一道聯考題的解法探討和拓展研究

黃尚鵬

(湖北省監利市實驗高級中學,湖北 監利 433300)

圖1 例題圖

(1)小球對斜面的壓力大小;

(2)水平面對斜面的支持力大小;

(3)斜面體的加速度大小;

1 對原題的分析與解答

首先判斷系統在水平恒力F的作用下小球沒有脫離斜面.

如圖2所示,設斜面的加速度為a′,水平向右為正方向,小球相對斜面的加速度為a相,沿斜面向上為正方向.

圖2 斜面與小球加速度方向

方法一根據小球和斜面在垂直于斜面方向的加速度分量相等求解

方法二用加速度矢量圖求解

如圖3所示,畫加速度矢量圖,根據絕對加速度=相對加速度+牽連加速度,得小球的加速度a0=a相+a′,再對小球的加速度沿水平方向和豎直方向正交分解,得a0=ax+ay

圖3 加速度矢量圖 圖4 小球受力分析圖

根據加速度矢量圖,由幾何關系,得

①

對斜面受力分析,由牛頓第二定律,得

②

對小球受力分析如圖4所示,沿水平方向和豎直方向正交分解,由牛頓第二定律,得

沿水平方向:

③

沿豎直方向:

④

聯立①②③④,解得

方法三用非慣性系和慣性力求解

如圖5所示,小球的加速度是a相和a′的合成,沿水平方向和豎直方向正交分解,得

圖5 小球加速度正交分解 圖6 小球受力分析圖

以向左為正方向,小球的水平方向加速度為

ax=a相cos30°-a′

①

以向上為正方向,小球的豎直方向加速度為

ay=a相sin30°

②

系統在水平方向合外力為零,由牛頓第二定律,得

③

在斜面參照系(非慣性系)中研究小球的運動,在非慣性系中應用牛頓第二定律研究物體的運動時,物體除受真實力作用外還受慣性力作用,對小球受力分析如圖6所示,慣性力f的方向與斜面的加速度a′的方向相反,慣性力f的大小為

f=m′a′

④

對小球沿斜面方向,由牛頓第二定律,得

⑤

垂直于斜面方向,由平衡條件,得

⑥

聯立①②③④⑤⑥解得

小球的加速度大小為

顯然,以上三種解法得出的答案完全相同!

點評本題是2021年12月湖北省荊州市六縣市高三聯考的一道選擇題,原選擇題中命題者加了一個附加條件:撤去力F的瞬間,假設斜面對小球的支持力不變.通過本文的分析與解答可知這個附加條件是錯誤的,故原題具有科學性錯誤,導致沒有正確選項,但本題去掉這個附加條件后雖然可以求解,但難度很大.在本文給出的三種解法中,嚴格來說,只有方法一是高考范圍內的解法,方法二和方法三是競賽解法,因此本題對原題改編后是一道非常不錯的競賽題.方法一巧妙抓住“小球和斜面在垂直于斜面方向的加速度分量相等”這一特征求解,屬于特殊快捷解法,要求考生要有敏銳的洞察力,一般考生難以想到;方法二巧妙利用加速度矢量圖建立小球的加速度分量和斜面的加速度之間的關系,增加了方程個數,從而使問題順利解決,屬于競賽中的常規解法;方法三巧妙選斜面為參照系,靈活運用相對運動加速度合成規律,并在非慣性系中引入慣性力求解,屬于高觀點解法.雖然用非慣性的觀點能使某些復雜的動力學問題簡化,從而可以比較圓滿地解決一些問題,但要特別注意,在非慣性系中引入的慣性力與真實力不同,慣性力不是物體與物體間的相互作用,它沒有施力物體,因而也沒有反作用力,慣性力是為了解決問題的方便而人為地引入的假想的力.

2 對原題的拓展研究

拓展在撤去力F后,試求t時刻彈簧的伸長量x(t)和斜面體向右的加速度a′(t).

再令X=x-x0,X即為偏離平衡位置的位移(注意:a相與X方向相反)

小球相對斜面的振動方程為

故t時刻彈簧的伸長量

⑦

斜面體向右的加速度

⑧

由⑦可知,彈簧的原長位置是小球振動的最大負位移處,故彈簧一直處于伸長狀態[1].

點評拓展部分我們巧妙選斜面(非慣性系)為參照系,論證得出小球相對斜面做簡諧運動,從而使問題順利解決.簡諧運動是一種很重要的物理模型,在中學物理競賽中有極其廣泛的應用.建立簡諧運動模型,我們不但可以計算振動的周期或頻率,而且還可以求解物體的運動規律.

3 結束語

綜上,運用“建立簡諧運動模型求解物體的運動規律” 這一重要方法解決問題的關鍵是論證物體做簡諧運動,解決問題的基礎是確定物體振動的平衡位置、振幅和角頻率并能根據初始條件正確書寫振動方程[2].運用這種方法不僅豐富了處理物理問題的手段,拓展了我們的思維,還為高中階段的后續學習奠定了思維基礎.因此,對于參加物理競賽的學生,應當深刻領會這一方法并能熟練應用.