基于傅里葉變換的振動切削刀具振幅測量方法

于保軍，胡 鋒，郝兆鵬，賈志遠

（長春工業大學，吉林 長春 130012）

1 引言

振動切削過程中，刀具的振幅是一個非常關鍵的參數，它會直接影響加工效率和加工精度，由于振動源在傳遞振動過程中有一定的能量損失等原因，刀具的實際振幅都低于設定的振幅值，尤其在刀具加工工件也既負載狀態下，刀具的振幅比設定值小更多，也就是振幅衰減［1］。為了保證良好的加工效率和效果，測量振動切削過程中刀具的實際振幅是必要的。

目前常見的測量振動刀具振幅的方法主要有機械測量法、電測法和光學測量法。其中機械測量法是利用慣性原理或者杠桿放大原理，將微小振動放大為可人工測量的振動，再利用相關量具進行測量，這種測量方法抗干擾能力強、操作簡單。電測法是利用傳感器將振動量轉換為電荷、電流或者電壓，再利用電路進行采集的測量方法，電測法相對來說精度較高且成本較為容易控制，目前大多數測量基本都使用電測法。光學測量法是利用讀數顯微鏡、光杠桿原理或激光多普勒效應來檢測振動，并通過光學傳感器來轉換為電信號并接收的一種測量方法；光學測量法在測量時不需要接觸被測物體，也稱為非接觸式測量，測量精度高，一般用于超精密測量，測量設備普遍昂貴［9］。

機械測量法主要是對振幅測量精度要求不高時，采用杠桿放大等物理裝置進行測量的方法。文獻［2］提出超聲振動加工振幅可由一般量具測量的理論依據，并說明用千分表測量超聲振動加工振幅的方法。文獻［3］采用塞尺實現了對超聲振動加工刀具振幅的簡易測量。物理測量法能對振動切削的刀具振幅進行簡易測量，由于測量儀器和人工操作等原因，測量精度相對較低。

電測法測量振動應用較為廣泛，文獻［4］基于單片機設計的振動測量儀能夠測量航空發動機的轉速、振動等參數，測量誤差在3%以內。

光學測量法是一種非接觸的測量方法，利用光杠桿原理、光波干涉原理、激光多普勒效應等進行測量。文獻［5］利用激光聚焦式側頭，通過對光學像散量的檢測來實現對物體微位移和微振動進行測量的方法，成功測得10Hz的低頻振動。文獻［6］采用激光三角反射法，利用位移光學傳感器接收反射光，并進行計算，實現了對發動機皮帶振動振幅的測量。文獻［7］利用激光多普勒干涉效應，使用激光器發出光線，再利用光學傳感器接收反射光線，通過計算由振動引起的多普勒頻移來進行測量，實現了對小型旋轉機械振動的測量，使用該測量方法，振動頻率越高，測量誤差越小。文獻［8］提出了使用一對單模光纖進行頻率掃描干涉測量的高精度絕對距離和振動測量的方法。

通過計算激光掃描頻率產生的干涉條紋來確定絕對距離，采用高精度法布里珀羅干涉儀測定掃描過程中的頻率變化，開發了兩種多距離測量分析技術，以提高距離精度和提取振動的振幅和頻率，最終實驗證明，采用多距離測量技術對（0.1～0.7）m的絕對距離進行測量，測量精度達到50nm。光學測量方法精度高，但是測量設備都較為昂貴，且對測量環境有較高的要求，并不適用于工廠復雜環境的測量。

在振動切削中，振動刀具的振幅為微米級，一般的測量方法很難進行測量，而使用激光測量的成本又太高。提出了一種基于加速度傳感器檢測被測刀具的加速度，通過傅里葉變換和頻域二次積分以及傅里葉反變換，將加速度值轉換為振幅值的測量方法。

2 測量裝置與原理

2.1 測量裝置

整個測量系統由加速度傳感器、電荷放大器、恒流源、數據采集卡和工控機組成，如圖1所示。加速度傳感器安裝在刀具的振動方向，工作時由數據采集卡采集加速度傳感器的加速度值，其中電荷放大器是用來將加速度傳感器的電荷信號放大為電壓信號，恒流源用來給電荷放大器和加速度傳感器供電，采集的數據傳輸給工控機同時用編寫好的程序進行運算處理，從而得到刀具的振幅信號。

圖1 測量裝置原理圖Fig.1 Principle Diagram of Measuring Device

2.2 測量原理

本測量方法通過將加速信號積分為振幅信號的方法來實現對振動切削刀具的振幅進行測量，積分法的選擇對積分結果和精度有著重大影響。積分方法一般可分為兩種，一種是時域積分，常用的時域積分方法有梯形法則、辛普森法則、復化辛普森法則、牛頓-柯特斯公式、復化梯形公式等。另一種則是頻域積分，將時域頻譜通過傅里葉變換得到頻域頻譜，通過相關積分可得速度或位移的頻域頻譜，再通過傅里葉逆變換，可得速度和位移的時域頻譜。

對于時域積分，最大的問題就是趨勢項誤差和零點漂移，在積分前需要很好的去除趨勢項和直流分量，否則積分后會有嚴重的累積誤差，造成結果失真。頻域積分則相對較好，可以對不在目標頻段的數據做置零處理，沒有累計誤差，在高頻率下積分結果更好。結合振動切削高頻振動特性，選擇頻域積分法更為理想。

實際測量應用中，通過數據采集卡采集到的加速度是一組離散的數值，假設采樣點數為N，則采集到的加速度信號為｛an｝（n=1，2，3，…，N）。則傅里葉正變換為：

式中：N—采樣點數；an—加速度值；k—正整數；對這個加速度頻域信號進行一次積分得到速度頻域信號。

其中，H（k）滿足：

式中：?f—頻率分辨率，頻率分辨率為采樣頻率和采樣點數的比值；fd、fu—低截止頻率和高截止頻率；N—采樣點數；w—傅里葉分量對應的頻率。對加速度頻域信號進行二次積分得到位移頻域信號。

其中，H（k）滿足：

式中：?f—頻率分辨率，頻率分辨率為采樣頻率和采樣點數的比值；fd、fu—低截止頻率和高截止頻率；N—采樣點數；w—傅里葉分量對應的頻率。

通過對位移頻域信號進行傅里葉反變換可得位移在時域中的信號。則傅里葉逆變換后得到位移式為：

式中：S（k）—位移頻域信號；Sn—位移時域信號。

上述兩式V（k）和S（k）分別為速度和位移在頻域上的信號，對兩式進行傅里葉逆變換即可得到速度和位移在時域上的信號。頻域積分將復雜的積分運算轉換成簡單的除法運算，極大的提高了運算速度；頻域積分能夠對不在目標頻段的數據做置零處理，避免因趨勢項產生的累積積分誤差。

3 誤差分析和處理

在工程實際應用中，采集到的加速度信號包含環境中的各種干擾信號，設備本身也會產生相應的直流分量，如果直接對加速度信號進行積分，會導致積分結果誤差較大甚至失真。在對加速度信號進行積分之前，需要先對信號做預處理，包括去除直流分量和濾除噪聲干擾。

3.1 去除直流分量

假設采樣點數為N，則采集到的加速度信號為｛an｝（n=1，2，3，…，N）。所有采樣點的平均值為：

將每個采樣點的值減去平均值即可得到去除直流分量后的加速度信號｛a’n｝（n=1，2，3，…，N）。

3.2 濾波處理

由于使用濾波器濾波會造成能量損失，導致幅值減小，最高損失幅值可達20%，振動加工的振幅需要精確到微米級，使用濾波器顯然無法達到相應的精度。

在頻域積分中，可通過程序直接將目標頻率外的頻段直接置零處理，既不會損失幅值，又有效的去除了干擾信號。

通過程序算法，將不在目標頻率內的數值直接置零處理，也就是處理二次頻域積分式（3）中H（k）值，在計算時，將大于高截止頻率fu和小于低截止頻率fd的H（k）的值置為0。

4 測量實驗與結果分析

為了檢測本測量系統的測量精度，將一臺振動切削機床的刀具空載振動作為標定數據，將本測量裝置測量到的實際數據與標定數據進行對比，來驗證本測量系統的精度。整個測量裝置，如圖2所示。

圖2 實驗裝置說明圖Fig.2 Experimental Device Illustration

振動系統運行原理如下：在計算機上輸入有關參數，通過程序控制PMAC輸出指定的電信號，信號傳輸至功率放大器后，經過功率放大器將電信號功率放大然后傳輸給壓電實現振動，因壓電緊壓著刀具架，使刀具架受迫振動，從而實現刀具的有規律振動，振動傳感器將振動數據傳反饋給信號接收器，通過信號接收器將數據處理后再傳回給計算機，從而實現有反饋調節的閉環振動控制。

測量系統運行原理如下：加速度傳感器用來檢測刀具架的加速度，該傳感器為電荷型傳感器，故需要通過電荷放大器將信號放大為電壓信號，其中恒流源用來給電荷放大器和加速度傳感器供電，工控機中安裝有NI-4474數據采集卡，利用數據采集來采集加速度傳感器的加速度信號并將數據傳輸給工控機。

為保證實驗精度并且盡量減小因人員操作產生的誤差，實驗時按照流程圖操作，如圖3所示。

圖3 實驗流程圖Fig.3 Experimental Flowchart

利用Labview編程實現頻域二次積分算法，并實現去直流分量和濾波等操作，去除直流分量程序，如圖4所示。

圖4 去直流分量LabView程序圖Fig.4 LabView Program Diagram for Removing DC Component

去直流分量后將時域信號進行傅里葉正變換，由于傅里葉變換計算過于復雜，不利于快速響應，所以在進行頻域變換時采用更適合計算機計算的快速傅里葉正變換（FFT）。在頻域中可以很容易的進行程序濾波操作，只需將非目標頻率段內的數值置為零即可，實現程序，如圖5所示。

圖5 置零濾波LabView程序圖Fig.5 Zero-Setting Filter LabView Program Diagram

在振動頻率為1000Hz，設定機床振幅為2μm，先試運行一次程序，程序可自動檢測所測得的頻率，再根據檢測到的頻率設置相應的高截止頻率和低截止頻率，并設置采樣點數為1024，采樣頻率為8000Hz，如圖6所示。測得去直流分量后的加速度信號，如圖7所示（為了便于觀察，只展示了200個數據點）。可以看出信號是關于y=0軸上下對稱的，說明去直流分量的效果已達到。

圖6 參數設置Fig.6 Parameter Settings

圖7 去直流分量加速度信號Fig.7 Remove the DC Component Acceleration Signal

經過濾波和頻域二次積分并通過快速傅里葉反變換（IFFT）后，得到振動位移信號，如圖8所示（為了便于觀察，只展示了200個數據點）。取振動位移信號正半軸的所有波峰值，如圖9所示。并計算出波峰均值，即可得到所測振動的振幅。

圖8 測得振動位移信號Fig.8 Measured Vibration Displacement Signal

圖9 測得振動位移信號正半軸波峰值Fig.9 Measure the Peak Value of the Positive Half-Axis Wave of the Vibration Displacement Signal

由圖9可以看出，波峰波動的范圍非常小，說明測得的振動位移信號比較穩定，達到了預期要求。對同一頻率和振幅的刀具振動做3次測量，取其均值作為實際測量結果，減小隨機性對實驗結果的影響，具體測量數據，如表1所示。

表1 實驗測得振幅數據Tab.1 Experimentally Measured Amplitude Data

由測量結果可知，在不同頻率和不同振幅的測量環境下，本測量系統的誤差都在0.7%左右，測量精度能夠滿足實際測量需求。在基于激光自混合干涉法的微振動測量［10］一文中，在自混合干涉光路中添加了一個預反饋鏡，增強信號測量能力；在對頻率為210Hz，振幅為5μm 的振動進行測量時，振幅測量誤差為3.19%。文中測量系統在測量差不多振幅和頻率的振動時，測量誤差低于0.8%，由此可見文中的振幅測量系統優于一般的光學測量法，且成本較為低廉，是一種有效的測量精度較高的測量系統。

5 結論

設計并實現了一種測量振動切削刀具實際振幅的測量系統，該系統利用加速度傳感器檢測刀具的振動加速，通過傅里葉變換和傅里葉反變換以及頻域二次積分的數學方法將刀具的加速度信號積分為振幅信號，從而實現對振動切削刀具振幅的測量，經過實驗驗證，本測量系統的測量誤差低于0.8%，具有工程實際應用價值。