、動(dòng)力短節(jié)、閥盤系統(tǒng)構(gòu)成,如圖1所示。

圖1 軸向振動(dòng)工具結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of axial vibration tool

工作原理為:高壓鉆井液流經(jīng)振動(dòng)短節(jié)的心軸,進(jìn)入動(dòng)力短節(jié)驅(qū)動(dòng)螺桿,進(jìn)而帶動(dòng)閥門系統(tǒng)中的動(dòng)閥盤旋轉(zhuǎn)。動(dòng)閥盤的通孔中心軸與定閥盤的通孔中心軸不在同一條直線上,動(dòng)、定閥盤交錯(cuò)運(yùn)動(dòng),兩通孔重合面積周期性變化,如圖2所示[3],產(chǎn)生壓力脈沖作用于振動(dòng)短節(jié)中的碟簧,引起工具振動(dòng)。

圖2 軸向振動(dòng)工具閥盤系統(tǒng)[3]Fig.2 Disc system for axial vibration tool[3]

2 水平井鉆柱軸向受迫振動(dòng)數(shù)學(xué)模型的建立

2.1 基本假設(shè)

為建模方便,作出如下假設(shè):

(1)鉆柱屬于線性彈性體,且材料均勻,各向同性。

(2)鉆柱中心與井眼中心一致且為水平段。

(3)只考慮鉆柱的軸向變形,忽略鉆柱的橫向變形。

(4)鉆井液密度為常數(shù)。

(5)庫(kù)侖阻尼與鉆井液的黏性阻尼為水平段鉆柱運(yùn)動(dòng)的主要摩阻。

(6)忽略鉆柱內(nèi)部流體慣性效應(yīng)。

(7)只考慮軸向振動(dòng)工具產(chǎn)生的縱向振動(dòng),忽略鉆柱的其他振動(dòng)。

2.2 水平井鉆柱軸向受迫振動(dòng)模型

2.2.1 鉆柱位移激勵(lì)模型

針對(duì)一根長(zhǎng)度為l的水平井鉆柱,設(shè)定鉆柱的密度為ρ,橫截面積為A;鉆柱底部簡(jiǎn)化為自由端,鉆柱近軸向振動(dòng)工具端受到位移激勵(lì)作用,如圖3所示。

l為水平井鉆柱長(zhǎng)度;x為鉆柱上任意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間;t為運(yùn)動(dòng)坐標(biāo);μ(x,t)為鉆柱在t時(shí)刻距右端點(diǎn)x處橫截面的軸向總位移;w(x,t)為鉆柱在t時(shí)刻距右端點(diǎn)x處橫截面的瞬時(shí)位移;h(t)為軸向振動(dòng)工具產(chǎn)生的位移激勵(lì); k為彈簧的剛度系數(shù);Fp為軸向振動(dòng)工具產(chǎn)生的激振力;ΔP為軸向振動(dòng)工具內(nèi)部流體壓力差;S為軸向振動(dòng)工具內(nèi)部流體出口面積圖3 鉆柱位移激勵(lì)模型Fig.3 Model for drill string displacement excitation

鉆柱上任意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是時(shí)間t和坐標(biāo)x的函數(shù),因此,鉆柱在t時(shí)刻距右端點(diǎn)x處橫截面的軸向總位移用u(x,t)表示,且認(rèn)為該軸向總位移為鉆柱在t時(shí)刻距右端點(diǎn)x處橫截面的瞬時(shí)位移與軸向振動(dòng)工具產(chǎn)生的位移激勵(lì)之和,即。

u(x,t)=w(x,t)+h(t)

(1)

2.2.2 鉆柱微元段分析

鉆柱上某微元段dx偏離靜平衡位置(虛線表示)的瞬時(shí)位移為w(x,t),此時(shí)微元段的受力狀況如圖4所示。

F為鉆柱微元段橫截面上的內(nèi)力;FN為井壁對(duì)鉆柱的支持力;G為鉆柱微元段的重力;Pc為單位長(zhǎng)度的庫(kù)侖摩擦力;Pd為線性黏性阻尼力圖4 鉆柱微元段受力分析Fig.4 Free body diagram for a drill string model

鉆柱微元段應(yīng)變?yōu)?/p>

(2)

鉆柱微元段橫截面內(nèi)力為

(3)

式(3)中:A為鉆柱的橫截面積,mm2;E為鉆柱的彈性模量,MPa;F為鉆柱微元段橫截面上的內(nèi)力,N。

根據(jù)牛頓第二定律得

(4)

(5)

(6)

FN=(ρ-ρd)Ag=ρλbAg

(7)

(8)

式中:μ為鉆柱與井壁接觸時(shí)的動(dòng)摩擦因數(shù),無(wú)量綱;sgn函數(shù)為符號(hào)函數(shù);FN為井壁對(duì)鉆柱的支持力,N;ρd為泥漿密度,kg/m3;λb為浮力校正因子[21];g為重力加速度,m/s2。

因此,式(4)變?yōu)?/p>

(9)

(10)

根據(jù)相同周期內(nèi)庫(kù)侖摩擦與其對(duì)應(yīng)的等效黏性阻尼消耗的能量相等,在式(9)中引入庫(kù)侖摩擦的等效黏性阻尼系數(shù)ce[22-23]得

(11)

根據(jù)圖3中鉆柱幾何模型得到鉆柱的邊界條件為

(12)

2.2.3 鉆柱運(yùn)動(dòng)方程求解

(13)

應(yīng)用分離變量法[24],假設(shè)式(13)解的形式為

w(x,t)=U(x)T(t)

(14)

式(14)中:U(x)為振型函數(shù),表征振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)形態(tài);T(t)為振動(dòng)系統(tǒng)的主坐標(biāo),表征振動(dòng)系統(tǒng)隨時(shí)間變化的振幅。

則式(13)變?yōu)?/p>

(15)

整理式(15)得

(16)

由于式(16)等號(hào)兩邊是不同變量的函數(shù),因此等號(hào)兩邊都是常數(shù)[24],等號(hào)左邊對(duì)x求導(dǎo)得

(17)

即

(18)

式(18)中:λ=ω2,λ為特征值常數(shù)。

整理式(18)得

(19)

式(19)的通解為

(20)

式(20)中:M、N為積分常數(shù),取決于邊界條件。

將邊界條件式(12)代入式(20)得

U′(0)=N=0

(21)

(22)

根據(jù)式(22)得特征方程ωl/a=nπ,它對(duì)任意整數(shù)n都成立,存在無(wú)限個(gè)滿足該條件的值,則有

(23)

式(23)中:ωn為鉆柱固有頻率,rad/s。

將軸向振動(dòng)工具產(chǎn)生的位移激勵(lì)項(xiàng)表達(dá)成傅里葉級(jí)數(shù)的形式,即

(24)

由方程(14)得鉆柱運(yùn)動(dòng)方程(11)解的形式為

(25)

(26)

將式(24)、式(26)代入式(11)得

(27)

(28)

(29)

設(shè)方程(27)的特解為

(30)

將式(30)代入式(27)得

(31)

(32)

軸向振動(dòng)工具作用下的鉆柱運(yùn)動(dòng)方程為

3 模型驗(yàn)證及算例分析

為進(jìn)一步驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性和研究軸向振動(dòng)工具作用下鉆柱軸向受迫振動(dòng)的影響因素。本文與文獻(xiàn)[25-31]軸向振動(dòng)工具功能性測(cè)試實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比,并結(jié)合現(xiàn)場(chǎng)井下數(shù)據(jù)及本文所建鉆柱振動(dòng)模型,運(yùn)用MATLAB編程分別計(jì)算模擬分析了軸向振動(dòng)工具的頻率和鉆柱與井壁間的摩擦系數(shù)對(duì)鉆柱軸向受迫振動(dòng)的影響。

3.1 模型驗(yàn)證

Burnett等[25]對(duì)軸向振動(dòng)工具進(jìn)行了室內(nèi)功能性測(cè)試實(shí)驗(yàn)。本實(shí)驗(yàn)忽視了阻尼影響,實(shí)驗(yàn)裝置包括軸向振動(dòng)工具、壓力傳感器和線性可變差動(dòng)變壓器。軸向振動(dòng)工具的心軸部分與線性可變差動(dòng)變壓器連接,以測(cè)量軸向振動(dòng)工具的振幅。軸向振動(dòng)工具上端與壓力傳感器相連,以測(cè)試工具內(nèi)部壓差。在測(cè)試過(guò)程中,壓差隨流量線性變化,而流量與工具的激勵(lì)頻率呈線性關(guān)系,實(shí)驗(yàn)參數(shù)如表1所示。

表1 軸向振動(dòng)工具的功能測(cè)試實(shí)驗(yàn)參數(shù)Table 1 Functional test parameters of axial vibration tool

本文基于所建模型預(yù)測(cè)了軸向振動(dòng)工具的振幅,并與Burnett等[25]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較,如圖5所示。隨著流量從16 L/s增至32 L/s,模型預(yù)測(cè)值與實(shí)驗(yàn)測(cè)量值間的差值從1.03 mm增至3.45 mm,總體誤差從9.2%增至17%。

圖5 軸向振動(dòng)工具的振幅對(duì)比Fig.5 Comparison of amplitudes of axial vibration tools

3.2 振蕩頻率對(duì)鉆柱軸向受迫振動(dòng)的影響

分析振蕩頻率對(duì)鉆柱軸向受迫振動(dòng)的影響時(shí),選用川渝區(qū)塊一井深為3 470 m的水平井段,將軸向振動(dòng)工具安裝在鉆柱上距底部3 100 m處,振蕩頻率分別取10、15、20 Hz,其余軸向振動(dòng)工具和鉆井參數(shù)如表2所示,運(yùn)用MATLAB編程計(jì)算得到鉆柱上距底部220 m處的軸向振動(dòng)位移變化曲線,如圖6所示。

表2 基本參數(shù)Table 2 Basic parameters

圖6 鉆柱軸向振動(dòng)位移Fig.6 Axial vibration displacement of drill string

從圖6可以看出,隨著振蕩頻率在10～20 Hz范圍內(nèi)增加,鉆柱的最大振動(dòng)位移從0.007 1 m增至0.015 m,且鉆柱振動(dòng)位移波動(dòng)范圍從0.005 m增至0.0071 m,各振蕩頻率對(duì)應(yīng)的鉆柱振動(dòng)位移波動(dòng)范圍如表3所示。

表3 鉆柱軸向振動(dòng)位移波動(dòng)范圍Table 3 Fluctuation range of axial vibration displacement of drill string

由表3知,隨著軸向振動(dòng)工具輸入鉆柱振動(dòng)波頻率的提高,鉆柱的振動(dòng)能量增加,導(dǎo)致在相同時(shí)間內(nèi)鉆柱的振動(dòng)幅值增大,所以增大了鉆柱的振動(dòng)位移。因此,條件允許時(shí)應(yīng)盡量提高振蕩頻率以配合鉆進(jìn)。

3.3 摩擦系數(shù)對(duì)鉆柱軸向受迫振動(dòng)的影響

相比套管,鉆柱在裸眼井中的摩擦系數(shù)更大,且泥漿中巖屑粒徑也會(huì)影響鉆柱與井壁間的摩擦系數(shù)[28]。因此,本文分析摩擦系數(shù)對(duì)鉆柱軸向受迫振動(dòng)的影響時(shí),選用川渝區(qū)塊一井深為3 470 m的水平井段,以鉆柱長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)鉆柱上各點(diǎn)位置(鉆柱長(zhǎng)度3 470 m處為鉆柱底部),將軸向振動(dòng)工具安裝在鉆柱上距底部3 100 m處,摩擦系數(shù)分別取0.15、0.2、0.25,其余軸向振動(dòng)工具和鉆井參數(shù)如表2所示,運(yùn)用MATLAB編程計(jì)算得到鉆柱的軸向振動(dòng)位移變化曲線如圖7所示,各鉆柱長(zhǎng)度及摩擦系數(shù)間對(duì)應(yīng)的鉆柱軸向振動(dòng)位移差值如表4所示。

圖7 鉆柱軸向振動(dòng)位移變化曲線Fig.7 Axial vibration displacement curve of drill string

從圖7可以看出,鉆柱振動(dòng)位移隨著鉆柱長(zhǎng)度的增加而減小,且隨著摩擦系數(shù)在0.15～0.25范圍內(nèi)增加,鉆柱最大軸向振動(dòng)位移從0.079 8 m減小到0.070 4 m。根據(jù)表4數(shù)據(jù),在鉆柱長(zhǎng)度依次為500、1 500、2 500 m處,各摩擦系數(shù)間對(duì)應(yīng)的鉆柱軸向振動(dòng)位移差值逐漸減小,且其平均差值從0.006 1 m降至0.002 3 m。由此可見,增加摩擦系數(shù)會(huì)降低鉆柱的最大振動(dòng)位移,且隨著振動(dòng)波沿鉆柱傳遞行程的增加,摩擦系數(shù)對(duì)鉆柱的軸向受迫振動(dòng)影響逐漸降低。

這是由于摩擦系數(shù)增加導(dǎo)致鉆柱軸向振動(dòng)摩阻增加,軸向振動(dòng)工具輸入鉆柱中的振動(dòng)能量沿鉆柱軸向傳遞時(shí)逐漸損失。而振動(dòng)波沿鉆柱傳遞初程,振動(dòng)能量損失較小,鉆柱振動(dòng)強(qiáng)度較大,摩阻對(duì)鉆柱振動(dòng)的影響較顯著,但隨著振動(dòng)波沿鉆柱傳遞行程增加,能量損失逐漸增大,鉆柱振動(dòng)強(qiáng)度逐漸減小,摩阻對(duì)鉆柱振動(dòng)的影響也逐漸降低。所以增加摩擦系數(shù)會(huì)降低鉆柱的最大振動(dòng)位移,且隨著振動(dòng)波沿鉆柱傳遞行程的增加,摩擦系數(shù)對(duì)鉆柱振動(dòng)位移的影響逐漸降低。

4 結(jié)論

基于連續(xù)性波動(dòng)理論,考慮了鉆柱連續(xù)特性及鉆井液黏性阻尼特性,對(duì)軸向振動(dòng)工具作用下的水平井鉆柱進(jìn)行力學(xué)分析,建立了鉆柱運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)解析模型,運(yùn)用特征值疊加法求得解析解。通過(guò)已發(fā)表的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了本文所建模型,并采用數(shù)值模擬軟件研究了水平井鉆柱軸向受迫振動(dòng)的規(guī)律,得出以下結(jié)論。

(1)在一定頻率范圍內(nèi)增加軸向振動(dòng)工具的振蕩頻率可提高水平井鉆柱的軸向振動(dòng)響應(yīng)。因此,在條件允許時(shí),應(yīng)盡可能的提高振蕩頻率配合鉆進(jìn)。

(2)鉆柱與井壁間摩擦系數(shù)在0.15～0.25范圍內(nèi)增加會(huì)導(dǎo)致鉆柱軸向最大振動(dòng)位移降低;隨著鉆柱長(zhǎng)度的增加,摩擦系數(shù)對(duì)鉆柱軸向受迫振動(dòng)的影響降低。因此,在條件合適時(shí),應(yīng)盡可能的采取措施降低鉆柱與井壁間的摩擦系數(shù)。