論相似三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用

趙芳

［摘 要］相似三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用在中考數(shù)學(xué)中常有涉及，對學(xué)生的能力要求較高。文章結(jié)合幾個(gè)典型例題，從五個(gè)方面探討相似三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用，旨在幫助學(xué)生理解相似三角形的概念，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］相似三角形；實(shí)際生活；初中數(shù)學(xué)

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）29-0013-03

相似三角形是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在現(xiàn)實(shí)生活中具有廣泛的應(yīng)用。利用相似三角形，可以進(jìn)行方案設(shè)計(jì)，可以求矩形的最大面積、樓高、橋長等。學(xué)生掌握相似三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用，可以更好地理解相似三角形的概念，培養(yǎng)應(yīng)用能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng)。本文結(jié)合幾個(gè)典型例題，從五個(gè)方面探討相似三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用，以提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)。

一、利用相似三角形進(jìn)行方案設(shè)計(jì)

利用相似三角形的性質(zhì)與判定測量物高或物寬，其可行的方案有多種，有的選擇“A字型”相似，有的選擇“X型”相似，有的選擇銳角三角形，有的選擇直角三角形，有的選擇簡單的方案，有的選擇復(fù)雜的方案。選擇的圖形與方案決定了解決問題的復(fù)雜程度，也影響了測量的精度，所以應(yīng)盡量采用易操作、誤差較小的實(shí)施方案。

［例1］如圖1所示，A、B兩點(diǎn)被池塘隔開，為測量AB兩點(diǎn)的距離，在AB外選一點(diǎn)C，連接AC和BC，并分別找出AC和BC的中點(diǎn)M、N，則MN是[△ABC]的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半。如果測得[MN=20 m]，那么[AB=2×20 m=40 m]。（1）小紅說：測AB距離也可以如圖2所示用三角形全等知識來解決。請根據(jù)題意填空：延長AC到D，使[CD=]? ? ? ? ? ? ? ?，延長BC到E，使[CE=]? ? ? ? ? ? ? ? ，由全等三角形得[AB=ED]；（2）小華說：測AB距離也可以由三角形相似的知識來設(shè)計(jì)測量方法，求出AB的長。請根據(jù)題意在圖3中畫出相應(yīng)的測量圖形：延長AC到H，使[CH=2AC]，延長BC到Q，使[CQ=2BC]，連接QH，若測得QH的長是400米，你能測出AB的長嗎？若能，請測出；若不能，請說明理由。

解：（1）在[△ABC]與[△DEC]中，有對頂角[∠ACB=∠DCE]，延長AC到D，使[CD=AC]，延長[BC]到[E]，使[CE=BC]，根據(jù)兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，得[△ABC ]≌[△DEC]，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等，得[AB=ED]。

點(diǎn)評：本題采用三種不同的方法測量池塘的寬度，第一種方法是利用三角形的中位線，第二種方法是利用全等三角形，第三種方法是利用相似三角形，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識在解決實(shí)際問題中的價(jià)值。實(shí)際上，采用相似三角形測量池塘寬的方法也不止一種，可以采用“A字型”相似、“斜A字型”相似，也可采用“X型”相似、“斜X型”相似等。

二、利用相似三角形求矩形的最大面積

當(dāng)一個(gè)矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都在三角形的邊上時(shí)，我們稱這樣的矩形為三角形的內(nèi)接矩形。形狀與大小一定的三角形，當(dāng)矩形的寬為多少時(shí)，它的內(nèi)接矩形面積最大呢？這是一個(gè)有趣的話題。當(dāng)矩形內(nèi)接于三角形時(shí)，存在相似三角形，利用相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比及矩形的面積公式，建立關(guān)于矩形的寬的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的最值可以求得矩形的最大面積。

（10-x）]∶10，∴[DE=10-x]，∴矩形DEFG的面積=[DE·DG=（10-x）·x=-（x-5）2+25]，∴當(dāng)[x=5]時(shí)，矩形DEFG的面積最大。

（3）如圖9所示，延長BA、CD交于O，作[DH⊥AO]交[AO]于點(diǎn)H，∵[∠B=∠C=60°]，∴[△OBC]是等邊三角形，∴[OB=OC=

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形與二次函數(shù)的應(yīng)用，利用相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，可求得矩形另一邊的表達(dá)式。求面積最值時(shí)一般應(yīng)用二次函數(shù)的最值性質(zhì)。在上述的探究中發(fā)現(xiàn)，對于不規(guī)則圖形的面積，通常可分割或添補(bǔ)成規(guī)則圖形的面積進(jìn)行求解。

三、利用相似三角形求樓高

利用相似三角形求樓高，就是測試者與大樓之間放一面鏡子，測試者在地面來回走動，當(dāng)在鏡子中看到大樓頂端的像時(shí)，由于反射角等于入射角，得到一組相似三角形，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例，即可求得大樓的高。

［例3］在陽光明媚的周末，小明和小芳一起去登鳳凰山，在山頂，他們想用一些測量工具和所學(xué)知識測量“鳳凰樓”的高度。他們經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)，觀測點(diǎn)與“鳳凰樓”底部間的距離不易測得，因此他們運(yùn)用以下方法來進(jìn)行測量：如圖10所示，小芳在小明和“鳳凰樓”之間的直線BM上放一平面鏡，在鏡面上做一個(gè)標(biāo)記，這個(gè)標(biāo)記在直線BM上對應(yīng)位置為點(diǎn)C，鏡子不動，小明看著鏡面上的標(biāo)記來回走動，走到點(diǎn)D時(shí)，看到“鳳凰樓”頂端點(diǎn)[A]在鏡面中的像與鏡面上的標(biāo)記重合，這時(shí)，測得小明眼睛與地面的高度[ED=1.5]米，[CD=2]米，然后，小明從點(diǎn)D沿DM方向走了24米，到達(dá)“鳳凰樓”影子的末端F處，此時(shí)，測得小明身高FG的影長[FH=3.3]米，[FG=1.65]米。已知[AB⊥BM]，[ED⊥BM]，[GF⊥BM]，其中，測量時(shí)所使用的平面鏡厚度忽略不計(jì)。請你根據(jù)題中提供的相關(guān)信息，求出“鳳凰樓”的高AB的長度。

點(diǎn)評：此題如果觀測點(diǎn)與“鳳凰樓”底部間的距離可以測得，即已知[BC]的長，只用一組相似三角形即可求鳳凰樓的高，但觀測點(diǎn)與鳳凰樓底部間的距離不易測得，所以用兩組相似三角形建立方程組求樓高，體現(xiàn)了相似三角形在解決問題中的價(jià)值。

四、利用相似三角形求橋長

利用相似三角形求橋長，也就是在橋的位置建立相似三角形的模型，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求得對應(yīng)邊的長，即橋長。這里既可以建立“A字型”相似，也可以建立“X型”相似。在下面的例題中，既利用了“A字型”相似三角形，也利用了“X型”相似三角形，不過建立“X型”相似時(shí)，需要作一條輔助線。

［例4］某市為了加快城鄉(xiāng)發(fā)展，保障市民出行方便，在流經(jīng)該市的河流上架起一座橋，連通南北，鋪就城市繁榮之路。小明和小穎想根據(jù)自己所學(xué)的數(shù)學(xué)知識計(jì)算該橋AF的長。如圖11所示，該橋兩側(cè)河岸平行，他們在河的對岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A，再在河岸的這一邊選出點(diǎn)B和點(diǎn)C，分別在AB、AC的延長線上取點(diǎn)D、E，使得DE∥BC。經(jīng)測量，[BC=120]米，[DE=210]米，且點(diǎn)E到河岸BC的距離為60米。已知[AF⊥BC]于點(diǎn)F，請你根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，幫助他們計(jì)算橋[AF]的長度。

點(diǎn)評：本題先利用“A型”相似三角形求得一組對應(yīng)邊的比，再利用“X型”相似三角形求得橋長。其中AC∶CE是一組中間比，起著橋梁作用，溝通了兩組相似三角形對應(yīng)邊成比例。已知點(diǎn)E到河岸的距離，過點(diǎn)E作BC的垂線是一條必然的輔助線。

五、利用相似三角形確定物距范圍

利用相似三角形對應(yīng)邊成比例建立函數(shù)關(guān)系式，在對應(yīng)邊成比例的四個(gè)量中，有兩個(gè)變量，這樣就建立了函數(shù)關(guān)系式。

［例5］如圖13所示，點(diǎn)光源O射出光線沿直線傳播，將膠片上的建筑物圖片AB投影到與膠片平行的屏幕上，形成影像CD。已知[AB=0.3] dm，膠片與屏幕的距離[EF]為定值，設(shè)點(diǎn)光源到膠片的距離OE長為x（單位：dm），CD長為y（單位：dm），當(dāng)[x=6]時(shí)，[y=4.3]。（1）求EF的長；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，在圖14中畫出圖象，并寫出至少一條該函數(shù)性質(zhì)；（3）若要求CD不小于3 dm，求OE的取值范圍。

圖象關(guān)于直線[y=x+0.3]對稱；函數(shù)圖象無限地接近直線[y=0.3]與y軸。

由以上五個(gè)方面的分析發(fā)現(xiàn)，相似三角形的應(yīng)用就是將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為相似三角形問題，然后利用相似三角形的性質(zhì)解決問題，比較常用的性質(zhì)是相似三角形對應(yīng)邊成比例。