一題多解和一題多變:一道有關拋物線焦半徑問題的探究*

吳玉章 苗慶碩

江蘇省新沂市第一中學

拋物線的焦半徑問題是拋物線綜合問題中的一類特殊類型,其可以聯系起拋物線的定義(問題的本質)、幾何性質(“數”的屬性)與幾何特征(“形”的特征)、焦半徑公式(三角形式)等,“串聯”起平面解析幾何、平面幾何、函數與方程、三角函數等眾多相關知識,為問題的切入與解決提供較多的思維視角,給問題的解決提供更多的方案與技巧方法,是有效發散數學思維,考查學生“四基”、數學能力以及數學思想方法等方面比較有效的一個重要載體,備受各方關注.

1 問題呈現

問題已知拋物線y2=8x的焦點為F,準線與x軸的交點為C,過點C的直線l與拋物線交于A,B兩點,若∠AFB=∠CFB,則|AF|=______.

此題以拋物線為問題場景,通過設置過準線與x軸交點的直線l與拋物線交于兩點,利用兩個角相等來創設定交點問題,進而求解相應焦半徑的長度.

涉及拋物線的焦半徑問題,可以從解析幾何的實質入手,利用解析幾何思維來合理進行數學運算與分析處理;也可以從平面幾何的圖形入手,利用平面幾何思維進行邏輯推理與分析處理;還可以從焦半徑的公式入手,利用三角函數思維來合理數學運算、邏輯推理與綜合應用等.不同思維視角的切入,都給問題的解決提供了切實可行的技巧與方法,實現問題的巧妙解決.

2 問題破解

2.1 解析幾何思維

解法1：設線法.

依題意可得p=4,則F(2,0),C(-2,0).

根據已知可得直線l的斜率存在且不為0,利用圖形的對稱性,不失一般性,設點A,B位于x軸的上方,如圖1所示.

圖1

設直線l的方程為x=my-2,其中m>0.設A(x1,y1),B(x2,y2),y1>y2>0.

y2-8my+16=0.

利用韋達定理,可得y1+y2=8m,y1y2=16,則

由拋物線的定義,可得

解后反思：設線法是借助解析幾何思維處理問題的一種“通性通法”,成為解決直線與圓錐曲線位置關系問題時首選的一種基本方法.

2.2 平面幾何思維

解法2：幾何法.

依題意可得,p=4.

根據已知可得直線l的斜率存在且不為0,利用圖形的對稱性,不失一般性,設點A,B位于x軸的上方,如圖2所示.

圖2

過點A,B作拋物線準線的垂線,垂足分別為D,E,延長EB交AF于點G.

由于EG∥CF,因此∠GBF=∠CFB,又∠AFB=∠CFB,所以∠AFB=∠GBF,可得|BG|=|FG|.

所以有|BG|·|AC|=|BE|·|AC|,可得|BG|=|BE|,又結合拋物線的定義有|BE|=|BF|,故|BG|=|FG|=|BF|,即△BFG是正三角形,從而∠BFG=60°,可得∠AFx=60°.

解后反思：平面解析幾何側重“數”與“形”的結合與轉化,借助代數思維中的數學運算來處理幾何圖形中的邏輯推理問題等,實現問題的突破與應用.

2.3 三角函數思維

解法3：性質法.

依題意可得,p=4.

根據已知可得直線l的斜率存在且不為0,利用圖形的對稱性,不失一般性,設點A,B位于x軸的上方,如圖3所示,過點A,B作拋物線的準線的垂線,垂足分別為D,E.

圖3

3 變式拓展

3.1 同源變式

變式1己知拋物線y2=8x的焦點為F,準線與x軸的交點為C,過點C的直線l與拋物線交于A,B兩點,若∠AFB=∠CFB,則|BF|=______.

在此基礎上,可以對問題進行一般化的歸納與總結.

變式2己知拋物線y2=8x的焦點為F,準線與x軸交于點C,過點C的直線l與拋物線交于A,B兩點,若∠AFB=∠CFB,則|AB|=______.

3.2 同階變式

變式3已知拋物線y2=8x的焦點為F,準線與x軸交于點C,過點C的直線l與拋物線交于A,B兩點,若∠AFB=∠CFB,則直線AF的斜率為______.

4 教學啟示

此類涉及拋物線的焦半徑問題,往往是多知識點交匯與融合的產物,這樣的創設契合高考數學命題精神,而多知識點交匯也為問題的切入提供了更多的思維視角,給各層面的學生提供了更多的機會,從而更加有效地體現數學試題的選拔性與區分性.

在數學學習中,針對此類涉及圓錐曲線的焦半徑問題,要深刻體會并加以系統學習,把握問題的實質與內涵,構建知識體系,理解技巧方法,形成解題習慣,培養數學品質.