追求算理一致性的“小數除法”單元整體設計與實踐

浙江杭州市錢塘區臨江新城實驗學校 （311228） 朱曙光 王國建

“小數除法”是人教版教材五年級上冊第三單元的教學內容，其中，掌握小數除法的算法和算理是本單元教學的重點。筆者從單元整體的角度出發，提煉核心概念，對單元的教學內容進行整體性設計，溝通小數除法與整數除法之間的聯系，打通單元內部知識的脈絡，進而讓學生感悟算理的一致性。

一、橫縱分析，整體構建單元知識體系

1.橫向分析——找準各課時之間的聯系

在同一個教學單元中，各個課時的知識內容之間存在著密切的聯系，這些知識點相互銜接，共同組成一條知識鏈。

學習小數除法的前提是掌握整數除法和小數的意義。“小數除法”整個單元以“除數是整數的小數除法”為起始課，“一個數除以小數”是“除數是整數的小數除法”的變式，其他內容則是這兩種除法的商的多種情形與應用。可見，掌握小數除法的算法和算理是本單元的重點。小數除法的算理和算法與整數除法大致相同，唯一不同的是小數除法需要考慮小數點。因此，本單元教學的核心要義是將整數除法的算理和算法遷移到小數除法中。

2.縱向分析——明確單元的地位與作用

教師梳理與對比所有相關的單元，厘清教學的前后順序，尋找知識的發展脈絡，了解本單元在整個知識體系中的作用。這有助于教師明確本單元的教學目標與重難點，明確之前的教學內容對開展本單元教學的影響。同時，教師需要明確本單元的知識應該掌握到什么程度，才能有序推動整個知識體系的構建。筆者對小學階段與“小數除法”相關的知識點進行了梳理（見表1）。

表1 小學階段與“小數除法”相關的知識點

從表1 中可以看出，“表內除法（一）”是學生學習小數除法的起點，小數除法的學習建立在整數除法的基礎上。因此，對整數除法算法和算理的掌握情況將直接影響小數除法的學習。

二、合理布局，重新構建單元教學內容

1.基于核心概念，確定單元教學目標

“一個數除以小數”是基于“除數是整數的小數除法”的遷移，而“除數是整數的小數除法”是基于“整數除法”的遷移，歸根結底，“一個數除以小數”是基于“整數除法”的遷移。由此，筆者確立了“小數除法”的單元與課時核心概念（見表2）。

表2 “小數除法”的單元與課時核心概念

基于以上分析，筆者從知識技能、意義理解、思想方法和情感態度四個方面來描述單元教學目標（見表3）。

表3 “小數除法”單元教學目標

2.基于橫縱梳理，調整單元課時內容

根據對知識內容的橫縱梳理，筆者對“小數除法”的單元教學進行了整體重構，將新課教學分成四個板塊，分別是“除數是整數的小數除法”“一個數除以小數”“循環小數與算式規律”和“商的選擇與應用”。在重構后的教學設計中，筆者將原先的“商的近似數”教學內容調整至“循環小數”和“用計算器探索規律”之后，并將這三種求商近似數的方法整合到同一教學板塊中。具體構思見表4。

表4 “小數除法”重構教學板塊

這四個教學板塊中，第一、第二個板塊兩種小數除法是本單元的教學重點。第三個板塊是在計算小數除法的基礎上，進一步探討商的另一種形式——循環小數，并探究算式中商的規律。第四個板塊是引導學生在解決問題時根據實際情況靈活選擇“四舍五入”法、“進一法”或“去尾法”來處理商。

三、整體設計，精準落實單元教學目標

1.單元導讀，整體感知基本內容

單元導讀可以幫助學生明確單元學習的重點，理解單元知識點之間的關聯以及它們與之前所學知識之間的聯系。

單元導讀可以這樣安排：

（1）初讀單元內容，本單元主要學習哪些知識？

（2）再讀單元內容，你覺得本單元的知識之間存在怎樣的聯系？哪幾個知識點之間的聯系最密切？本單元學習的內容跟之前學習的什么內容有關？

“小數除法”的單元導讀有助于學生從整體上把握整個單元的知識脈絡與學習內容，使學生對小數除法的知識結構形成初步認知。

2.分步學習，自然建構知識體系

（1）在比較中溝通知識的“聯”

“除數是整數的小數除法”是“小數除法”單元的起始課，它的學習以整數除法為基礎，因此，教師在教學中應以整數除法為切入口，通過聯系整數除法和小數除法來激活學生的思維，促進知識的正向遷移，實現前后知識的自然對接。這樣，單元的起始課便有了學習的著力點。

［例題］王鵬堅持晨練，計劃4 周跑步22.4km，他平均每周應跑多少千米？

學生都列出了算式“22.4÷4”，具體計算時出現了5種方法（如圖1）。

圖1

①22.4km=22400m，22400÷4=5600m=5.6km

②22.4÷4=20÷4+2.4÷4=5+0.6=5.6km

③22.4÷4=5.6 ④22.4÷4=5.6 ⑤22.4÷4=5.6

筆者引導學生對這5 種方法進行三次比較，以便學生發現整數除法和小數除法之間的聯系和區別，實現算理和算法的遷移，從整體上認識除法運算，將除法運算的知識融會貫通。

比較一：這些方法中哪幾種比較相似？請按照方法的相似性將它們歸類。

比較二：觀察方法4和方法5，在一步一步除的時候，下面到底是寫2.4還是24？

比較三：為什么方法5的商有小數點，方法3的商沒有？小數點該怎么點？

新知的學習建立在舊知上，通常需要對舊識進行正向的遷移。轉化正是實現正向遷移的重要方式。轉化的實現需要教師引導學生進行比較、辨析，發現知識之間的內在聯系。

（2）在轉化中凸顯知識的“通”

將已學的單元知識遷移到新授單元的知識學習中，讓學生感受知識間的相通性，不僅有助于學生鞏固舊知識，還有助于學生更好地理解新知識，從而更靈活地運用所學知識。

［例題］奶奶編“中國結”，編一個要用0.85m絲繩。用7.65m絲繩可以編幾個“中國結”？

筆者首先組織學生圍繞“7.65÷0.85 與我們學過的小數除法有什么不同”這一問題展開探究和交流。然后，闡述小數除法的基本方法，將除數是小數的小數除法轉化為除數是整數的小數除法，即利用商不變的性質將“7.65÷0.85”轉化為“765÷85”。最后，讓學生根據除數是整數的小數除法的算法進行計算。通過轉化讓學生體會到兩種小數除法之間的聯系，實現知識的自然過渡，從而幫助學生更全面地理解和掌握小數除法的計算方法。

（3）在銜接中體現知識的“順”

在單元教學中，教師應將單元內的知識串成一條知識鏈，從一個知識點過渡到另一個知識點的教學應自然，體現單元知識點銜接的順暢性。

［例題］爸爸要給王鵬買羽毛球，羽毛球一筒19.4元，有12個。

（1）每個羽毛球大約多少錢？

（2）爸爸帶了115元錢，可以買多少筒？

（3）王鵬將用過的羽毛球放回球筒中，65 個羽毛球要幾個球筒才能裝完？

“商的近似數”的教學內容涉及循環小數，因此筆者將此內容的學習調整到“循環小數”之后。在這一課的教學中，筆者出示上述例題讓學生列式計算。學生計算第（1）題后發現商是一個循環小數，筆者順勢提問：“在現實生活中，錢數可以是循環小數嗎？”學生馬上意識到，題目問的是“大約多少錢”，要用“四舍五入”法求商的近似數。在學生掌握了用“四舍五入”法求商的近似數之后，筆者繼續提問，引導學生思考和探討不同情況下求商的近似數的方法。

在“雙新”背景之下，對單元整體教學進行研究是大勢所趨。無論單元知識屬于哪一個知識體系，單元整體設計中對教材處理的基本原則都是提煉核心問題、確定整體目標、關注前后內容、確定單元課時，在知識與知識的關聯中凸顯數學原理的一致性與整體性。