Hilbert直和空間中的Riesz基與標(biāo)準(zhǔn)正交基

申 鵬，張建平，張 磊

（延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000）

Hilbert空間中的框架概念最初是由DUFFIN等［1］于1952年在研究非調(diào)和傅里葉級數(shù)時提出來的，但是之后他們并沒有對框架進(jìn)行更深入的研究。直到1986 年，DAUBECHIES 等［2］對于框架理論有了突破性的研究，發(fā)現(xiàn)了Hilbert 空間中任意元素都可以用一組基去線性表示。在1995年，CHRISTENSEN［3］把基的研究理論推廣到了框架的研究中，發(fā)現(xiàn)對框架進(jìn)行線性分解時，分解系數(shù)不是唯一的，因此可以根據(jù)實際情況去選擇合適的系數(shù)，改進(jìn)了一些標(biāo)準(zhǔn)正交基不能滿足的條件；另外，CHRISTENSEN［4］還建立起了框架、框架算子和預(yù)框架算子之間的對應(yīng)關(guān)系，并通過框架算子和預(yù)框架算子去探究框架中的一些性質(zhì)。

Riesz基在框架理論中的應(yīng)用研究非常廣泛，文獻(xiàn)［5］中闡述了預(yù)框架算子和Riesz 基在Hilbert 空間中的框架變換等方面的一些應(yīng)用，對于Riesz 基的一些性質(zhì)和框架攝動條件等問題的研究，文獻(xiàn)［6-7］中有更加詳細(xì)的介紹。本文從算子理論的角度去研究Hilbert 空間中的兩個Riesz 基通過直和以后在直和空間的存在形式，并且在文獻(xiàn)［7］的基礎(chǔ)上推廣了在一般框架擾動條件下Riesz 基的擾動結(jié)果。

1 基本概念及引理

此外，如果有某個ai≠0，則上式中的等號成立當(dāng)且僅當(dāng)存在一個實數(shù)r，使得對于任意的k（k∈N），都有akr+bk=0。

2 主要結(jié)果