基于馬爾科夫鏈在高中數學中的應用

孟憲亮

(樂清市芙蓉中學,浙江 溫州 325600)

如果一個物體以一種隨機的方式運動,并且它的運動是無記憶的,那么這個物體就具有馬爾科夫性質.舉一個例子:一個足球被很多運動員踢來踢去,接下來的足球可以左右移動也可以上下移動,可以在任何狀態下進行,它的運動只取決于當前的狀態.馬爾科夫鏈通常用來建模排隊原理和統計學中的建模,還可作為信號模擬用于算法編碼,在實際生活中應用比較廣泛.通過學習馬爾科夫鏈這一數學模型,增加學生將實際生活問題轉化為數學模型的能力.

1 馬爾科夫鏈的性質

馬爾科夫鏈具有狀態空間、無記憶性、轉移概率(轉移矩陣)等三個要素.馬爾科夫鏈是從一個狀態到另一個狀態轉化的隨機過程,每個狀態稱為狀態空間.無記憶性是下一狀態的概率分布,只能由當前狀態決定,在時間序列中它前面的事件均與之無關.這種特定類型的“無記憶性”稱作馬爾科夫性.在馬爾科夫鏈的每一步,根據概率分布,可以從一個狀態變到另外一個狀態,也可以保持當前狀態.狀態的改變叫做轉移,與不同狀態改變相關的概率叫做轉移概率.

對于隨機變量序列Xn,已知第n小時的狀態Xn,如果Xn+1的隨機變化規律與前面的各項X1,X2,…,Xn-1的取值都沒有關系,那么稱隨機變量序列Xn具有馬爾科夫性.稱具有馬爾科夫性的隨機變量序列 {Xn} 為馬爾科夫鏈.

2 馬爾科夫鏈一維模型

經典的一維隨機游走模型,即設數軸上一個點,它的位置只能位于整點處,在時刻t=0時,位于點X=i(i∈N+)一個時刻,它將以概率α或者β(α∈(0,1),α+β=1)向左或者向右平移一個單位. 若記狀態Xt=i表示:在時刻t該點位于位置X=i(i∈N+),那么由全概率公式可得:

P(Xt+1=i)=P(Xt=i-1)·P(Xt+1=i|Xt=i-1)+P(Xt=i+1)·P(Xt+1=i|Xt=i+1).

另一方面,由于P(Xt+1=i|Xt=i-1)=β,P(Xt+1=i|Xt=i+1)=α,

代入上式可得Pi=α·Pi+1+β·Pi-1.

進一步,我們假設在x=0與x=m(m>0,m∈N+)處各有一個吸收壁,當點到達吸收壁時被吸收,不再游走.于是P0=0,Pm=1.隨機游走模型是一個典型的馬爾科夫過程.

進一步,若點在某個位置后有三種情況:向左平移一個單位,其概率為a,原地不動,其概率為b,向右平移一個單位,其概率為c,那么根據全概率公式可得Pi=aPi-1+bPi+cPi+1.

3 馬爾科夫鏈概率模型

例1某工廠的一臺自動加工機有兩種工作狀態:正常狀態和故障狀態.在每個整數鐘點的起始時刻檢查機器的工作情況,若機器處于正常狀態,則讓它繼續工作;若機器處于故障狀態,則對它進行檢修.假設處于正常狀態的機器,在1小時后發生故障的概率為0.05;處于故障狀態的機器,在1小時后排除故障的概率為0.6.用Xn表示機器在開始工作后n小時的工作狀態.判斷{Xn}是一個馬爾科夫鏈嗎?如果是,請求出n+1小時后機器處于正常狀態的概率.

解析任意時刻機器只能處于正常狀態和故障狀態,記這兩種狀態分別為1和0,則X0=1或X0=0.Xn+1的概率分布規律僅與Xn的取值有關,與前面狀態均無關系.所以是一個馬爾科夫鏈.

設機器在第n小時處于正常狀態,則第n+1個小時為正常狀態的概率為:

P(xn+1=1)=P(xn=1)·P(xn+1=1|xn=1)+P(xn=0)·P(xn+1=1|xn=0)

=0.95P(xn=1)+0.6(1-P(xn=1))

=0.35P(xn=1)+0.6.

還可以得出第n+1個小時為故障狀態的概率為1-P(xn+1=1).

本題目運用了條件概率、全概率公式等概率知識點,推出了機器在第n+1個小時正常狀態的概率與第n個小時正常狀態概率之間的關系式.如果把第n個小時正常狀態概率看成自變量,第n+1個小時正常狀態的概率看成因變量,則它們之間成一次函數關系式.由關系式可知1小時后排除故障對維持工廠正常生產的重要性[1].

例2甲、乙兩人進行拋擲骰子游戲,兩人輪流拋擲一枚質地均勻的骰子．規定:先擲出點數6的獲勝,游戲結束．

(1)記兩人拋擲骰子的總次數為X,若每人最多拋擲兩次骰子,求比賽結束時,X的分布列和數學期望;

(2)已知甲先擲,求甲恰好拋擲n次骰子并獲得勝利的概率．

表1 隨機變量X的分布列

例3現有甲、乙兩個盒子,盒子中都有大小、形狀、質地相同的2個紅球和1個黑球.從兩個盒子中各任取一個球交換,重復進行n(n∈N+)次操作后,記甲盒子中黑球個數為Xn,甲盒中恰有1個黑球的概率為an,恰有2個黑球的概率為bn.

(1)求X1的分布列;

(2)求數列{an}的通項公式;

(3)求Xn的期望.

解析(1)由題可知,X1的可能取值為0,1,2.由相互獨立事件概率乘法公式可知:

故X1的分布列見表2:

表2 隨機變量X1的分布列

(2)由全概率公式可知:

(3)由全概率公式可得:

所以E(Xn)=an+2bn=1.

本例題考查了馬爾科夫鏈與概率遞推等方法,該知識點相對抽象,需要學生具備較強的數學和邏輯思維能力,建模的過程比較復雜.由第2問的結論可以得出隨著n的增大,an趨向于定值3/5,由此可知在馬爾科夫鏈下的問題趨向于穩定,蘊含著深刻的數學思想,知識的理解重在具體問題情境中進行運用[2].

4 結束語

通過以上實例,對高中階段學生在具備邏輯思維的前提下將生活中的實際問題轉化為數學問題,實現在實踐過程中不斷探索培育學生數學建模能力的新途徑,激發學生的自主探究熱情與積極性,切實提高學生的綜合能力與素養,為學生的全面發展提供更加優質的數學教學服務.