求銳角三角函數值的策略

郭躍龍

［摘 要］求銳角三角函數值是中考數學的必考點。文章結合五則典例，從五個方面對求銳角三角函數值的策略進行分析探討，旨在豐富學生的解題經驗，提高學生的核心素養。

［關鍵詞］銳角；三角函數值；策略

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）29-0007-03

銳角三角函數值反映的是直角三角形中邊與邊的比，只有把銳角放在直角三角形中，才能讓銳角三角函數值發揮作用。如何讓不在直角三角形中的銳角放置在直角三角形中呢？常用方法包括垂線法、平移法、面積法、構造法等，通過這些方法可以實現等角轉換，從而求得銳角三角函數值。

一、作垂線構造直角三角形

如果求銳角三角函數值的銳角不在直角三角形中，則常用的方法就是作垂線構造直角三角形，讓這個銳角放置在直角三角形中，從而利用邊與邊的比求得銳角三角函數值。

點評：本題在求兩個銳角的三角函數值時都分別作了垂線，構造了兩個銳角所在的直角三角形，只需根據正切與正弦的定義求出邊長。

二、作平行線平移角到直角三角形中

在網格中如果兩條斜線在小正方形內相交成一個銳角，如何求這個銳角的三角函數值呢？常用的方法是作其中一條斜線的平行線，將這個銳角平移到一個直角三角形中，通過求直角三角形中銳角的三角函數值，得所求銳角的三角函數值。

［例2］如圖5所示，在邊長為1的正方形網格中，連接格點D、N和E、C，DN和EC相交于點P，求[tan∠CPN]的值。

思考：求一個銳角的三角函數值，我們往往需要找出（或構造出）一個直角三角形。觀察發現：[∠CPN]不在直角三角形中，并且頂點不在格點處，則可以利用網格畫平行線的方法解決此類問題，比如連接格點M、N，可得MN∥EC，則[∠DNM=∠CPN]，連接DM，那么[∠CPN]就變換到格點處，并且恰好在[Rt△DMN]中，可以方便求出[tan∠CPN]的值為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

問題解決：（1）如圖6所示，在邊長為1的正方形網格中，AN與CM相交于點P，則[cos∠CPN]的值為? ? ? ? ? ? ? ?；（2）如圖7所示，在邊長為1的正方形網格中，AN與CM相交于點P，則[sin∠CPA]的值為? 。

思維拓展：如圖8所示，若干個形狀、大小完全相同的菱形組成網格，網格頂點稱為格點，已知菱形的較小內角為60°，點A、B、C、D都在格點處，線段AB與CD相交于點P，求[cos∠CPA]的值。

解：如圖9所示，∵[CE]∥[MN]，∴[∠MND=∠CPN]，∴[tan∠MND=tan∠CPN]，

問題解決：（1）如圖10所示，取格點[Q]，連接[QM]和[CQ]。∵[CQ]∥[AN]，∴[∠CPN=∠QCM]，∵[△QCM]是等腰直角三角形，∴[∠CPN=

思維拓展：如圖12所示，取格點E，連接EA、EB，設小菱形的邊長為1，由題意可知：EA∥CD，∴[∠APC=∠BAE]，∵[∠AEO=60°]，[∠BEO=30°]，

點評：本題由易到難，由正方形網格到菱形網格，說明了作平行線平移角在網格中的應用。平移后的角的頂點必須是格點，所作平行線必須是連接格點形成的，網格可以延伸，可以作垂線輔助解答。

三、利用面積法求銳角三角函數值

在網格圖中，通過作高構造直角三角形求銳角三角函數時，高線的長不能直接求得，此時應采用面積法求高線長，即用兩種不同的方法表示同一個三角形的面積，建立方程求高線的長，從而求得銳角三角函數值。

［例3］如圖13和圖14所示，在[6×6]正方形方格紙中，每個小的正方形邊長為單位1，點A、B、C、D都在格點處。（1）如圖13所示，四邊形ABCD的周長是。（2）如圖14所示，AC與BD相交于點O，[tan∠BOC=] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

點評：在網格圖中，端點不是格點的線段不易求得長度，影響求銳角三角函數值。本題提供了兩種求這樣線段的方法，一是相似三角形，二是面積法。

四、利用構造法求銳角三角函數值

所謂構造法就是構造圖形，使用特殊角的三角函數值求非特殊角的三角函數值。

［例4］學校數學興趣小組在嘗試計算tan15°時，采用以下方法：如圖16所示，在[Rt△ACB]中，[∠C=90°]，[∠ABC=30°]，延

解：如圖17所示，在等腰[Rt△ABC]中，[∠C=90°]，延長CB至點D，使得[BD=AB]，則[∠BAD=∠D]。∵[∠ABC=45°=∠BAD+

五、利用三角函數公式求三角函數值

三角函數公式是指將兩角和或差的三角函數轉化為兩個角的三角函數值的和或差，這本是高中階段學習的內容。在初中階段應用時，常以閱讀材料的形式命題，通過定義新運算，要求學生應用三角函數公式求銳角三角函數值。

閱讀材料，請選擇適當的公式解答下列問題。（1）求sin75°；（2）如圖18所示，邊長為2的正[△ABC]沿直線滾動，設當[△ABC]滾動240°時，C點的位置在[C′]，當[△ABC]滾動480°時，A點的位置在[A′]。①求[tan∠CAC′]的值；②試確定[∠CAC′+∠CAA′]的度數。

點評：利用三角函數公式，可以利用特殊角的三角函數值求得非特殊角的三角函數值。本題求非特殊角的三角函數值時，也使用了作垂線的方法，說明作垂線求三角函數值仍是最基本的方法。

求銳角三角函數值的策略還包括對稱法、全等轉換法等，每一種策略都有其使用的條件，要根據不同的情境選擇不同的策略。