立足本質教“度量”

摘 要：圖形與幾何領域中的度量分為一維、二維、三維，每個維度的度量對象都可以看作相應度量單位的累加——這是度量本質上的一致性。因此，《角的度量》一課教學，教師帶領學生在遷移中感知度量本質，在操作中體驗度量本質，在關聯中感悟度量本質。

關鍵詞：小學數學；度量；度量單位；《角的度量》

《角的度量》一課不是度量的起始課，學生在學習角的度量之前有著豐富的測量經驗。如何有效遷移學生原有的測量經驗？教師可以引導學生感悟度量的本質，探尋度量的一致性：測量前，使學生感受到統一度量標準的必要性，即確定度量單位；確定度量標準后，通過任務引導學生用統一的度量單位制作度量工具，讓學生在制作度量工具的過程中逐漸感受到度量就是數一數度量對象中含有多少個度量單位。具體的教學過程及思考如下：

一、教學過程

（一）類比遷移

師 在之前的學習中，我們都測量過什么？

生 長度、面積……

師 回憶一下，我們是怎樣測量線段長度的？

生 用直尺測量線段的長度。

師 （課件展示測量線段的動畫）

仔細觀察，用直尺測量線段的長度就是看什么？

生 看被測量的線段中有幾個1厘米。

師 是的，我們在測量線段的長度時，就是看被測量的線段中有幾個1厘米這樣的長度單位。那我們在學習面積時，又是怎樣測量圖形面積大小的呢？

生 數一數被測量的圖形里有幾個1平方厘米的小正方形。

師 是的，我們在測量面積時，就是看被測量的圖形里有幾個1平方厘米這樣的面積單位。帶著這樣的學習經驗，猜測一下，怎樣測量角的度數？

生 看角里有幾個“小角”。

生 我覺得角的大小是看一個角里含有多少個單位角。

師 （出示幾個角）

老師這里有幾個角，如果把它們看作單位角，觀察一下，它們有什么不一樣？

生 大小不同。

師 是的，利用單位角可以幫助我們測量角的大小。那我們該如何選擇單位角呢？請同學們用桌面上的小角來量大角，看看大角里面有幾個小角。

（學生測量。教師指名學生上臺邊擺邊匯報。）

生 這個角有3個∠A這么大。

生 這個角有2個∠B這么大。

師 結果為什么不一樣？

生 標準不一樣。

師 怎么解決？

生 需要統一標準。

（二）動手操作

師 人們將圓平均分成360份，將其中的1份所對的角作為度量角的單位，它的大小就是1度，記作1°。仔細觀察1°的角，你有什么感覺？

生 太小了，角的兩條邊只張開一點點。

師 閉上眼睛想象一下1°的角有多大。1°的角讓你想到了生活中的什么？

生 針尖。

生 牙簽尖。

師 一小格是1°，（指兩小格的角）

這是幾度？

生 2°。

師 你是怎么知道的？

生 有兩小格，2個1°是2°。

師 （指五小格的角）

這個角是幾度？

生 有五小格，5個1°是5°。

師 回憶一下測量長度的工具長什么樣？

生 測量長度的工具像線段，長長的。

師 現在老師給大家提供了一些1°的單位角，你們能利用單位角制作一個量角工具嗎？在紙上畫一畫。

（學生獨立操作，全班展示交流。部分學生作品如圖1—圖3所示。）

師 同學們利用單位角制作成了許多不同的量角工具。仔細觀察這些量角工具，它們有什么相同的地方？它們都是如何測量角的大小的？

生 都是用許多個1°的單位角疊加起來得到的。

生 測量時都是數測量的角里有幾個1°的單位角。

師 是的，雖然三個作品看起來不一樣，其實都是用許多個1°的單位角累加起來得到的。在測量時，只要數一數單位角的個數，有幾個就是幾度。同學們和數學家們想到一塊了，我們的量角工具——量角器就是由許多個1°的單位角組成的。（課件出示量角器）

你能在量角器上找到這些單位角嗎？同桌間找一找。

（教師介紹量角器及使用方法。）

（三）梳理對比

師 回顧我們剛剛的學習過程——確定度量單位、創造度量工具、用量角器量角的大小，通過這些環節，你有哪些體驗和收獲？

生 不管是度量長度、面積還是角度，都需要先選擇統一的度量單位。

生 角的測量和我們以前學習的長度測量、面積測量有些相似，都是數有幾個這樣的單位。

生 度量工具的制造上也存在相同的地方，度量工具都是由很多個度量單位疊加在一起得到的。

師 （出示圖4）

是的，以前學習的度量長度、面積和今天學習的度量角度，在本質上是一樣的，都需要先確定度量的單位，再數圖形中包含多少個度量單位。我們以后也將用這樣的方法去探究其他的度量知識。

二、教學思考

數學是研究數量關系和空間形式的科學。數與代數領域中，數是數出來的，數的是計數單位；圖形與幾何領域中，度量幾何對象，其實也是數出來的，只不過數的是度量單位。圖形與幾何領域中的度量分為一維、二維、三維，每個維度的度量對象都可以看作相應度量單位的累加——這是度量本質上的一致性。因此，教學《角的度量》一課時，教師立足度量本質，帶領學生學習度量。

（一）在遷移中感知度量本質

學生在學習角的度量之前，已經學過長度的度量、面積的度量。教師需要引導學生在已有的學習經驗的基礎上，將其遷移運用到角的度量上。這樣的類比遷移，有助于學生初步感知度量的本質。

因此，《角的度量》一課課始，教師引導學生回憶長度和面積的度量方法，喚醒學生對度量單位、度量工具和度量方法的經驗。進而，在度量兩個角的大小中發現統一度量標準的必要性。“知道度量的意義，能夠理解統一度量單位的必要性”^［1］是發展量感的具體內容之一。學生以前學過的長度、面積的度量經驗，與角的度量本質上是一致的，都是相同度量單位的累加。抓住度量的本質，喚醒學生對長度、面積的度量記憶，進而遷移到角的度量的學習上。這樣，將知識建立起聯系，使得學生學習時能達成事半功倍的效果。

（二）在操作中體驗度量本質

利用已有經驗喚醒學生對度量本質的感知后，還需要借助具體的任務使學生實實在在地認識到長度、面積的度量與角度的度量存在一致性（本質），而這樣的一致性不是教師告知的，是學生在具身操作中積累活動經驗，進而主動感悟到的。同時，考慮到角的大小內容比較抽象，學生直接制作量角工具存在一定的困難，因此在讓學生操作之前，通過問題引導學生回憶長度的度量工具，讓學生感受到在度量長度、面積時需要找一個與度量對象長得很“像”的工具。這樣，學生就自然地推測出度量角也要找一個與角很“像”的工具，主動地構建度量工具的一致性。教師出示兩個角讓學生觀察，也是幫助學生感受度量工具就是度量單位的累加。

“角的度量”屬于圖形與幾何領域中難度較大的一部分內容，由于不少教師對規定性知識的“偏見”，教學中常常使用“規定”一詞來掩蓋知識產生的生動過程和背后的鮮活內容，導致學生量感的缺失。部分學生對量角和畫角知識掌握得不扎實，根源就在于不理解量角器的構造原理。

學生在本課制作角的度量工具的過程中，逐步體會到角的度量是一個個1°的單位角的累加，要度量角的度數只要數一數角里含有幾個單位角。學生清晰地建立了“度”的表象，感受到度量以及累加的思想，發展了量感。

“數”既是數出來的結果，更是量出來的結果。學生對量的體驗，除了要建立“一個單位”的標準，更要延伸至“幾個單位”的累加。學生感受到度量角的大小就是量一量或數一數有多少個度量單位，量感的培養就得到了有效落實。學生在頭腦中就會深深地刻上標準計量單位，使量感的形成有了直觀立體的參照。

（三）在關聯中強化度量本質

數學知識具有很強的系統性、銜接性、連貫性、邏輯性，教師在教學時應該在知識之間建立聯系，幫助學生構建知識體系。

“角的度量”屬于圖形與幾何領域中的度量，與之前學習的長度、面積的度量以及后續要學習的體積的度量具有一致性。《角的度量》一課中，教師通過問題引導學生回顧、構建知識之間的聯系。學生通過本堂課的學習，感悟到了長度、面積和角度的度量都需要先統一度量標準，而且在度量工具的制作上也存在相同的地方——都是由若干個度量單位累加起來，在度量時都是數度量單位的個數。整個過程，教師不僅關注了數學知識的遷移類推，而且關注了知識點之間的橫向關聯，促進了學生對度量本質（一致性）的感知。經過對比溝通，學生體會到度量都要經歷相同的流程，即“明確度量對象—建立度量標準—發明度量工具—正確使用度量工具—獲得一個具體數值”。這樣，學生以后在生活中遇到其他需要度量的事物時，自然就會調動所獲得的認知經驗來解決問題。整個過程不僅是學生“創造”度量工具便捷做事的智慧體現，更把度量技能教學的層次上升到了度量意識（量感）培養的高度。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022：7.