等腰三角形與角平分線、平行線教學賞析

引言：

同學們平時在美術課、勞技課經常會開展有趣的折紙活動，今天，我們一起來探究數學中的折紙問題.

1 探索并證明

問題1請同學們利用長方形紙片跟著老師的步驟一起折紙，你能發現折出的三角形是一個等腰三角形嗎？你能說明它為什么是一個等腰三角形嗎？

師生活動：學生動手操作，折出三角形，然后小組內交流.

設計意圖：讓學生通過折紙得到一個等腰三角形，為探索主要內容作準備.

問題2對于剛才的實驗探究，你能通過嚴格的邏輯推理證明這個結論嗎？

（1）你能根據結論畫出圖形，寫出已知和求證嗎？

（2）結合所畫圖形，你認為證明△ABD是等腰三角形的思路是什么？

師生活動：學生根據結論畫出圖形，寫出已知和求證，并在教師設置的問題串的啟發下獲得證明思路，即要證明兩條邊相等，只需要證明兩個角相等即可.教師在黑板板書過程.

引例1如圖1，AD∥BC，BD平分∠ABC.

求證：AB=AD.

證明：∵AD∥BC，

∴∠CBD=∠ADB.

又BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC.

∴∠ABD=∠ADB.

∴AB=AD.

設計意圖：讓學生逐步實現由實驗幾何到論證幾何的過渡.

追問：如果將引例1的結論與題目中的任意一個條件互換，命題還成立嗎？你能證明嗎？

變式1已知AD∥BC，AB=AD，求證：BD平分∠ABC.

變式2已知BD平分∠ABC，AB=AD，求證：AD∥BC.

師生活動：學生獨立完成變式的證明，教師請學生口述證明過程.

設計意圖：讓學生意識到三者的關系是，已知其中兩個可以推導第三個.

問題3上面的引例中是已知AD∥BC，那如果過點A作AE∥BD，會產生等腰三角形嗎？

（1）你能畫出圖形，寫出已知和求證嗎？

（2）你能證明這個結論嗎？

師生活動：按照引例1的思路，學生自主畫出圖形，寫出已知和求證，并獨立完成證明.然后由學生口述證明過程，教師在黑板板書.

引例2如圖2所示，已知AE∥BD，BD平分∠ABC，求證：AB=BE.

證明：∵AE∥BD，

∴∠CBD=∠AEB，

∠ABD=∠EAB.

又BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC.

∴∠AEB=∠EAB.

∴AB=BE.

設計意圖：進一步探索三者之間的關系，引例1是平行于角的一邊得到等腰三角形，引例2是平行于角平分線得到等腰三角形.

追問：類比引例1和引例2中的結論，與題目中的一個條件互換，結論是否還成立？你能證明嗎？請同學們課后思考，并證明.

變式1已知AE∥BD，AB=BE，求證：BD平分∠ABC.

變式2已知BD平分∠ABC，AB=BE，求證：AE∥BD.

設計意圖：由于證明方法和引例1一樣，因此這里主要是提醒學生學會用類比的思想解決問題.

問題4通過引例1和引例2的學習，你發現了什么結論，你有何收獲？

師生活動：（1）學生回答——在具體數學問題中，等腰三角形、角平分線、平行線存在一定的聯系，往往是題目中出現其中兩個條件，就可以推導第三個，也就是“知二推一”

（2）教師引導——在引例1和引例2的探索中，等腰三角形、角平分線、平行線是通過找相等的角來建立它們之間的聯系的，所以在解題中找相等的角是關鍵.

2 鞏固練習

（1）口答題：找出下列各圖中的等腰三角形.

①如圖3，已知AD平分∠BAC，EF∥AC;

②如圖4，已知AD平分∠BAC，CE∥AB.

③如圖5，已知AD平分∠BAC，AD∥CE.

（2）填空題：

①如圖6，已知AD平分∠BAC，G為AB的中點，過G作EF∥AD交CA延長線于E，交BC于F，若AB=6，則AE=.

②如圖7，已知△ABC中，∠B，∠C的平分線交于點O，過點O作EF∥BC分別交AB，AC于點E，F，則EF與BE，CF的之間的數量關系是.

③如圖8，若△ABC中∠B的平分線與三角形外角∠ACD的平分線CO交于點O，過點O作OE∥BC交AB于點E，交AC于點F，則EF與BE，CF間的數量關系是.

思考：如果過△ABC的兩個外角平分線的交點作平行線，自己畫出圖形，你能得到什么結論？

師生活動：學生回答，相互補充，并說明理由.

設計意圖：口答題是鞏固引例1和引例2的解題方法，比較簡單；填空題是利用結論求線段長，探索線段間的數量關系.

3 典型例題

例1如圖9，已知AD是△ABC的角平分線，延長CB至點E，使得DE=AE，連接AE，過點E作EF⊥AD交AC于點F，連接DF，若∠ABE=80°，求∠FDC的度數.

師生活動：學生分析題中條件和解題思路：本題的關鍵是通過已知條件找到隱藏的等腰三角形AFD，再聯系已知條件中的AD是角平分線，得到FD∥AB，進而求出答案.教師引導，學生解答，一名學生板書，師生共同交流.

例2如圖10，已知CD=CE，∠ACE=∠B，M為AC的中點，過點M作MN∥AB交AD于點N，求證：EN=ND.

師生活動：學生分析題中條件和解題思路，明確本題的關鍵是通過已知條件找到隱藏的角平分線，即AD平分∠BAC，再聯系已知條件中的MN∥AB，得到△AMN是等腰三角形，進而解決問題.

例3如圖11，已知AD是△ABC的角平分線，E為BC上一點，且滿足BD=DE，過點E作EF∥AC交AD于點F.

求證：AB=EF.

課后思考：例3中由已知條件找不到需要的等腰三角形、角平分線或者是平行線，該如何處理？（學生想到作輔助線構造.）

設計意圖：前面的鞏固練習題的條件中能找到已知的等腰三角形、角平分線或平行線，學生很自然把它們聯系起來；而例1、例2的題目已知條件中沒有明顯的等腰三角形、角平分線或平行線，此時要引導學生通過已知條件挖掘隱藏條件.例3是在隱藏條件也沒有的情況下，引導學生構造等腰三角形、平行線或者角平分線來解決問題.

4 小結

教師與學生一起回顧本節課所學的主要內容，并請學生回答以下問題：

（1）本節課學習了哪些主要內容？

（2）等腰三角形、角平分線、平行線三者間的關系是如何建立的？

（3）具體解題中，如果已知條件中沒有明顯的等腰三角形、角平分線或平行線，該怎么辦？隱藏條件也找不到該怎么辦？

設計意圖：通過小結，引導學生梳理本節課所學的內容和研究方法，把握本節課的核心是等腰三角形與角平分線、平行線相關的問題，體會找相等的角對建立三者之間關系的作用.