向量值重心有理插值

摘要：基于重心有理插值構造的向量值重心有理插值函數，不用計算向量的Samelson逆，計算量比向量值連分式插值明顯減少，構造方法更為簡單靈活。向量值重心有理插值在增加或減少插值節點時，不需要重新計算插值基函數，相比向量值連分式插值具有很好地繼承性，而且與插值節點的順序無關，因而具有很強的靈活性。同時，向量值重心有理插值減少了乘除運算次數，降低了計算復雜度。除此之外，向量值重心有理插值還具有數值穩定性高，選擇適當的插值權沒有極點存在和避免不可達點產生的優點。基于一元向量值重心有理插值，通過兩個方向上向量值重心有理插值的有理嵌套，給出了二元向量值重心有理插值，構造方法簡單。最后給出了數值實例，表明新方法的有效性。

關鍵詞：向量；插值；重心有理插值；誤差

中圖分類號：O241.5" " " "文獻標識碼：" A" " " 文章編號：2095-7734（2024）06-0042-07

1引言

" 設Xn={xi，i=0，1，…n;xi∈R，}，（1）

" " " " " " " " " " " " " " "Vn={ ，i=0，1，…n; ∈Rd}，" （2）

其中，Rd是d維實向量空間，所謂的向量值有理插值指的是向量值有理函數：

" " " " " " " " " " " " " " "（x）=，（3）

其中（x）是一個d維的多項式向量，D（x）是一個標量多項式，且滿足

" " " " " " " " " " " " " " "（xi）=" ，i=0，1，2，…n.（4）

向量插值既是數量函數插值的延伸，也是研究矩陣值有理插值的基礎[1]。向量值有理插值在神經網絡、控制論、數據處理、圖形圖像處理、工程計算等領域有著非常廣泛的應用，引起國內外科技工作者的廣泛關注，在保導函數、保無窮極限的研究上取得了一系列豐碩成果[2][3][4]。對于二元向量值有理插值，利用二元 Newton插值公式可以得到基于矩形網格上的二元向量值有理插值存在性的充要條件[5].利用Samelson 逆及Thiele-Werner型有理插值的理論，運用分段有理插值的思想可以構造向量值有理函數，文獻[6]給出了具體算法以及特征定理和單向唯一性定理。將 Stieltjes 型向量分叉連分式與二元多項式結合起來，通過定義向量的差商和混合反差商，建立遞推算法，可以構造 Stiehjes- Newton 型向量有理插值[7]。利用實多項式相等的充要條件，建立線性方程組，構造出類似Lagrange 基的插值基函數，使用簡單的線性代數知識求解，可以構造二元向量值有理插值函數[8]。

" 向量值有理插值的存在性和構造方法是研究的重點。現有的構造向量值有理插值方法，通常基于連分式插值，即，以Thiele型連分式為基礎，通過引入向量的Samelson逆將標量連分式插值相關理論拓展到向量值，可以構造向量連分式插值[9]。然而，向量連分式插值存在計算量大、計算復雜度高，特別是可能會有不可達點存在等缺點。數量值重心有理插值具有計算復雜度低、數值穩定性高以及插值基函數具有繼承等優點，基于數量值重心有理插值，可以構造一種新的向量值有理插值——向量值重心有理插值，不但豐富了向量值有理插值格式，而且克服了向量連分式插值的不足，具有廣泛的應用前景。

2向量值連分式插值

" 作為Thiele型連分式插值的推廣，基于向量的Samelson逆可以構造向量值連分式插值。設 =（a1，a2，…，ad）是一個d維復向量，定義向量的Samelson逆為： -1=，其中，" =（a，a，…，a）是向量 的共軛復向量， 是向量 的模，且 =（aia）。基于Samelson逆可以構造如下形式的向量值連分式插值：

（xi）=" [x0]+++…+

這里：" [xi]=" "i=0，1，2…

" " " " " " " " " " " " " " [xm，xn]=

" " " " " " " " " " " " " " [xi，…，xj，xp，xq]=

稱為向量集Vn在x0，x1，…xn處的向量值逆差商[9]。當上述向量值逆差商為0時，無法用向量值連分式插值構造插值函數，同時，其計算復雜度與計算向量的Samelson逆密切相關，對于n維向量而言，每增加計算一次Samelson逆，就需要增加2n次計算[9]。

3向量值重心有理插值

1984年Schneider和Werner給出了重心有理插值[10]，公式為：

" " " " " " " " " " " " " " " r（x）=" （5）

其中wi（0≤i≤n）稱為節點xi（0≤i≤n）的插值權，選取不同的插值權可以得到不同的重心有理插值函數。重心有理插值具有計算量小、穩定性高和插值基函數具有繼承性等優點。同時，通過適當的選擇插值權wi，可以沒有極點產生和避免不可達點的存在。

3.1一元向量值重心有理插值

3.1.1一元向量值重心有理插值的定義

" 與構造一元數量值重心有理插值公式類似，令l（x）=（x-xk），可以得到l′（xi）=（xi-xk），令[11]：

" " " " " " " " " " " " " "wi==，

" " " " " " " " " " " " " "則，li（x）==l（x）

于是，可以構造向量值插值函數（x）=l（x） 。考慮到1=li（x）=l（x），代入前式得到：

" " " " " " " " " " " " " " "（x）==." （6）

由此，給出一元向量值重心有理插值的定義如下：

定義1" 設由n+1個不同點組成的點集Xn={xi，i=0，1，…n;xi∈R，}，以及與它們相對應的向量集Vn=

{ ，i=0，1，…n; ∈Rd}，Wn={wi，i=0，1，…n;wi∈R}為n+1個實數，稱向量值有理插值

" " " " " " " " " " " " " " （x）=." "（7）

為一元向量值重心有理插值，其中wi（0≤i≤n）向量集Vn在x0，x1，…，xn處的插值權。

" 為了避免出現極點產生和不可達點的存在，使用Berrut給出的最簡單的權[12]：

" " " " " " " " " " " " " " "wi=（-1）i，" " i=0，1，…n

3.1.2 插值性

性質1" 設wi（0≤i≤n）為向量集Vn在x0，x1，…，xn處的插值權且wi≠0，則有

" " " " " " " " " " " " " " （xi）=" ，" " "i=0，1，…n

證明" 由（6）式可得

" " " " " " " " " " " " " "（x）==.（8）

若所有的插值權wi（i=0，1，…，n）不為零，對任意插值節點xs（s=0，1，…n），顯然有

" " " " " " " " " " " " " （xs）=== （9）

插值性得證。

" 與一元數量值重心有理插值一樣，一元向量值重心有理插值具有計算量小、數值穩定性高、插值格式具有繼承性、選擇合適的插值權可以沒有極點，可以避免不可達點存在等優點。

3.2.矩形網格上二元向量值重心有理插值

基于一元向量值重心有理插值，采用在兩個方向上的有理嵌套，可以構造二元向量值重心有理插值，新方法構造的向量值重心有理插值繼承了數量值重心有理插值的優點。

3.2.1二元向量值重心有理插值的定義

R2中的矩形網格點集

" " " " " " " " " " " " " " （x0，y0）" （x0，y1）" …" （x0，yt）

" " " " " " " " " " " " " " "（x1，y0）" （x1，y1）" …" （x1，yt）

" " " " " " " " " " " " " " "（xs，y0）" （xs，y1）" …" （xs，yt）

記為∏={（xi，yj）|i=0，1，…，s，j=0，1，…，t}，設（x，y）在∏上有定義，且記（xi，yj）=" ，構成向量網格如Vs，t下

" " " " " " " " " " " " " " "00" " 01" …" "0t

" " " " " " " " " " " " " " "10" " 11" …" "1t

" " " " " " " " " " " " " " " s0" " s1" …" " st

" 定義2" 矩形網格∏上的二元向量值重心有理插值是指如下形式的重心插值：

" " " " " " " " " " " " " " （x，y）==（10）

其中

1." （y）= ，（i=0，1，…，s）" " "（11）

2.wi（i=0，1，…，s）是xi（i=0，1，…，s）對應的權，uj（j=0，1，…，t）是yj（j=0，1，…，t）對應的權，且滿足

signwi=-signwi+1" " i=0，1，…，s-1（12）

signuj=-signuj+1" " j=0，1，…，t-1（13）

根據定義2，通過在兩個方向上分別使用一元向量值重心有理插值，然后進行“嵌套”，可以構造矩形網格上的二元向量值重心有理插值. 即，先對橫坐標相同的點以y為變量，利用一元向量值重心有理插值方法構造" （y）（i=0，1，…，s），然后對s+1個" （y）以x為變量，再次利用一元向量值重心有理插值方法，得到二元向量值重心有理插值（x，y）。

3.2.2.插值性

性質2" 如果插值權wi（i=0，1，…，s）和uj（j=0，1，…，t）均不為零，則（10）式中（x，y）在矩形網格點集∏上滿足插值條件，即

（x，y）=" " " "（xi，yj）∈∏

證明" 因為插值權wi（i=0，1，…，s）和uj（j=0，1，…，t）不為零， 由" （y）=，（i=0，1，…，s）可得：

（y）=，（i=0，1，…，s）

則" （yj）===" ，（i=0，1，…，s）

" 由（10）式

（x，y）==，

則（xi，yj）===" （yj）=" 。

3.2.3插值區間沒有極點

性質3" 若插值權wi（i=0，1，…，s）和uj（j=0，1，…，t）分別滿足（12）式和（13）式，則由（10）式確立的二元向量值重心有理插值（x，y）在矩形網格點集∏上沒有極點。

證明" 由（10）（11）式可得：（x，y）=

在上式分子、分母同時乘以（x-xi）可得： （x，y）=，

在的分子、分母同時乘以（y-yj），得：（x，y）=

分子、分母同時乘uj（y-yj）以，得：（x，y）=

由文獻[10]知，上式分母中

wi（x-xk）≠0，uj（y-yj）≠0，則wi（x-xk）·uj（y-yj）≠0，所以二元向量值重心有理插值（x，y）在矩形網格點集∏上沒有極點。

4數值例子

" 例1" 給定如下所示的插值數據，求一元向量值重心有理插值，使得（xi）=

由一元向量值重心有理插值公式（7）式，為了避免出現極點，此處插值權取wi=（-1）i，i=0，1，2，3.那么，將上述插值數據代入（7）式，可以得到：

==

=（，，x+1）

容易驗證：（xi）=" ，i=0，1，2，3。

例2.給定的函數 （x）=（sin？仔x，sinx2，cosx2），選定插值節點x1=-1，x2=0，x2=1，采用向量值重心有理插值并取插值權為wi=（-1）i，i=0，1，2.構造的插值函數記為" （x），采用向量值連分式插值構造的插值函數記為

（x）。兩種插值方法在x=-0.20，x=0.02，x=0.15點處的相對誤差對比如下：

繪制它們的相對誤差的圖像如圖1所示：

由表2、圖1可知，采用向量值重心有理插值構造的插值函數相對誤差要明顯小于向量值連分式插值構造的插值函數的誤差，說明了本文所給方法的有效性。

" 例3" 設∏和d=2時V2，2的由下表給出：

即 00=（0，0）， 01=（0，1）， 02=（0，2）， 10=（1，0）， 11=（1，1）， 12=（1，2）， 20=（2，0）， 21=（2，1）， 22=（2，2），取uj=（-1）j（j=0，1，2）由（11）式可得：

（y）= ==，

（y）===，

（y）===.

再取wi=（-1）i（i=0，1，2），由（10）式計算R（x，y），即

（x，y）===

容易驗證：（xi，yj）=" "i，j=0，1，2.

5結語

" 基于重心法構造的一元向量值重心有理插值，克服了基于連分式法構造的向量值連分式插值可能存在的逆差商為0無法構造插值函數的缺點，同時不需要計算向量的Samelson逆，具有計算量小、計算復雜度低、插值基函數具有繼承性，選擇適當的插值權使得向量值重心有理插值沒有極點存在和避免不可達的產生。本文進一步給出了二元向量值重心有理插值構造方法，通過在兩個方向上，將一元向量值重心有理插值進行有理“嵌套”，可以得到矩形網格上二元向量值重心有理插值。新方法構造簡單、易于構造，得到的二元向量值重心有理插值，保持了一元向量值重心有理插值的優點。最后，給出了數值實例并進行了誤差比較，表明了新方法的有效性。下一步，以一元向量值重心有理插值為基礎，通過與其它向量值插值的“嵌套”，可以構造一系列二元向量值重心有理插值新格式，為研究向量插值提供新手段、新方法，深化對向量插值的認識，為解決專業實際問題提供新的路徑。

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[12] J.-P. Berrut， Rational Functions for Guaranteed and Experimentally Well-conditioned Global Interpolation，Comput. Math.Appl. 1988，15（01）：1–16.

Rational Interpolation of Vector-Valued Centroids

ZHANG Yuwu，PENG Jie

（Department of BasicEducation of Lu’an Vocational Technology College， Lu’an 237158，Anhui，China）

Abstract：The vector-valued barycentric rational interpolation function， constructed based on barycentric rational interpolation， does not require the computation of the Samelson inverse of the vector， significantly reducing the computational load compared to vector-valued continued fraction interpolation. The construction method is simpler and more flexible. The vector-valued barycentric rational interpolation does not require recomputation of the interpolation basis functions when adding or removing interpolation nodes， offering better inheritance compared to vector-valued continued fraction interpolation and is independent of the order of interpolation nodes， thus providing high flexibility. Additionally， the vector-valued barycentric rational interpolation reduces the number of multiplication and division operations， thereby lowering computational complexity.Additionally， it offers advantages such as high numerical stability， inheritance properties of the interpolation basis functions， and avoids poles and unattainable points. By using univariate vector-valued barycentric rational interpolation and rational nesting of vector-valued barycentric rational interpolations in two directions， bivariate vector-valued barycentric rational interpolation is presented. Finally， numerical examples are provided to demonstrate the effectiveness of the new method.

Keywords： vector; interpolation; barycentric rational interpolation; error.