線性正則正余弦變換卷積及其性質

王小霞，馮 強

（延安大學 數學與計算機科學學院，陜西 延安 716000）

卷積是一種積分變換，在信號處理、光學系統中有著重要作用。許多學者對此進行了深入的研究，取得了一些研究成果。然而這一理論仍處于初步階段，許多重要的研究方法與應用領域還有待進一步探索。因此，研究與新穎變換相關的卷積及其應用，始終是信號處理領域的首要任務。而線性正則正弦變換（linear canonical sine transform，LCST）［1］與線性正則余弦變換（linear canonical cosine transform，LCCT）［1］在信號處理、應用數學等方面具有廣泛的應用，利用卷積討論LCST 與LCCT 的相關應用具有很大的研究價值。

線性正則變換（linear canonical transform，LCT）［2-4］是傅里葉變換（Fourier transform，FT）［5-6］、分數階傅里葉變換（fractional Fourier transform，FRFT）［7］的廣義形式。由于LCT 具有3 個自由參數，相比較于FRFT 的1 個自由參數和FT 的0 個自由參數，LCT［8］在信號處理領域具有更強的靈活性和處理能力。

在線性正則變換的基礎上定義的線性正則正弦變換與線性正則余弦變換是傅里葉正弦變換（Fourier sine transform，FST）［9］、傅里葉余弦變換（Fourier cosine transform，FCT）［9］的廣義形式。由于LCST 和LCCT 在濾波器設計、光學系統分析、時頻分析、加密、通信調制、雷達系統分析、解微分方程、局部邊緣檢測都有廣泛的應用，因此研究線性正則正弦變換與線性正則余弦變換在實際應用中具有重要意義。

近年來許多學者對線性正則正余弦變換域的相關問題進行了研究。比如，THAO 等［10-11］研究了傅里葉正余弦加權廣義卷積，給出了它在求解積分方程組中的應用；馮強等［12-16］研究了分數階傅里葉正余弦變換卷積定理以及線性正則正余弦卷積定理，給出了其在設計乘性濾波器方面的潛在應用。本文在現有研究的基礎上，對LCST 與LCCT 進行了進一步的研究，定義了兩類新的線性正則正余弦變換卷積運算，并推導出相應的卷積定理。

1 基本概念及引理

定義1［1］設函數f(t) ∈L1(R)，則f(t)的線性正則變換定義為

線性正則變換的逆變換（ILCT）［1］可以表示為以B=(d，-b，-c，a)為參數的線性正則變換，即有

當A=[cosα，sinα，-sinα，cosα]時，上述LCT退化為FRFT［6］：

定義2［17］設函數f(t)的線性正則正弦變換和線性正則余弦變換分別表示為(f(t))(u) 與，則函數f(t)的線性正則正弦變換和線性正則余弦變換定義為

線性正則正弦變換的逆變換與線性正則余弦變換的逆變換分別表示為

當A=(cosα，sinα，-sinα，cosα)時，上述LCST與LCCT就變成了FRST與FRCT［14-15］：

當A=(0，1，-1，0)時，上述LCST 與LCCT 就退化為經典的FST與FCT［11］：

引理1［18］設函數f(t)，g(t) ∈L1(R+)，滿足如下傅里葉余弦變換（FCT）卷積運算：

則有如下卷積定理：

引理2［19］設函數f(t)，g(t) ∈L1(R+)，滿足如下傅里葉正余弦變換（FST-FCT）卷積運算：

2 主要結果

定義3設f(t)，g(t) ∈L1(R+)，線性正則余弦變換的加權卷積運算定義如下：

定義4設f(t)，g(t) ∈L1(R+)，線性正則正弦變換的卷積運算定義如下：

當A=(cosα，sinα，-sinα，cosα)時，定義1 和2退化為分數階傅里葉余弦加權卷積運算與分數階傅里葉正弦卷積運算［14］。當A=(0，1，-1，0)時，定義1 和2 退化為經典的傅里葉余弦加權卷積運算與傅里葉正弦卷積運算［20］。

基于定義1和定義2，有下述卷積定理。

定理1設權函數γ=cosu，與分別表示信號f(t)與g(t)的線性正則余弦變換，若信號f(t)，g(t) ∈L1(R+)，則線性正則余弦變換的卷積運算滿足，且有如下卷積定理：

證明定理2的證明類似于定理1，同理可證。

當A=(cosα，sinα，-sinα，cosα)時，定理1 和2退化為分數階傅里葉余弦加權卷積定理與分數階傅里葉正弦卷積定理［15］。當A=(0，1，-1，0)時，上述定理1 和2 退化為傅里葉余弦加權卷積定理與傅里葉正弦卷積定理［20］。

定理3設f(t)，g(t) ∈L1(R+)，LCCT 的加權卷積運算可以由FCT的卷積表示為

證明定理4的證明類似于定理3，同理可證。

3 結論

本文基于LCST 與LCCT 定義的基礎上，首先定義了線性正則余弦加權卷積運算與線性正則正弦卷積運算；其次研究了線性正則正余弦卷積運算與FCT卷積運算、FST-FCT卷積運算之間的關系；最后推導出相應的卷積定理。研究結果是經典傅里葉正余弦卷積理論在線性正則域內的進一步拓展，豐富了線性正則變換域卷積理論。