機(jī)理和數(shù)據(jù)混合式建模方法在“數(shù)學(xué)建模”課程教學(xué)中的應(yīng)用

摘要：探討了機(jī)理與數(shù)據(jù)混合式建模方法在“數(shù)學(xué)建模”課程教學(xué)中的應(yīng)用。基于整合機(jī)理建模的可解釋性和數(shù)據(jù)建模的靈活性，提出了一種新的“數(shù)學(xué)建模”課程教學(xué)模式，旨在提升學(xué)生邏輯思維能力、數(shù)據(jù)分析能力和解決實(shí)際問題的能力。基于數(shù)學(xué)建模的基本原理和步驟，詳細(xì)闡述了機(jī)理與數(shù)據(jù)混合式建模方法的基本定義、原理和步驟，并通過實(shí)例分析展示了該方法在預(yù)測(cè)商超蔬菜補(bǔ)貨量和定價(jià)策略中的應(yīng)用。利用機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能技術(shù)，使學(xué)生能夠更好地理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)模型。結(jié)果表明，機(jī)理與數(shù)據(jù)混合式建模方法不僅能增強(qiáng)模型的準(zhǔn)確性和可靠性，還能提高學(xué)生在“數(shù)學(xué)建模”課程中的學(xué)習(xí)效果和創(chuàng)新能力，是“數(shù)學(xué)建模”課程教學(xué)的新模式。

關(guān)鍵詞：機(jī)理和數(shù)據(jù)混合; 數(shù)學(xué)建模; 教學(xué)模式; 實(shí)證研究

中圖分類號(hào)：G642.0文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

doi：10.3969/j.issn.1673-5862.2024.05.007

Application of hybrid modeling method based on mechanism and data in teaching of "\"Mathematical Modeling\"

SUN Xin，LI Haoming，WANG Xue

（College of Mathematics and Systems Science， Shenyang Normal University， Shenyang 110034， China）

Abstract：

The application of mechanism and data hybrid modeling method in \"Mathematical Modeling\" teaching is discussed in the paper. By integrating the interpretability of mechanism modeling and the flexibility of data modeling， a new teaching mode of \"Mathematical Modeling\" is proposed， aiming to improve students′ logical thinking ability， data analysis ability and the ability to solve practical problems. Based on the basic principles and steps of mathematical modeling， basic definition， principle and steps of the mechanism and data hybrid modeling method are elaborated，and through the example analysis applications of the method to forecasting business supermarket vegetable replenishment and pricing strategy are shown. Machine learning and artificial intelligence technologies enable students to better understand and apply mathematical models. The results show that the mechanism and data hybrid modeling method can not only enhance the accuracy and reliability of the model， but also improve the learning effect and innovation ability of students in\"Mathematical Modeling\"， which is a new mode of \"Mathematical Modeling\" teaching.

Key words：blend of mechanism and data; \"Mathematical Modeling\"; teaching model; empirical research

數(shù)學(xué)建模是通過應(yīng)用數(shù)學(xué)理論和方法，將復(fù)雜的實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型，并對(duì)模型進(jìn)行分析、求解和驗(yàn)證，以解決實(shí)際問題、預(yù)測(cè)趨勢(shì)或優(yōu)化決策的過程。數(shù)學(xué)建模可以在自然科學(xué)、工程技術(shù)、社會(huì)經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域中發(fā)揮重要作用，在解決實(shí)際問題和創(chuàng)新教學(xué)方法等方面具有重要意義。近年來，“數(shù)學(xué)建模”課程在培養(yǎng)大學(xué)生的創(chuàng)新能力方面起到了其他課程不可替代的作用［1］。各級(jí)各類數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽吸引了高校眾多師生的關(guān)注和積極參與，例如，2022年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽參賽高校有1606所，參賽隊(duì)伍有54257支。

數(shù)學(xué)建模所涉及的問題通常覆蓋多個(gè)學(xué)科領(lǐng)域，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模不僅需要具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，也需要具備計(jì)算機(jī)科學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等多學(xué)科的知識(shí)，同時(shí)還需要數(shù)據(jù)分析與處理能力、解決問題的能力和創(chuàng)新思維能力。隨著數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透［2］，特別是大數(shù)據(jù)和人工智能技術(shù)的深入發(fā)展，數(shù)學(xué)建模進(jìn)入了一個(gè)全新的時(shí)代，建模和求解的方法也越來越科學(xué)有效，諸如機(jī)器學(xué)習(xí)、深度學(xué)習(xí)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、智能優(yōu)化等。如何將機(jī)理建模和數(shù)據(jù)建模有機(jī)融合是數(shù)學(xué)建模過程中值得研究和探索的問題，也是“數(shù)學(xué)建模”課程改革創(chuàng)新的一項(xiàng)重要舉措。

近年來，機(jī)理和數(shù)據(jù)混合的建模方法逐漸應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域，受到了越來越多研究者的關(guān)注。周春昊等［3］提出了一種機(jī)理和數(shù)據(jù)混合驅(qū)動(dòng)的RH脫碳模型構(gòu)建方法，該模型相較于傳統(tǒng)機(jī)理模型具有更高的預(yù)測(cè)精度。寧之成等［4］提出了一種將機(jī)理與數(shù)據(jù)融合進(jìn)行航天器控制系統(tǒng)建模的方法，對(duì)機(jī)理模型與物理實(shí)體偏差進(jìn)行數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)建模，獲得了高精度的系統(tǒng)級(jí)及部件級(jí)模型。張珍珍和張科星［5］針對(duì)傳統(tǒng)的傳染病動(dòng)力學(xué)模型提出了一個(gè)基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的傳染病傳播動(dòng)力學(xué)建模方法，該方法屬于非線性動(dòng)力學(xué)模型的稀疏辨識(shí)方法，用以模擬2019年末新型冠狀病毒的動(dòng)力學(xué)傳播過程。Zhou等［6］將數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)和機(jī)理混合建模方法應(yīng)用于多尺度材料與過程設(shè)計(jì)，為解決復(fù)雜設(shè)計(jì)問題提供了一個(gè)有前景的選擇。徐端和劉士新［7］采用機(jī)理模型與數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)混合方法建立煉鋼-連鑄流程能耗及物耗模型，并基于實(shí)際生產(chǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了實(shí)證研究。由此可見，機(jī)理模型與數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)混合建模方法在工業(yè)設(shè)計(jì)［8-10］、系統(tǒng)控制［11］、故障診斷［12-14］等方面得到廣泛應(yīng)用，已經(jīng)成為數(shù)學(xué)建模的一種新模式，對(duì)解決實(shí)際問題越來越有效。

為此，本文提出了基于機(jī)理和數(shù)據(jù)的混合式建模方法，并應(yīng)用于“數(shù)學(xué)建模”課程教學(xué)中，開創(chuàng)了一種“數(shù)學(xué)建模”課程教學(xué)的新模式。

1機(jī)理與數(shù)據(jù)混合式建模方法

1.1基本定義

機(jī)理建模是指使用實(shí)際系統(tǒng)的基本原理、規(guī)律和機(jī)制來構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的方法。它基于對(duì)系統(tǒng)內(nèi)在機(jī)理和過程的理解，通過構(gòu)建數(shù)學(xué)方程或模型來描述和預(yù)測(cè)系統(tǒng)的行為。機(jī)理建模是數(shù)學(xué)建模的根基，建立的模型不僅具有強(qiáng)大的解釋和預(yù)測(cè)能力［15］，能夠更好地理解系統(tǒng)的內(nèi)在機(jī)制，而且機(jī)理模型建立在經(jīng)過驗(yàn)證和廣泛應(yīng)用的理論基礎(chǔ)上，具有較高的可靠性和科學(xué)性。但是，機(jī)理建模不僅需要具備較高的專業(yè)知識(shí)和技能，建模過程相對(duì)復(fù)雜和困難，而且需要大量的數(shù)據(jù)和參數(shù)來支撐模型的構(gòu)建和驗(yàn)證，對(duì)數(shù)據(jù)采集和處理有較高的要求。模型通常涉及多個(gè)變量和參數(shù)，其結(jié)構(gòu)也較為復(fù)雜，對(duì)計(jì)算能力和算法優(yōu)化要求較高。由于依賴參數(shù)值的準(zhǔn)確性和可信度，模型參數(shù)誤差和不確定性對(duì)模型的精度和魯棒性也會(huì)產(chǎn)生影響。

數(shù)據(jù)建模是使用實(shí)際觀測(cè)到的數(shù)據(jù)來構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的方法。它依賴于對(duì)數(shù)據(jù)的分析和統(tǒng)計(jì)，利用數(shù)據(jù)的特征和模式來理解系統(tǒng)的行為和預(yù)測(cè)未來情況。數(shù)據(jù)建模基于真實(shí)數(shù)據(jù)，可以更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)未來的趨勢(shì)和行為，并提供實(shí)時(shí)的、可實(shí)施的解決方案，實(shí)用性和預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性高。數(shù)據(jù)建模可以根據(jù)需要采用不同的數(shù)據(jù)源和不同的分析方法，以應(yīng)對(duì)各種規(guī)模和復(fù)雜度的建模需求，能夠提供直觀且易于理解的結(jié)果和觀察點(diǎn)，為問題的解釋和理解提供直接的支持。但是，數(shù)據(jù)建模是基于數(shù)據(jù)本身進(jìn)行建模，不能提供問題的根本原因和機(jī)制解釋，只能描述數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性。

從近年來全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的賽題類型看，優(yōu)化類、預(yù)測(cè)類和評(píng)價(jià)類賽題成為數(shù)學(xué)建模的主流。許多參賽隊(duì)伍針對(duì)不同類型的賽題，大多采取機(jī)理建模或數(shù)據(jù)建模的方法來解決模型的建立和求解問題。比如，機(jī)理建模中常用微分方程模型、目標(biāo)優(yōu)化模型、統(tǒng)計(jì)模型、綜合評(píng)價(jià)模型等，數(shù)據(jù)建模中常用模擬退火、支持向量機(jī)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等智能算法模型。機(jī)理和數(shù)據(jù)混合教學(xué)方法是將機(jī)理原理和實(shí)際數(shù)據(jù)結(jié)合起來進(jìn)行教學(xué)的方法，讓學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中理解和應(yīng)用基本原理。

1.2基本原理

機(jī)理和數(shù)據(jù)混合式建模結(jié)合了機(jī)理建模的可解釋性，以及數(shù)據(jù)建模的靈活性和自適應(yīng)性，可以更全面、更精確地描述和預(yù)測(cè)系統(tǒng)的行為。它的基本原理是通過融合機(jī)理建模和數(shù)據(jù)建模的優(yōu)點(diǎn)，充分利用機(jī)理模型中的內(nèi)在機(jī)制信息及數(shù)據(jù)模型中的實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)，來增強(qiáng)模型的可靠性、可解釋性和預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性。具體來說，機(jī)理和數(shù)據(jù)混合式建模遵循以下基本原理：

1）整合機(jī)理模型和數(shù)據(jù)模型。相互整合機(jī)理模型和數(shù)據(jù)模型，融合它們的優(yōu)勢(shì)，以構(gòu)建更全面、更可靠的模型。機(jī)理模型提供了系統(tǒng)內(nèi)在機(jī)制的描述，而數(shù)據(jù)模型提供了實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)的信息。

2）參數(shù)校準(zhǔn)和優(yōu)化。利用已知的實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)，對(duì)機(jī)理模型的參數(shù)進(jìn)行校準(zhǔn)和優(yōu)化，使模型能夠更好地?cái)M合實(shí)際情況，從而提高模型的可信度和預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性。

3）模型驗(yàn)證和評(píng)估。對(duì)使用機(jī)理和數(shù)據(jù)混合式建模得到的模型進(jìn)行驗(yàn)證和評(píng)估，以確保其能夠準(zhǔn)確地描述和預(yù)測(cè)系統(tǒng)的行為。

4）不斷迭代和改進(jìn)。根據(jù)模型的驗(yàn)證結(jié)果和實(shí)際應(yīng)用中的反饋，對(duì)模型進(jìn)行迭代和改進(jìn)，以提高模型的可靠性和預(yù)測(cè)能力。

1.3基本步驟

機(jī)理和數(shù)據(jù)混合式建模的基本步驟包括問題定義、數(shù)據(jù)收集和預(yù)處理、機(jī)理模型建立和優(yōu)化、模型融合、驗(yàn)證和評(píng)估、迭代和改進(jìn)，最終應(yīng)用和方案實(shí)施。具體步驟如下：

步驟1：確定問題和目標(biāo)。明確需要建模和分析的問題，并確定所需目標(biāo)模型和預(yù)測(cè)要求。這一步通常需要對(duì)系統(tǒng)的背景和特性進(jìn)行分析和理解。

步驟2：收集數(shù)據(jù)和參數(shù)。根據(jù)問題的需求，收集相關(guān)的實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)和機(jī)理模型涉及的參數(shù)值。要確保數(shù)據(jù)的質(zhì)量和可靠性，并確認(rèn)機(jī)理模型中需要的參數(shù)值。

步驟3：建立機(jī)理模型。根據(jù)系統(tǒng)的特性和機(jī)理的理論知識(shí)，建立相應(yīng)的機(jī)理模型。機(jī)理模型可以是基于物理原理、化學(xué)反應(yīng)、統(tǒng)計(jì)規(guī)律等的數(shù)學(xué)方程或模型。

步驟4：數(shù)據(jù)預(yù)處理。對(duì)收集到的觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，包括去除噪聲、處理缺失值、平滑數(shù)據(jù)等。這一步旨在提高數(shù)據(jù)的質(zhì)量和準(zhǔn)確性，以便與機(jī)理模型進(jìn)行融合。

步驟5：參數(shù)校準(zhǔn)和優(yōu)化。通過將機(jī)理模型與實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行匹配，調(diào)整機(jī)理模型中的參數(shù)值，使模型能夠更好地?cái)M合實(shí)際情況。可以使用優(yōu)化算法，如最小二乘法、遺傳算法等。

步驟6：模型融合。將優(yōu)化后的機(jī)理模型與預(yù)處理后的觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行融合。可以通過將機(jī)理模型和數(shù)據(jù)模型相加、相乘或使用加權(quán)平均等方式來融合2個(gè)模型。

步驟7：模型驗(yàn)證和評(píng)估。對(duì)融合后的模型進(jìn)行驗(yàn)證和評(píng)估，與實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷念A(yù)測(cè)準(zhǔn)確性和可靠性。可以使用驗(yàn)證集對(duì)模型進(jìn)行測(cè)試、計(jì)算誤差等。

步驟8：模型迭代和改進(jìn)。根據(jù)模型的驗(yàn)證結(jié)果和實(shí)際應(yīng)用中的反饋，對(duì)模型進(jìn)行迭代和改進(jìn)。可以調(diào)整機(jī)理模型的結(jié)構(gòu)，優(yōu)化參數(shù)校準(zhǔn)的方法，對(duì)數(shù)據(jù)預(yù)處理的步驟進(jìn)行改進(jìn)等。

步驟9：模型應(yīng)用和方案實(shí)施。根據(jù)融合后的模型進(jìn)行預(yù)測(cè)和分析，為實(shí)際問題提供決策支持和方案設(shè)計(jì)。根據(jù)需求，可以使用模型進(jìn)行優(yōu)化、策略制定、故障診斷等。

比如創(chuàng)新教學(xué)的效果評(píng)估問題。首先，通過對(duì)教育原理和認(rèn)知心理學(xué)等基礎(chǔ)知識(shí)的研究，建立一個(gè)基于學(xué)習(xí)理論的機(jī)理模型，描述學(xué)生在不同教學(xué)策略下的學(xué)習(xí)過程和成果；然后，收集實(shí)際學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)，如學(xué)習(xí)成績(jī)、問卷調(diào)查等，通過統(tǒng)計(jì)分析和數(shù)據(jù)挖掘的方法來構(gòu)建一個(gè)數(shù)據(jù)模型，預(yù)測(cè)學(xué)生在不同教學(xué)策略下的學(xué)習(xí)成績(jī)和滿意度；最后，將這2種模型結(jié)合起來，通過適當(dāng)?shù)臋?quán)衡和調(diào)整，得到一個(gè)更準(zhǔn)確和實(shí)用的混合式建模方法，以幫助評(píng)估創(chuàng)新教學(xué)的效果，指導(dǎo)實(shí)際教學(xué)實(shí)踐。

2實(shí)例分析

本文以2023年“高教社杯”全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽C題為例來說明機(jī)理與數(shù)據(jù)混合式建模方法的運(yùn)用效果。該賽題要求利用某商超6個(gè)蔬菜品類（花葉類、水生根莖類、花菜類、辣椒類、食用菌、茄類）從2020年7月1日至2023年6月30日各商品的銷售流水明細(xì)與批發(fā)價(jià)格，以及各商品近期的損耗率數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)各蔬菜品類未來一周（2023年7月1—7日）的日補(bǔ)貨總量和成本加成定價(jià)策略，使得商超收益最大。

首先，通過問題的機(jī)理分析明確問題解決的目標(biāo)，建立數(shù)學(xué)模型。通過確定不同品類日補(bǔ)貨總量和成本加成定價(jià)比，使得未來一周商超的利潤(rùn)最大。設(shè)決策變量Xij（i=1，2，…，7;j=1，2，…，6）表示第i日第j個(gè)品類日補(bǔ)貨總量，建立解決該問題的機(jī)理模型，即單目標(biāo)線性優(yōu)化模型：

max∑7i = 1∑6j = 1［YijAj（1 + δj）（1-ηj）-XijAj］

s.t.Dmin≤Xij≤Dmax（1）

其中：Yij（i=1，2，…，7;j=1，2，…，6）表示第i天第j個(gè)品類日銷售總量；Aj表示第j個(gè)品類進(jìn)貨價(jià)（元/kg）；Bj表示第j個(gè)品類銷售價(jià)（元/kg）;δj表示第j個(gè)品類當(dāng)月成本加成定價(jià)比;ηj表示第j個(gè)品類平均損耗率;Dmax，Dmin分別表示每天銷售總量的最大值和最小值。

顯然，模型（1）很好地解釋了問題的機(jī)理，更便于理解和把握問題。但是，模型（1）中諸如每個(gè)品類的日銷售總量、平均進(jìn)貨價(jià)、平均銷售價(jià)，以及當(dāng)月的成本加成定價(jià)比、平均損耗率等指標(biāo)，均需要通過數(shù)據(jù)來驅(qū)動(dòng)模型的完善和求解。

其次，數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)模型融合。通過對(duì)過去3年流水?dāng)?shù)量的預(yù)處理，利用關(guān)聯(lián)性分析、機(jī)器學(xué)習(xí)、時(shí)間序列預(yù)測(cè)等算法，只描述數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性，得到上述指標(biāo)的分析和預(yù)測(cè)結(jié)果。雖然數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的算法不能給出問題的根本原因和機(jī)理解釋，但卻能夠清晰地反映問題中的數(shù)量關(guān)系。

比如，如圖1所示，通過計(jì)算皮爾遜相關(guān)系數(shù)進(jìn)行不同品類間的關(guān)聯(lián)性分析。

再如，通過時(shí)間序列預(yù)測(cè)算法ARIMA模型給出蔬菜不同品類未來一周日銷售總量預(yù)測(cè)結(jié)果（表1）。

當(dāng)然，還可以通過數(shù)據(jù)分析和數(shù)據(jù)挖掘，得到平均進(jìn)貨價(jià)、平均銷售價(jià)、加成定價(jià)比和平均損耗率等指標(biāo)的結(jié)果（表2）。

最后，通過Pulp庫(kù)工具或其他算法實(shí)現(xiàn)對(duì)模型（1）的求解。

3結(jié)語(yǔ)

利用機(jī)理和數(shù)據(jù)混合式建模的方法，在對(duì)實(shí)際問題分析與建模時(shí)，既可通過機(jī)理模型清晰解釋問題的內(nèi)在邏輯關(guān)系，也可通過數(shù)據(jù)模型挖掘出分析與預(yù)測(cè)結(jié)果。同時(shí)，通過機(jī)理模型和數(shù)據(jù)模型的融合，還可以提高模型的準(zhǔn)確性和可靠性，為相關(guān)領(lǐng)域提供有效的解決方案。將機(jī)理和數(shù)據(jù)混合教學(xué)方法應(yīng)用于“數(shù)學(xué)建模”課程教學(xué)中，通過理論的講解和實(shí)際案例的引入，將基本原理與具體應(yīng)用相結(jié)合，可以使學(xué)生能夠更好地理解和應(yīng)用知識(shí)，加深對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解，提高解決實(shí)際問題的能力。

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【責(zé)任編輯：溫學(xué)兵】

收稿日期：2024-08-28

基金項(xiàng)目：2022年度遼寧省教育廳普通高等教育本科教學(xué)改革研究項(xiàng)目;遼寧省教育廳高校基本科研項(xiàng)目（JYTMS20231698）;遼寧省屬本科高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)研究生專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目（SYNUSJ2024014）。

作者簡(jiǎn)介：

孫欣（1972—），女，遼寧沈陽(yáng)人，沈陽(yáng)師范大學(xué)教授，博士。