基于雙元變換的一類反常積分問題的計算

朱錦涵，彭麗，周玨良，何郁波

基于雙元變換的一類反常積分問題的計算

朱錦涵1，彭麗2，周玨良1，何郁波1

（1. 懷化學院 數學與計算科學學院，湖南 懷化 418000；2. 岳陽縣第一中學集英學校，湖南 岳陽 414199）

高次有理分式；雙元變換；組合計算法

反常積分是指被積函數在積分區間上無界、積分區間無限兩種特殊定積分的統稱，也稱為廣義積分，歐拉積分就是一類極其重要的反常積分．反常積分在工程控制及概率論等領域有廣泛的應用[1-8]．

關于反常積分的計算，與正常積分的計算不同之處在于對反常積分的收斂性判別．在計算一個反常積分之前應當先觀察它是否收斂，如果該反常積分是發散的，就不必進行下一步的計算了．反常積分是定積分與函數極限的結合，因此定積分計算的公式與技巧都能用于反常積分的收斂性判別與計算．關于反常積分的斂散性判別已有相應的研究成果[9-10]，但在已證明其收斂的情況下計算積分值相對來說較為困難，因此目前有研究考慮反常積分的數值計算[11-12]．

本文針對反常積分

提出雙元變換的計算方法，獲得此類積分的計算公式，并利用所得公式計算二類反常積分．

1 主要結果及證明

針對式（2）的計算，可以引入雙元變換

從而由定理1的結論可得

2 應用實例

[1] 管光華，朱哲立，王康．含多分水口的渠道廣義積分時滯（ID）控制建模及驗證[J]．水利學報，2022，53（5）：598-607．

[2] 付光明，彭玉丹，安晨，等．Winkler地基上各向異性薄板彎曲的精確解-廣義積分變換解[J]．計算力學學報，2020，37（1）：92-97．

[3] 史彥．廣義積分在諧波電流檢測中的應用[J]．赤峰學院學報（自然科學版），2018，34（8）：23-25．

[4] 郭德龍，周永權．基于進化策略的廣義積分計算方法研究[J]．計算機工程與設計，2008（19）：5026-5028．

[5] 羅凌霄．根據量子力學推出的一個反常積分公式[J]．西南民族大學學報（自然科學版），2004（4）：488-489．

[6] 丁李．幾種重要概率分布在高等數學解題中的應用[J]．陰山學刊（自然科學版），2018，32（4）：78-80．

[7] 尚云，邢建民．無窮區間反常積分中值定理的推廣[J]．大學數學，2020，36（1）：95-99．

[8] 焦圣華，韓成茂．一類非負函數無窮積分收斂性的刻畫[J]．大學數學，2020，36（2）：95-99．

[9] 李永紅，李玲．一道廣義積分問題求解方法的研究[J]．高師理科學刊，2013，33（5）：83-85，105．

[10] 王慶東．一種判定含參量無窮限反常積分非一致收斂的方法[J]．高師理科學刊，2016，36（1）：15-19．

[11] 瞿波．廣義積分的應用：分數布朗運動的數值逼近法[J]．高師理科學刊，2018，38（4）：45-50．

[12] 邵留洋，王穎敏．關于廣義積分的數值計算的一點注記[J]．高師理科學刊，2015，35（1）：70．

Calculation of a class of abnormal integral problems based on bivariate transformation

ZHU Jinhan1，PENG Li2，ZHOU Jueliang1，HE Yubo1

（1. School of Mathematics and Computer Science，Huaihua University，Huaihua 418000，China；2. Jiying School of Yueyang County No.1 Middle School，Yueyang 414199，China）

high-order rational fractions；bivariate transformation；combination calculation method

O172.2

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2024.01.005

1007-9831（2024）01-0018-05

2023-05-28

湖南省自然科學基金面上項目（2022JJ30463）；湖南省教育廳重點項目（22A0540）；湖南省教改項目（HNJG-2020-0857）；湖南省大學生創新訓練項目（S202110548050）；懷化學院教學改革項目（懷院發[2021]69號）

朱錦涵（2002-），男，湖南長沙人，在讀本科生．E-mail：yubmath@163.com

何郁波（1979-），男，湖南岳陽人，教授，博士，從事微分方程和數學分析研究．E-mail：heyinprc@hhtc.edu.cn