指數有界雙連續n階α次積分C半群的逼近

賀凱麗，趙華新，劉娟娟

（延安大學 數學與計算機科學學院，陜西 延安 716000）

算子半群的逼近是算子半群理論研究的重要內容，在物理學、微分方程和非線性方程中都有著廣泛的應用，許多學者對此作了大量研究工作。文獻［1-2］討論了C半群和指數有界C半群的逼近；文獻［3-4］研究了雙參數C半群和指數有界雙參數C半群的逼近等性質；文獻［5］討論了α次積分C半群的Trotter-Kato 逼近；文獻［6-7］討論了雙連續C半群的逼近和概率逼近問題；文獻［8-9］進一步探討了雙連續α次積分C半群的逼近和概率逼近問題；文獻［10-11］討論了n階α次積分C半群和雙參數n階α次積分C半群的逼近；文獻［12-13］給出了雙連續n次積分C半群的定義及其性質；文獻［14］研究了指數有界雙連續n階α次積分C半群的定義及其性質；文獻［15］討論了指數有界雙連續n階α次積分C半群的生成定理。對于指數有界雙連續n階α次積分C半群的逼近未見研究。

本文在上述文獻的基礎上，給出指數有界雙連續n階α次積分C半群的逼近的結果并進行證明，從而進一步豐富了雙連續n階α次積分C半群的相關理論。

1 基本概念及引理

本文假設X為無限維的復Banach 空間，B(X)是X上的有界線性算子全體所組成的代數，D(A)為線性算子A的定義域，X′是X的共軛空間，τ是X上的一個局部凸拓撲并具有以下性質：

1）τ-拓撲比‖? ‖-拓撲粗且是Hausdorff 拓撲；

2）空間(X，τ)在‖? ‖-有界集上序列完備，即對每個‖? ‖-有界的柯西列在(X，τ)中收斂。

設T(t) ∈B(X)，n∈N，α≥0，

T=0當且僅當存在n≥0使JnT(t)=0，t≥0。

定義3［12］設T(t)∈B(X)，若存在M≥0，ω∈R使成立，則算子族{T(t)}t≥0?B(X)稱為指數有界的。

定義4［14］設C∈B(X)為單射，n∈N，α≥0，若：

2）存在閉線性算子A，滿足：

3）{T(t)}t≥0τ-連續，即對每個x∈X，映射t→T(t)xτ-連續；

4）{T(t)}t≥0等度雙連續；

5）存在M≥0，ω∈R，‖T(t) ‖≤Meωt，?t≥0。

則算子族{T(t)}t≥0?B(X)稱為指數有界雙連續n階α次積分C半群。其中A為其次生成元，把Gτ(M，ω，C)記為X內的所有指數有界雙連續n階α次積分C半群構成的集合。

定義5［14］設{T(t)}t≥0是由A次生成的指數有界雙連續n階α次積分C半群，若Ra(λ)C=Ra(λ，A)=λn-1(λn-A)-1C，有定義在Banach空間X上的有界逆算子，則稱λ為指數有界雙連續n階α次積分C半群的次生成元的C正則點，Ra(λ)C是A的C預解式。

引理1［15］令n∈N，α≥0，C∈B(X)是單射，A：D(A)?X→X為閉線性算子并滿足A?C-1AC，{T(t)}t≥0?B(X)τ-連續并滿足：

‖T(t) ‖≤Meωt，?t≥0。

則有下式成立：

引理2［14］令雙連續n階α次積分C半 群{T(t)}t≥0的次生成元為A，并且{T(t)}t≥0∈Gτ(M，ω，C)，則對?x∈X，有

而且兩式的右端積分在關于t的有限范圍內是一致收斂的。

2 主要結果

定 理 1設A，An∈Gτ(M，ω，C)，{T(t)}t≥0，{Tn(t)}t≥0分別是由A、An次生成的指數有界雙連續n階α次積分C半群，可得下列命題等價：

(a)若對?x∈X，Reλ>ω，則有

Ra(λ，An)x→Ra(λ，A)x(n→∞)；

(b)若對?x∈X，t≥0，則有

Tn(t)x→T(t)x(n→∞)。

證明(a) ?(b)：

對?x∈X，在固定區間t∈[0，t]上有

1）關于D1：

因為‖Tn(t) ‖≤Meωt≤MeωT，

所以由命題(a)及范數的性質可得

即D1→0。

2）關于D3：

由于對?x∈X，

Ra(λ，A)x→Ra(λ，An)x(n→∞)，

則T(t)x∈{T(t)x：0 ≤t≤T}，有

Ra(λ，A)T(t)x→Ra(λ，An)T(t)x(n→∞)，即D3→0。

3)關于D2：

由引理2可得形

3 結束語

算子半群理論所研究的內容十分豐富，但關于指數有界雙連續n階α次積分C半群的逼近未見討論。本文在指數有界雙連續n階α次積分C半群的生成和lapace 逆變換的基礎上，給出了指數有界雙連續n階α次積分C半群預解式逼近和半群逼近的等價關系，從而豐富了雙連續n階α次積分C半群的理論。雙連續n階α次積分C半群中還有許多問題值得去研究，接下來可以對以下幾方面進行探索：

1）雙連續n階α次積分C半群的概率逼近；

2）雙連續n階α次積分C半群在高階Cauchy 問題中的應用；

3）雙連續n階α次積分C半群的微積分性質。