星載InSAR 基線構(gòu)型測(cè)量誤差模型與靈敏度分析

鮑 捷， 劉興潭， 陳建武， 李 林， 趙春暉

（北京控制工程研究所 空間光電測(cè)量與感知實(shí)驗(yàn)室，北京 100190）

1 引 言

雙天線干涉合成孔徑雷達(dá)（Synthetic Aperture Radar，SAR）衛(wèi)星用于實(shí)現(xiàn)全天候、全天時(shí)、高精度全球數(shù)字高程測(cè)量。衛(wèi)星采用柔性長(zhǎng)基線構(gòu)型的InSAR 系統(tǒng)，基線長(zhǎng)度和指向變化會(huì)嚴(yán)重影響雷達(dá)的成像質(zhì)量和干涉測(cè)量精度［1-4］。為達(dá)到米量級(jí)的測(cè)高精度，InSAR 的基線長(zhǎng)度測(cè)量精度須達(dá)到亞毫米量級(jí)，指向測(cè)量精度達(dá)到角秒級(jí)，必須對(duì)安裝在支撐臂遠(yuǎn)端的副天線的位置和姿態(tài)進(jìn)行動(dòng)態(tài)精密測(cè)量。在天線位姿測(cè)量過(guò)程中，存在各種可能導(dǎo)致系統(tǒng)位姿估計(jì)偏差的誤差源。空間應(yīng)用環(huán)境差異性的影響，還會(huì)引入地面應(yīng)用場(chǎng)合沒(méi)有的誤差因素。因此，必須針對(duì)引起基線測(cè)量誤差的各種因素加以研究，完善基線誤差模型的建立與誤差分配，并分析誤差在系統(tǒng)中的傳遞與影響［5-6］。

美國(guó)“航天飛機(jī)雷達(dá)地形測(cè)繪任務(wù)”（Shuttle Radar Topography Mission， SRTM）是經(jīng)典的單星雙天線InSAR 系統(tǒng)，使用姿態(tài)和軌道確定子系統(tǒng)（Attitude and Orbit Determination Avionics， AODA）提供必要的基線測(cè)量、姿態(tài)和軌道確定，為克服單目視覺(jué)測(cè)量在視線方向精度的不足，選擇基于激光與視覺(jué)組合測(cè)量的方案［7］，并研究了系統(tǒng)高程測(cè)量誤差的影響，相關(guān)文獻(xiàn)雖然提及基線長(zhǎng)度和指向誤差對(duì)總SRTM性能有顯著影響，并從系統(tǒng)總體高程精度影響層面給出了誤差分配表，同時(shí)據(jù)此調(diào)整部件性能約束和后續(xù)校正系統(tǒng)設(shè)計(jì)［8-10］，但沒(méi)有給出基于此方案具體進(jìn)行基線確定的誤差分析方法。中國(guó)科學(xué)院電子所開(kāi)展了InSAR 長(zhǎng)基線測(cè)量技術(shù)的研究，通過(guò)解析推導(dǎo)分析了基線長(zhǎng)度和角度的精度影響因素及來(lái)源，但缺少定量分析與誤差分配［11］。

影響測(cè)量系統(tǒng)的誤差來(lái)源復(fù)雜，且彼此間存在非線性耦合。目前的精度指標(biāo)分解常側(cè)重于經(jīng)驗(yàn)與試驗(yàn)，缺少全流程仿真閉環(huán)驗(yàn)證，在初期尋找指標(biāo)分配最優(yōu)方案的過(guò)程中，往往耗費(fèi)較多人力物力亦不能滿足實(shí)際需求［12］。因此，有必要開(kāi)展基線測(cè)量系統(tǒng)測(cè)量誤差量化分配方法的研究，定量評(píng)估各誤差的貢獻(xiàn)度，為方案設(shè)計(jì)、安裝優(yōu)化以及系統(tǒng)精度指標(biāo)分配等提供支撐。本文通過(guò)數(shù)學(xué)建模解析推導(dǎo)與數(shù)值計(jì)算定量仿真給出基線確定過(guò)程中的誤差源，對(duì)各誤差貢獻(xiàn)度進(jìn)行評(píng)估以及誤差定量分配。

2 基線測(cè)量方案與模型

2.1 基線測(cè)量模型建立

本文采用激光干涉和視覺(jué)組合的測(cè)量方案，系統(tǒng)坐標(biāo)系由它在衛(wèi)星平臺(tái)上的安裝方式?jīng)Q定。雙天線系統(tǒng)中兩側(cè)的基線測(cè)量系統(tǒng)相同，單側(cè)系統(tǒng)組成如圖1 所示，主要包括安裝在衛(wèi)星本體的測(cè)量系統(tǒng)和星敏感器，以及安裝在天線平臺(tái)端的靶標(biāo)組，平臺(tái)之間通過(guò)可伸縮天線臂連接。為對(duì)基線矢量進(jìn)行建模，建立單側(cè)基線測(cè)量系統(tǒng)坐標(biāo)系如圖2 所示。其中，基線測(cè)量系統(tǒng)涉及表1 所示的8 組坐標(biāo)系。

表1 系統(tǒng)坐標(biāo)系定義Tab.1 Definition of coordinate system

圖1 雙天線InSAR 基線測(cè)量系統(tǒng)（單側(cè)）示意圖Fig.1 Baseline measurement system of InSAR（one side）

圖2 基線測(cè)量系統(tǒng)坐標(biāo)系（右側(cè)）Fig.2 Baseline measurement system coordinates（right side）

天線中心與靶標(biāo)中心安裝并不重合，實(shí)際工作中需要考慮天線形變帶來(lái)的測(cè)量誤差。圖2中，A'坐標(biāo)系為原始安裝條件下的天線幾何中心，A為在軌運(yùn)行中因天線變形導(dǎo)致天線中心發(fā)生變化后的實(shí)際天線本體坐標(biāo)系。A'-T的轉(zhuǎn)換關(guān)系通過(guò)地面標(biāo)定已知，A-A'的轉(zhuǎn)換關(guān)系可通過(guò)天線端安裝星敏測(cè)量角度變化計(jì)算得到。因此，A-T之間的轉(zhuǎn)換可以通過(guò)A-A'-T完成。

各個(gè)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系與相應(yīng)的矢量定義如表2 所示。

表2 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系定義Tab.2 Coordinate transformation definition

2.2 誤差傳遞模型

測(cè)量誤差在坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換過(guò)程中傳遞，建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系式推導(dǎo)誤差在轉(zhuǎn)換中的變化。通過(guò)其中一側(cè)5 個(gè)坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可以得到軌道系與天線系之間的關(guān)系：

其中：ROA=ROS RSB RBT RTA'，TOA=ROS RSB RBTRTA'TA'A+ROS RSB RBTTTA'+ROS RSBTBT+ROSTSB+TOS。

在雙天線InSAR 系統(tǒng)中，空間基線為兩側(cè)天線相位中心的矢量連線，如圖3 所示。根據(jù)式（1）可得：

圖3 雙天線InSAR 基線示意圖Fig.3 Baseline of dual antenna InSAR

則基線長(zhǎng)度為：

基線角是基線矢量與水平面的夾角，利用式（3）中得到的基線各方向位置TA1A2_x，TA1A2_y，TA1A2_z，通過(guò)反正切三角函數(shù)關(guān)系計(jì)算得到基線角度：

3 解析推導(dǎo)與誤差源分析

由式（2）和式（3）可得基線長(zhǎng)度為：

對(duì)其中一側(cè)求偏導(dǎo)，可得基線長(zhǎng)度誤差ΔL為：

將式（5）代入式（4）可得：

基線角誤差ΔJ即為：

同理基線角度誤差可以表示為：

其 中CJ為 系 數(shù) 矩 陣 ，CJ=

設(shè)向量μ，λ，δ分別表示旋轉(zhuǎn)矩陣RSB，RBT，RTA中的角度誤差矩陣，ΔTSB，ΔTBT，ΔTTA分別為平移向量TSB，TBT，TTA中的位置誤差。單側(cè)基線長(zhǎng)度誤差可以表示為：

對(duì)于三維矢量μ，λ，δ引入反對(duì)稱(chēng)陣概念。以μ為例，μ=（μx，μy，μz）3 個(gè)分量可以構(gòu)成其反對(duì)稱(chēng)陣μx且兩矢量之間滿足a×b=axb=-bxa。

系統(tǒng)中主要的動(dòng)態(tài)誤差來(lái)源于測(cè)量系統(tǒng)與靶標(biāo)系之間的動(dòng)態(tài)跟蹤誤差，μ，δ和ΔTSB，包括測(cè)量裝置的測(cè)量誤差，在軌運(yùn)行中機(jī)械振動(dòng)以及熱致震顫等微小擾動(dòng)。ΔTTA主要來(lái)源于前期安裝和標(biāo)定，可視作靜態(tài)誤差。將基線誤差按不同誤差來(lái)源分類(lèi)，可以得到：

其中：D=ROS RSB[1-(RBT(RTA'TA'A+TTA'))x]，由于天線抖動(dòng)時(shí)角度變化較小，此時(shí)正弦項(xiàng)與余弦項(xiàng)可近似為：sinα≈α，cosα≈1，則旋轉(zhuǎn)矩陣可以簡(jiǎn)化為I式加上一個(gè)小角度矩陣，如I+A，其他轉(zhuǎn)陣類(lèi)似。3 個(gè)轉(zhuǎn)陣相乘則有RxRyRz=I+A+B+C+ABC，由于小量相乘趨近于零，將ABC乘積項(xiàng)省略，按小角度近似得到則有：

基線長(zhǎng)度誤差主要由天線相位中心Y方向 誤差引起，而基線角誤差主要由Z方向誤差引起。據(jù)此可近似得到：

由此可知，影響基線測(cè)量精度的因素有：（1）系統(tǒng)標(biāo)定殘差，主要指系統(tǒng)地面安裝位置標(biāo)定手段和設(shè)備精度導(dǎo)致的各坐標(biāo)系標(biāo)定殘差；（2）測(cè)量器件誤差，測(cè)距精度直接影響Y方向結(jié)果從而影響基線長(zhǎng)度結(jié)果，姿態(tài)角誤差在Y方向上引入的分量也會(huì)間接影響長(zhǎng)度精度；（3）天線相位中心誤差，考慮遠(yuǎn)端天線在天線臂展開(kāi)后發(fā)生的姿態(tài)改變，這部分誤差主要受力熱變形和長(zhǎng)期穩(wěn)定漂移影響；實(shí)際的天線相位中心不可測(cè)，其偏移還受電子器件穩(wěn)定性的影響，導(dǎo)致天線波束擾動(dòng)產(chǎn)生隨機(jī)誤差。

不同的誤差源在誤差傳遞過(guò)程中對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響不相同，因此本文提出系統(tǒng)誤差分量靈敏度的概念，定量分析誤差源的貢獻(xiàn)。

4 誤差靈敏度分析

基線測(cè)量誤差在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中傳遞。基線長(zhǎng)度的表示中涉及7 組旋轉(zhuǎn)矩陣與平移矩陣，每個(gè)矩陣涉及3 個(gè)自由度，共42 組自由度，包括長(zhǎng)度與角度分量，共計(jì)84 個(gè)變量，變量數(shù)量繁多且每一項(xiàng)攜帶的誤差對(duì)最終基線長(zhǎng)度與角度測(cè)量結(jié)果帶來(lái)的影響各有不同。并且誤差模型中包含非線性項(xiàng)，難以直接利用微分法推導(dǎo)各項(xiàng)誤差與精度的關(guān)系。因此，本文運(yùn)用隨機(jī)化法快速準(zhǔn)確地量化分解精度指標(biāo)，定量評(píng)估各誤差貢獻(xiàn)度，以保證高精度測(cè)量方案的可行性與穩(wěn)定性。

誤差靈敏度定義為其中一個(gè)變量產(chǎn)生的偏差對(duì)最終基線長(zhǎng)度或角度測(cè)量結(jié)果產(chǎn)生的誤差，反映每一個(gè)變量對(duì)測(cè)量精度的貢獻(xiàn)。將靈敏度作為影響系數(shù)參與到后續(xù)誤差分配計(jì)算中。通過(guò)上述對(duì)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換位姿，在綜合位置靈敏度（3σ）與姿態(tài)靈敏度（3σ）范圍內(nèi)隨機(jī)分配誤差量（隨機(jī)過(guò)程保證零均值正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差為1σ）。表3 為根據(jù)實(shí)際測(cè)量值或經(jīng)驗(yàn)值進(jìn)行預(yù)分配，通過(guò)誤差合成結(jié)果檢驗(yàn)誤差分配是否與預(yù)期結(jié)果相符，再通過(guò)多次迭代得到的誤差分配結(jié)果。基線測(cè)量系統(tǒng)誤差定量分析的仿真流程如圖4所示。

表3 基線長(zhǎng)度誤差靈敏度Tab.3 Baseline length error sensitivity

圖4 誤差分配與仿真流程Fig.4 Error distribution and simulation flow chart

對(duì)基線模型進(jìn)行靈敏度計(jì)算，結(jié)果如表3 和表4 所示。表3 給出了基線測(cè)量系統(tǒng)測(cè)量天線臂在120 m 距離下，各坐標(biāo)系六自由度參數(shù)對(duì)基線長(zhǎng)度誤差靈敏度的計(jì)算結(jié)果，由于單位不同又分為角度參數(shù)靈敏度和位置參數(shù)靈敏度，并按靈敏度數(shù)值降序排列。

表4 基線角度誤差靈敏度Tab.4 Baseline angle error sensitivity

從表3 中可以看出，較大的位置靈敏度主要集中在Y方向，即距離方向，該方向上位置誤差對(duì)基線長(zhǎng)度的影響將近1∶1，單軸位置偏離1 μm，基線長(zhǎng)度將產(chǎn)生近1 μm 的誤差。角度對(duì)基線長(zhǎng)度的影響方面，有關(guān)測(cè)量系即B系的俯仰與偏航角靈敏度較大，最大能達(dá)十幾微米每角秒，即單軸每產(chǎn)生1″的角度測(cè)量誤差，會(huì)給基線長(zhǎng)度結(jié)果帶來(lái)十幾微米的誤差。

表4 展示了各坐標(biāo)系六自由度參數(shù)對(duì)基線角度誤差的影響靈敏度計(jì)算結(jié)果。結(jié)果顯示，位置參數(shù)在Z軸方向的影響較大，比其他位置高至少一個(gè)量級(jí)。而角度參數(shù)影響方面，測(cè)量裝置在星本體上安裝標(biāo)定等帶來(lái)的俯仰角度誤差貢獻(xiàn)最為突出。比起解析式，靈敏度表格為系統(tǒng)精度分析提供了更直觀的參數(shù)影響，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)調(diào)整以及誤差分配等工作均可以在此基礎(chǔ)上進(jìn)行。

表3 和表4 中靈敏度計(jì)算中給定的基線測(cè)量系統(tǒng)到星本體系三軸角度真值均為1°，為探究這些角度對(duì)靈敏度是否有影響，計(jì)算了基線測(cè)量系統(tǒng)相對(duì)星本體系三軸角度分別在-90°到90°條件下基線角度靈敏度、基線長(zhǎng)度靈敏度的數(shù)值，并將最大、最小值標(biāo)注在圖上，結(jié)果如圖5～圖6所示。

圖5 測(cè)量裝置相對(duì)星本體系安裝角度對(duì)長(zhǎng)度靈敏度的影響Fig.5 Influence of installation angle of measuring device on length sensitivity

圖6 測(cè)量裝置相對(duì)星本體系安裝角度對(duì)角度靈敏度的影響Fig.6 Influence of installation angle of measuring device on angle sensitivity

從圖5 中可以看出，安裝角度確實(shí)對(duì)長(zhǎng)度靈敏度有影響。Y軸靈敏度最大為0.044 μm/（″），低于X軸Z軸靈敏度最小值，其他角度處更是差出數(shù)個(gè)量級(jí)。X，Z軸最小值在2.6°與1.6°處，且角度越靠近兩端靈敏度越大，對(duì)基線長(zhǎng)度誤差的影響就越大，因此考慮基線長(zhǎng)度誤差較小的情況下，1°的安裝角度是較為合適的。

從圖6 中可以看出，安裝角度對(duì)角度靈敏度也存在影響。X軸靈敏度峰值在1.9°位置，Y，Z軸則是靈敏度谷值更靠近零點(diǎn)，分別為10.7°和25.2°，且三軸角度影響趨勢(shì)與量級(jí)不一致，很明顯X 軸角度靈敏度比其他兩軸高一到兩個(gè)量級(jí)，這也能說(shuō)明為什么在三軸均為1°時(shí)X軸角度靈敏度比另外兩軸大一個(gè)數(shù)量級(jí)。從圖中也能看出，三軸角度均設(shè)計(jì)為1°并不是靈敏度最優(yōu)選擇。真值的設(shè)計(jì)可能會(huì)影響基線測(cè)量誤差結(jié)果，為反演出最佳安裝角度，將不同靈敏度數(shù)據(jù)代入基線角度誤差求解過(guò)程中，根據(jù)計(jì)算得到的誤差選擇更優(yōu)的三軸角度。很顯然，靈敏度在各自的谷值處基線角度誤差最小。越靠近±90°，X軸角度越小，但實(shí)際安裝的俯仰角不可能這么大，應(yīng)當(dāng)在滿足安裝約束的前提下選擇靈敏度盡量小的角度位置。同理也可以對(duì)其他參數(shù)進(jìn)行分析，這一反演思路可為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)與優(yōu)化提供理論支持。

5 仿真分析

根據(jù)誤差傳遞與靈敏度分析結(jié)果，綜合考慮各誤差源（假設(shè)相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布），得出一組誤差綜合影響案例：對(duì)標(biāo)定殘差、測(cè)量誤差、力熱變形和長(zhǎng)期穩(wěn)定漂移4 種影響明顯的誤差進(jìn)行初步分配。系統(tǒng)誤差主要考慮地面標(biāo)定殘差，隨機(jī)誤差關(guān)注器件性能、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)等引起的測(cè)量誤差、力熱變形、長(zhǎng)期穩(wěn)定漂移。根據(jù)系統(tǒng)的測(cè)量精度要求，這里給定的長(zhǎng)度測(cè)量精度為1 mm，角度測(cè)量精度為2″（1.6σ），誤差分配如表5 所示。由于篇幅有限，在此只列出部分分配結(jié)果。

表5 誤差分配（B1-T1）Tab.5 Error distribution（B1-T1）

為更貼近真實(shí)工況，驗(yàn)證理論推導(dǎo)計(jì)算與分配結(jié)果的合理性，通過(guò)蒙特卡洛法進(jìn)行數(shù)值模擬仿真。蒙特卡洛法（Monte-Carlo）也稱(chēng)統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)法，其基本思想是利用計(jì)算機(jī)的數(shù)值模擬來(lái)代替解析推導(dǎo)，在保證隨機(jī)變量滿足一定概率分布的情況下，通過(guò)大量仿真來(lái)研究隨機(jī)參數(shù)在統(tǒng)計(jì)意義下的特性［13-15］。

代入表5 中分配的隨機(jī)誤差項(xiàng)之和作為對(duì)應(yīng)坐標(biāo)系間的誤差輸入，根據(jù)蒙特卡洛法，按照正態(tài)分布隨機(jī)生成全局?jǐn)_動(dòng)，進(jìn)行誤差合成定量仿真，迭代2 000 次。在計(jì)算機(jī)仿真中，利用Matlab提供的random（）函數(shù)，產(chǎn)生服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)序列以代表隨機(jī)誤差。當(dāng)置信系數(shù)取1.6時(shí)，系統(tǒng)測(cè)量精度的仿真統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖7 所示。

圖7 基線測(cè)量綜合誤差合成仿真結(jié)果Fig.7 Synthesis simulation result of baseline measurement error

基于以上誤差分配與靈敏度計(jì)算，得到基線測(cè)量系統(tǒng)長(zhǎng)度的綜合誤差合成（std）仿真結(jié)果為0.859 1 mm（1.6σ），基線測(cè)量系統(tǒng)的角度綜合誤差為1.802 2″（1.6σ），滿足給定的精度要求。同理，可分析反演出其他條件下所需的測(cè)量精度與誤差分配方案。

6 結(jié) 論

星載雙天線InSAR 系統(tǒng)基線測(cè)量中主要依靠實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)與經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，缺少直接的函數(shù)解析式推導(dǎo)和直觀的誤差定量分析方法。本文通過(guò)基線測(cè)量系統(tǒng)模型與誤差傳遞模型的建立，分析了空間基線誤差來(lái)源，并給出了該模型的誤差靈敏度分析。通過(guò)誤差定量靈敏度計(jì)算明確了正向誤差的傳播途徑，得到各誤差項(xiàng)對(duì)總體精度的影響量級(jí)。對(duì)給定的總體精度指標(biāo)要求，利用定量的靈敏度數(shù)值進(jìn)行逆向誤差分配反演，對(duì)各環(huán)節(jié)誤差預(yù)算有整體把握，也可以據(jù)此對(duì)方案設(shè)計(jì)、安裝標(biāo)定參數(shù)和誤差分配方案等進(jìn)行優(yōu)化。仿真分析結(jié)果表明，激光視覺(jué)三軸的位置測(cè)量精度為300 μm（3σ），角度測(cè)量精度為50''（3σ），即可滿足基線長(zhǎng)度精度為1 mm（1.6σ），基線角度精度為2''（1.6σ）的要求。然而，根據(jù)靈敏度逆向計(jì)算得到的誤差分配結(jié)果不唯一，是否合理還需要通過(guò)實(shí)驗(yàn)在軌數(shù)據(jù)的支撐、反復(fù)迭代才能驗(yàn)證，但在方案論證階段可以提供參數(shù)設(shè)計(jì)的數(shù)據(jù)支撐。這一誤差分析方法與思路也可為其他類(lèi)似空間相對(duì)位姿測(cè)量系統(tǒng)的指標(biāo)制定與方案設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)。