(F，α，ρ，d)-凸多目標分式規劃的鞍點準則

劉文艷，李向有，袁 靜

（延安大學 數學與計算機科學學院，陜西 延安 716000）

自20 世紀60 年代以來，最優化問題一直都是重要的研究課題，在經濟學、最優控制理論、博弈論和統計決策理論等方面都有重要的應用價值［1-3］。但在解決實際問題的過程中，大量函數是非凸函數，因此推廣函數的凸性并用于研究數學規劃問題是最優化理論的重要研究內容。

近年來，PREDA［4］把(F，α，ρ，d)-凸函數推廣到非可微向量情形下，并用這類函數研究了多目標規劃問題的最優性條件和對偶條件。文獻［5-9］進一步推廣了不同的凸函數，得到相應規劃問題的最優性條件和對偶性條件。TANION［10］證明了多目標規劃問題的解和相應的乘子向量是向量值拉格朗日的鞍點，VAN 等［11］構造了多目標規劃問題的拉格朗日函數，并提出了多目標規劃有效解的鞍點條件和充分條件。LI 等［12］給出了多目標優化中拉格朗日乘子或弱鞍點存在的條件，并建立了拉格朗日乘子與弱鞍點之間的關系。ANTCZAK［13］利用改進的鞍點準則，刻畫了一類新的非可微多目標規劃問題的可解性，證明了原多目標規劃問題的（弱）有效解和向量值Lagrange 函數的鞍點是等價的。文獻［14-15］利用G函數，研究了多目標規劃問題的鞍點條件。

以往文獻主要研究整式規劃問題的鞍點條件，分式規劃的鞍點條件研究較少。本文在上述文獻的基礎上，利用(F，α，ρ，d)-凸函數，研究了涉及此類函數的非線性多目標分式規劃的鞍點問題，得到了Lagrange函數鞍點的充分性和必要性條件。

1 基本定義及引理

定義1.1［16］稱實值函數f：Rn→R 是局部Lipschitz 的，若對任意x∈Rn，存在一個正數k和x的鄰域N(x)對任意y，z∈N(x)，使得

定義1.2［16］若函數f為局部Lipschitz 的，那么函數f：X→R 在點x處沿方向d的Clarke 廣義方向導數和廣義梯度定義如下：

定義1.3［16］稱函數F：X×X×Rn→R 是次線性函數［12］，如果對于任意的x，xˉ∈X有

定義1.4［7］設F：Rn×Rn×Rn→R是次線性函數，函數f：Rn→R在x0∈Rn是局部Lipschitz的，α：Rn×Rn→R+{0}，ρ∈R，d：Rn×Rn→R。稱函數f在x0∈Rn是非可微(F，α，ρ，d)-不變凸的，若

若函數f在X上每一點都是非可微(F，α，ρ，d)-不變凸的，則稱函數f在X是非可微(F，α，ρ，d)-不變凸函數。

定義1.5［7］設F：Rn×Rn×Rn→R是次線性函數，函數f：Rn→R在x0∈Rn是局部Lipschitz的，α：Rn×Rn→R+{0}，ρ∈R，d：Rn×Rn→R。稱函數f在x0∈Rn是非可微(F，α，ρ，d)-不變偽凸的，若

定義1.6［7］設F：Rn×Rn×Rn→R是次線性函數，函數f：Rn→R在x0∈Rn是局部Lipschitz的，α：Rn×Rn→R+{0}，ρ∈R，d：Rn×Rn→R。稱函數f在x0∈Rn是非可微(F，α，ρ，d)-不變擬凸的，若

考慮如下的非線性多目標分式規劃問題（VFP）：

其中，X是Rn上的開集，設D={x|x∈X，hj(x)≦0，j∈J}表示（VFP）的所有可行解的集合，fi(x)、gi(x)和hj(x)在X上是局部Lipschitz 函數，且對所有x∈X有fi(x) ≥0，gi(x) >0。

本文中約定，對于任意x=(x1，x2，…，xn)T，y=(y1，y2，…，yn)T；

x=y當且僅當xi=yi，且i=1，…，n；x>y當且僅當xi>yi，且i=1，…，n；

x≧y當且僅當xi≧yi，且i=1，…，n；x≥y當且僅當xi≧yi，且x≠y。

定義1.7［8］稱xˉ∈X是問題（VFP）的有效解，如果不存在其他的x∈X，使得

對vi∈，考慮如下的輔助問題（MVP）：

min(f1(x) -v1g1(x)，…，fp(x) -vpgp(x))，則可獲得以下結果：

2 鞍點準則

設X是Rn上的開集，D={x|x∈X，hj(x)≦0，j∈J}表示（VFP）的所有可行解的集合，fi(x)、gi(x) 和hj(x)在X上是局部Lipschitz 函數，且對所有x∈X有fi(x) ≥0，gi(x) >0。

由拉格朗日函數的定義，可以得到以下不等式：

證明先證明鞍點定義2.1 的1）。根據假設是KKT 點，那么是（VFP）的可行解。由KKT條件（5），可得到

根據拉格朗日函數的定義可知

如定義1.4所示，根據次線性性質和不等式（19），可得

對于所有的x∈D，根據拉格朗日函數的定義，可得如下不等式：

對于所有的x∈D都成立。通過不等式（12）和（21），得出是多目標分式規劃問題的（VFP）拉格朗日函數L的鞍點。從而得出定理的結論。

證明過程參考定理2.2。

3 結束語

本文利用(F，α，ρ，d)-凸函數，研究了涉及此類函數的非線性多目標分式規劃問題的鞍點條件，得到了多目標分式規劃問題的Lagrange函數鞍點的充分性和必要性條件，把非線性多目標整式規劃中鞍點的相關結論推廣到非線性多目標分式規劃中，從而拓展了鞍點理論的適用范圍。后續還可以利用(F，α，ρ，d)-凸函數研究非線性多目標極大極小分式規劃問題。