基于人口與經濟組合模型的區域能源消費預測

李茂林 李寧寧 宋雯馨

摘?要：為了更好地了解我國東南沿海某地區能源消費的發展趨勢，對某區域2010—2020年的人口變化與經濟水平變化進行分析，建立連續人口合理變化模型，考慮年齡結構、生育模式、人口出生與死亡率對人口數量增長與人口結構的影響，預測區域人口于2029年達到峰值9195.04萬人，基于GM（1，1）對該區域經濟水平進行預測，模型后驗差比值為0.01，平均相對誤差為1.868%，結合2035年與2050年兩個時間節點，建立能源消費與人口和經濟水平的嶺回歸模型，模型MAPE為2%，R2為0.93，模型預測效果較好。

關鍵詞：能源消費；人口預測模型；灰色預測模型GM（1，1）；嶺回歸

中圖分類號：F713.54文獻標識碼：A文章編號：1005-6432（2024）03-0012-04

DOI：10.13939/j.cnki.zgsc.2024.03.003

1?引言

在能源經濟研究中，能源消費與經濟水平之間存在顯著影響關系[1]，單一預測模型包含信息量有限，容易導致預測結果與實際情況存在偏差，預測精度差[2]。文章關于中國東南沿海某區域建立了經濟、人口與能源消費量的預測模型。該區域地勢平坦，水陸交通便利，人口較為密集且經濟發達、科教資源豐富。以2020年為基期，結合中國式現代化的兩個時間節點（2035和2050），預測該區域“十四五”至“二十一五”期間人口、經濟（GDP）和能源消費量的變化。為制定合理能源政策、采取合理規劃措施提供依據，對合理安排資源配置、推動能源領域的創新發展提供指導。

2?人口預測模型

建立人口變化模型，假設該區域無重大自然災害發生；短時間內，醫療衛生水平不發生巨大變化、所研究范圍內沒有太大的人口變動，將出生人口數、死亡人口數、老齡化作為衡量人口狀態變化的全部因素[3]。本研究選取2010年至2020年人口數據。

首先對人口的增長與人口結構的發展進行合理的預測，考慮年齡結構、生育模式、人口出生與死亡率對人口數量增長和人口結構的影響。為了簡化研究，筆者剔除了移民等其他社會性因素，僅僅專注于自然出生和死亡這兩個方面的影響。筆者假定這個地區的人口結構呈正態分布。年齡r與時刻t的關系稱為人口分布函數，記作F（r，t），其中t，r（≥0）均為連續變量，設F（r，t）是連續的、可微的。在給定的時刻t，將人口總數記作N（t），最高年齡記作rm，rm→SymboleB@

時，有：

F（0，t）=0，F（rm，t）=N（t）（1）

不同年齡r在時刻t下的死亡率函數關系記作μ（r，t），記p（r，t）dr為年齡在［r，r+dr）內單位時間t的死亡人數。為了找出p（r，t）滿足的公式，筆者需要考察那些年齡處于［r，r+dr）區間并在t到t+dt時間段內仍然存活的個體，他們的年齡變為［r+dr1，r+dr+dr），這里dr1=dt。與此同時，考慮到dt時間內死去的一部分人群數量可通過μ（r，t）p（r，t）dr?dt找到，于是：

［p（r+dr1，t+dt）－p（r，t+dt）］dr+［p（r，t+dt）－p（r，t）］dr=－μ（r，t）p（r，t）dr?dt?（2）

且dr1=dt，可得到關于人口密度函數p（r，t）的一階偏微分方程，其中死亡率為已知函數。即：

pr+pt=－μ（r，t）p（r，t）（3）

式（3）中，初始人口密度p（r，0）=p0（r），單位時間出生的嬰兒數量，即人口出生率記作p（0，t）=f（t），該區域的p0（r）可由統計調查資料得到，是已知量；人口出生率f（t）對預測和控制人口結構與數量的變化起著重要作用，對該區域的人口出生數量進一步分析。將式（3）及定解條件寫作：

pr+pt=－μ（r，t）p（r，t）p（r，0）=p0（r）p（0，t）=f（t）（4）

式（4）說明了人口連續發展歷程，確定密度函數p（r，t）后，可以推斷出現有的人口分布狀況函數如下：

F（r，t）=∫r0p（s，t）ds?（5）

為使式（4）的求解更加符合實際情況，這里給出在社會安定的局面下，死亡率與時間無關，假設μ（r，t）==μ（r）。這時式（4）的解為：

p（r，t）=p0（r－t）e－∫rr－tμ（s）ds，0≤t≤rf（t－r）e－∫ro?μ（s）ds，t>r（6）

在式（4）和式（6）中，筆者通過調查數據獲取到對應的p0（r）和μ（r）數值。與此同時，μ（r，t）可以通過對μ（r，0）進行粗略的估計得到。在人口預測和控制的過程中，關鍵要關注出生率f（t）的變動，需要深入了解人口中的性別比率，也就是k（r，t），指的是某一時間點t下，在某特定年齡段［r，r+dr）的女性人口數量比率。假設適孕年齡區間為［r1，r2］，那么筆者定義k（r，t）p（r，t）dr代表的是一個單位時間內處于該年齡段的女性的生育率，所以：

f（t）=∫r2r1b（r，t）k（r，t）p（r，t）dr（7）

將b（r，t）定義為

b（r，t）=β（t）h（r，t）（8）

其中h（r，t）滿足

∫r2r1h（r，t）dr=1（9）

于是

β（t）=∫r2r1b（r，t）dr（10）

f（t）=β（t）∫r2r1h（r，t）k（r，t）p（r，t）dr（11）

通過式（10）可以看出，β（t）描述的是每一個育齡女性在某一段時間內的平均生育次數，也稱為生育率。從式（8）與式（9）中可得知，h（r，t）表示具有特定生育水平的所有婦女。當環境相對穩定的時候h（r，t）=h（r）。常采用的h（r）形式是借用概率論中的Γ分布[4]。

h（r）=（r－r1）α－1e－r－r1θθαΓ（α），r>r1（12）

并取θ=2，α=n/2，這時有：

rc=r1+n+2（13）

晚婚、晚育是影響人口的重要因素，文章關于晚婚晚育研究基于式（11），用于描繪單位時間內出生的孩子的數量。這一框架包括了死亡率函數μ（r，t）、性別比率k（r，t）以及最初人口密度函數p0（r），這些數據可以通過查閱相關統計數據得出。此外，可通過調控生育率β（t）和生育趨勢h（r，t）來調整該區域整個群體的人口演變過程。前者β（t）影響著總體出生人數，h（r，t）則會影響家庭選擇何時生育以及何時停止生育的選擇性傾向[5]。模型預測結果如圖1所示。

圖1?不同年份下人口數量預測

3?經濟預測模型

國內生產總值是反映經濟總體狀況的指標。文章選用灰色關聯度分析對某區域GDP進行預測。運用具體的灰色系統行為特征數據，挖掘和利用其中的所有相關信息（包括明示的信息和潛在的信息），探尋各種因素之間的數學關聯以及這些因素自身之間的數學規律，GM（1，1）是一種被廣泛使用的灰色系統分析與預測方法[6]，相比于其他傳統的預測模型，GM（1，1）需要的數據量較少，選用某區域2010至2020年的數據，灰色預測模型得到級比檢驗結果，如表1所示。

原序列的所有級比值都位于區間（0.846，1.181）內，說明適合構建灰色預測模型。灰色預測模型預測結果如圖2所示。

圖2?灰色預測模型預測結果

文章構建的模型后驗差比值為0.01，預測精度較高，平均相對誤差為1.868%，決定系數R2為0.9902，擬合效果評價如表2所示。

4?基于嶺回歸模型的能源消費量預測模型

建立能源消費量與某區域人口與經濟的關系，將能源消費量作為自變量，人口與經濟因素作為因變量，利用SPSS軟件對2010—2020年的數據做線性回歸模型，結果如表3所示，可以得到人口數量與GDP的VIF為12.392，存在共線性，故選用嶺回歸。

嶺回歸是一種在自變量高度相關的情況下估計多元回歸模型系數的方法。它在普通最小二乘法的基礎上，通過對模型的系數增加約束來減小參數的方差，從而降低預測誤差。當線性回歸模型具有一些高度相關的獨立變量時，嶺回歸為最小二乘法估計不精確的一種可靠的解決方案[7]。

構建嶺回歸參數步驟：①輸入參數x、y和lam，分別表示自變量的矩陣、因變量的矩陣和嶺參數。②計算自變量矩陣x的轉置與自身的乘積，得到xTx。③獲取矩陣xTx的行數和列數，分別賦值給變量m和n。④構建一個臨時矩陣temp，它是xTx加上一個單位矩陣乘以嶺參數lam。這個步驟是為了在計算逆矩陣時避免出現奇異矩陣。⑤通過判斷臨時矩陣temp的行列式是否為零，來判斷矩陣是否可逆。如果行列式為零，說明矩陣奇異，無法進行逆矩陣的計算。⑥如果矩陣可逆，通過計算temp的逆矩陣與x的轉置矩陣的乘積，再與因變量矩陣y相乘，得到標準系數w。⑦將計算得到的標準系數w返回作為函數的輸出。

通過添加嶺參數來解決自變量矩陣不可逆的問題，并計算出標準系數w[8]。在對能源消費量進行嶺回歸時，對2010—2020年的數據進行標準化處理，求出不同嶺參數下的標準系數存放在weights矩陣中，畫出隨著參數lam變化的嶺跡圖，結果如圖3所示。

將標準化系數反標準化，求出實際系數，在最小誤差下，得到的多元線性嶺回歸方程為：

y=-31168.42+6.784·人口+0.062·GDP

文章構建的方程平均絕對百分比誤差MAPE為2%，決定系數R2為0.93，擬合效果如圖4所示。

根據嶺回歸結果，利用人口與GDP預測某區域2021—2060年的能源消費量，如圖5所示。

5?結論

第一，文章建立的連續人口預測模型是基于基本假定條件下，預測結果表明該區域人口預計在2029年達到峰值9195.04萬人，后呈現下降趨勢，符合我國人口基本變化情況。

第二，基于灰色預測模型GM（1，1）平均相對誤差為1.868%，決定系數為0.9902，準確性較高。由于樣本數量較少，該模型的穩定性仍有提升的空間。

第三，文章通過組合模型預測能源消費量，預測人口與經濟水平，構建基于嶺回歸的能源消費量預測模型，MAPE為2%，決定系數R2為0.93，模型預測效果良好。

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