不定方程x3 ± 4 913=34y2的整數解

李 勰，賀艷峰，韓 帆

（延安大學 數學與計算機科學學院，陜西 延安 716000）

不定方程

是一類重要的三次不定方程，關于該不定方程的整數解已有不少的研究成果，其研究的內容主要集中在a=1，2，3，4，5，6，7，10，11，13，15，29。文獻［1］證明了當a=±1，D>2，D無平方因子且不能被3 或6k+1 形素數整除時，方程（1）僅有平凡解x=±1，y=0；文獻［2］證明了當a=±1，D>1，D無平方因子且不能被6k+1 形素數整除時，方程（1）除x3+1=2y2僅有整數解(x，y)=(1，±1)，(23，±78)外，無其他整數解；文獻［3］證明了當a=±1，D=2時，方程（1）僅有正整數解(x，y)=(1，1)，(23，78)；文獻［4］證明了當a=1，D=2 019 時，方程（1）僅有平凡整數解(x，y)=(-1，0)；文獻［5］研究了當a=±3，D=pq時，方程（1）的整數解問題；文獻［6］研究了a=±13，D=26 時，方程（1）的整數解問題；文獻［7］研究了當a=±5，D=6q時，方程（1）的整數解問題；文獻［8］研究了當a=±1，D=14時，方程（1）的整數解問題；文獻［9］證明了當a=-3，D=119 時，方程（1）僅有整數解(x，y)=(3，0)；文獻［10］研究了當a=-2，D=13時，方程（1）的整數解問題；文獻［11］研究了方程x3+27=182y2和x3+8=273y2的整數解問題；文獻［12］證明了當a=-1，D=749時，方程（1）僅有整數解(x，y)=(1，0)；文獻［13］證明了當a=-1，D=1 043 時，方程（1）僅有整數解(x，y)=(1，0)；文獻［14］證明了當q≡1(mod 12) 時，方程x3-1=709qy2有解的充要條件，且q滿足一定條件時，該方程無正整數解。而當a=±17，D=34時，方程（1）的整數解到目前為止未見研究。

本文主要利用同余式的性質證明了當a=±17，D=34 時，不定方程x3+4 913=34y2僅有正整數解（x，y）=（17，17），（391，1 326），不定方程x3-4 913=34y2僅有整數解(x，y)=(17，0)。

1 相關引理

引理1［15］不定方程

僅有正整數解(x，y)=(1，1)，(23，78)。

不定方程

僅有整數解(x，y)=(1，0)。

2 主要結果

定理1不定方程僅有正整數解(x，y)=(17，17)，(391，1 326)。

證明當x≡0(mod 17)時，有x3≡0(mod 173)，則由式（2）知y≡0(mod17)。令x=17x1，y=17y1，代入式（2），整理得(x1)3+1=2(y1)2。由引理1知，不定方程x3+1=2y2僅有正整數解（x，y）=（1，1），（23，78）。故x=17，y=17 或x=391，y=1 326，即不定方程x3+4 913=34y2僅有正整數解（x，y）=（17，17），（391，1 326）。

(x+17，x2-17x+289)=

(x+17，(x+17)2-51(x+17) +172× 3)=1或3，所以方程x3+4 913=34y2在(a，b)=1 且a≠0 時，給出下列8種可能的情形：

情形一：x+17=a2，x2-17x+289=34b2，y=ab；

情形二：x+17=2a2，x2-17x+289=17b2，y=ab；

情形三：x+17=3a2，x2-17x+289=102b2，y=3ab；

情形四：x+17=6a2，x2-17x+289=51b2，y=3ab；

情形五：x+17=34a2，x2-17x+289=b2，y=ab；

情形六：x+17=17a2，x2-17x+289=2b2，y=ab；

情形七：x+17=102a2，x2-17x+289=3b2，y=3ab；

情形八：x+17=51a2，x2-17x+289=6b2，y=3ab。

下面分別討論這8種情形下方程（2）的整數解。

情形一：x+17=a2，x2-17x+289=34b2，y=ab。

對x2-17x+289=34b2兩邊同時取模17，得x2-17x+289 ≡ 34b（2mod17）。從而有x2-17x+289 ≡ 0（mod17），x2-17x≡0（mod17），則 有x2≡0（mod17），即x≡0(mod 17)與上述x0(mod 17)相矛盾。因此該種情形下無滿足不定方程x3+4 913=34y2的整數解。

情形二：x+17=2a2，x2-17x+289=17b2，y=ab。

同情形一，得x2-17x+289 ≡17b2(mod 17)，則有x≡0(mod 17)與上述x0(mod 17)相矛盾。因此該種情形下無滿足不定方程x3+4 913=34y2的整數解。

情形三：x+17=3a2，x2-17x+289=102b2，y=3ab。

同情形一，得x2-17x+289 ≡102b2(mod 17)，則有x≡0(mod 17)與上述x0(mod 17)相矛盾。因此該種情形下無滿足不定方程x3+4 913=34y2的整數解。

情形四：x+17=6a2，x2-17x+289=51b2，y=3ab。

同情形一，得x2-17x+289 ≡51b2(mod 17)，則有x≡0(mod 17)與上述x0(mod 17)相矛盾。因此該種情形下無滿足不定方程x3+4 913=34y2的整數解。

情形五：x+17=34a2，x2-17x+289=b2，y=ab。

由x+17=34a2得x=34a2-17=17（2a2-1），故 有17|x，與x不能被17 整除相矛盾。因此該種情形下無滿足不定方程x3+4 913=34y2的整數解。

情形六：x+17=17a2，x2-17x+289=2b2，y=ab。

同情形五，由x+17=17a2得17|x，與x不能被17 整除相矛盾。因此該種情形下無滿足不定方程x3+4 913=34y2的整數解。

情形七：x+17=102a2，x2-17x+289=3b2，y=3ab。

同情形五，由x+17=102a2得17|x，與x不能被17 整除相矛盾。因此該種情形下無滿足不定方程x3+4 913=34y2的整數解。

情形八：x+17=51a2，x2-17x+289=6b2，y=3ab。

同情形五，由x+17=51a2得17|x，與x不能被17整除相矛盾。因此該種情形下無滿足不定方程x3+4 913=34y2的整數解。

得證。

定理2不定方程

僅有整數解(x，y)=(17，0)。

證明當x≡0(mod 17)時，有x3≡0(mod 173)，則由式（3）知y≡0(mod17)。令x=17x1，y=17y1，代入式（3），整理得(x1)3-1=2(y1)2。由引理1知，不定方程x3-1=2y2僅有整數解(x，y)=(1，0)。故x=17，y=0，即不定方程x3-4 913=34y2僅有整數解(x，y)=(17，0)。

當x0(mod 17)，即x不能被17整除時，由于

（x-17，x2+17x+289）=

（x-17，（x-17）2+51（x-17）+172×3）=1或3，所以方程x3-4 913=34y2在(a，b)=1 且a≠0 時，給出下列8種可能的情形：

情形一：x-17=a2，x2+17x+289=34b2，y=ab；

情形二：x-17=2a2，x2+17x+289=17b2，y=ab；

情形三：x-17=3a2，x2+17x+289=102b2，y=3ab；

情形四：x-17=6a2，x2+17x+289=51b2，y=3ab；

情形五：x-17=34a2，x2+17x+289=b2，y=ab；

情形六：x-17=17a2，x2+17x+289=2b2，y=ab；

情形七：x-17=102a2，x2+17x+289=3b2，y=3ab；

情形八：x-17=51a2，x2+17x+289=6b2，y=3ab。

下面分別討論這8種情形下方程（3）的整數解。

情形一：x-17=a2，x2+17x+289=34b2，y=ab。

對x2+17x+289=34b2兩邊同時取模17，得x2+17x+289≡34b2（mod17）。從而有x2+17x+289≡0（mod17），x2+17x≡0（mod17），則有x2≡0（mod17），即x≡0（mod17）與上述x0(mod 17)相矛盾。因此該種情形下無滿足不定方程x3-4 913=34y2的整數解。

情形二：x-17=2a2，x2+17x+289=17b2，y=ab。

同情形一，得x2+17x+289 ≡17b2(mod 17)，則有x≡0(mod 17)與上述x0(mod 17)相矛盾。因此該種情形下無滿足不定方程x3-4 913=34y2的整數解。

情形三：x-17=3a2，x2+17x+289=102b2，y=3ab。

同情形一，得x2+17x+289 ≡102b2(mod 17)，則有x≡0（mod17）與上述x0（mod17）相矛盾。因此該種情形下無滿足不定方程x3-4 913=34y2的整數解。

情形四：x-17=6a2，x2+17x+289=51b2，y=3ab。

同情形一，得x2+17x+289 ≡ 51b（2mod17），則有x≡0（mod17）與上述x0(mod 17)相矛盾。因此該種情形下無滿足不定方程x3-4 913=34y2的整數解。

情形五：x-17=34a2，x2+17x+289=b2，y=ab。

由x-17=34a2得x=34a2+17=17(2a2+1)，故有17|x，與x不能被17 整除相矛盾。因此該種情形下無滿足不定方程x3-4 913=34y2的整數解。

情形六：x-17=17a2，x2+17x+289=2b2，y=ab。

同情形五，由x-17=17a2得17|x，與x不能被17 整除相矛盾。因此該種情形下無滿足不定方程x3-4 913=34y2的整數解。

情形七：x-17=102a2，x2+17x+289=3b2，y=3ab。

同情形五，由x-17=102a2得17|x，與x不能被17 整除相矛盾。因此該種情形下無滿足不定方程x3-4 913=34y2的整數解。

情形八：x-17=51a2，x2+17x+289=6b2，y=3ab。

同情形五，由x-17=51a2得17|x，與x不能被17整除相矛盾。因此該種情形下無滿足不定方程x3-4 913=34y2的整數解。

得證。

3 結束語

本文利用同余式的性質證明了不定方程x3+4 913=34y2僅有正整數解（x，y）=（17，17），（391，1 326），不定方程x3-4 913=34y2僅有整數解(x，y)=(17，0)。

對于不定方程x3±a3=Dy2的整數解尚未得到一般解法，今后可以繼續研究a、D符合其他取值情況時方程的所有整數解，從而使得形如x3±a3=Dy2這類不定方程的整數解得到解決。